孫思彤 丁應星 劉伍明

(中國科學院物理研究所，北京 100190)

1 引言

計量學與量子力學的結(jié)合產(chǎn)生了量子精密測量這一前沿領域，對前沿技術(shù)的發(fā)展具有重要意義，它不僅能夠提高普朗克常數(shù)h，萬有引力常數(shù)G等基本物理學常數(shù)的測量精度，而且能應用于設計并制造各種量子儀器如原子鐘、陀螺儀、原子重力儀、原子磁強計等來提高時間、頻率、重力加速度、磁場等參數(shù)的測量精度[1-8].量子精密測量主要研究在量子力學原理允許的條件下如何實現(xiàn)高精度測量，具體測量分為兩個方面，一種是利用統(tǒng)計規(guī)律的經(jīng)典測量方法所能達到的最高測量精度，被稱為標準量子極限;另一種是利用系綜中不同粒子之間的量子糾纏和關聯(lián)的手段達到的最高測量精度，被稱為海森伯極限.這些都是可觀測到的量子漲落所允許的最大精度.因干涉儀具有的高分辨率和高穩(wěn)定性，使得基于干涉儀的量子精密測量成為量子精密測量領域的主要發(fā)展方向.目前，量子精密測量廣泛應用于離子系綜[9-11]、冷原子系綜[12，13]、光子系綜[14，15]以及核磁共振系綜[16-18]等物理體系，其中，冷原子系綜擁有較高的可控性和穩(wěn)固的量子相干性，因此具有較高的測量精度.

由于量子力學中不確定性原理的條件限制，測量結(jié)果會有誤差，為了減小誤差帶來的影響，一般進行多次實驗，重復測量，取測量結(jié)果的平均值.根據(jù)中心極限定理，重復N次(N遠大于1)獨立的測量，其測量結(jié)果滿足正態(tài)分布，測量誤差可以達到，該比例因子即為標準量子極限，這就是經(jīng)典力學框架下的測量極限.而量子測量則可以利用粒子之間的量子關聯(lián)來突破該極限，在體系中使用更少的原子數(shù)即達到相同的精度.如將輸入態(tài)制備成最大糾纏態(tài)，使N個粒子的量子態(tài)相互糾纏，則可以把測量精度提高到1/N，比標準量子極限允許的精度提高了倍，該比例因子被稱為海森伯極限.向干涉儀中注入非經(jīng)典態(tài)可以使位相測量精度達到海森伯極限.在原子干涉測量領域中，在捕獲離子系統(tǒng)、低溫氣體、超冷原子中，也已經(jīng)證明了超過標準量子極限的測量精度.對于數(shù)量巨大的粒子來說，靈敏度的增長幅度也是巨大的.

本文將介紹量子精密測量的幾種典型方法，主要從線性干涉中的原子/光子干涉儀精密測量與非線性干涉儀精密測量兩個方面介紹近年來突破標準量子極限和逼近海森伯極限的進展.

2 基于線性干涉儀的精密測量

線性干涉儀是利用線性光學分束器BS 作為干涉器件進行分束合束.向其中輸入相干態(tài)壓縮噪聲從而提高信噪比.系綜越大求平均值的置信度越高，對于一個較大的系綜來說，相位由時間來積累.線性干涉儀的測量過程可以分為:將探針制備到所需的輸入態(tài)，再將待測量放入干涉儀與探針進行動力學演化，然后有區(qū)分地測量多個粒子的輸出態(tài)，進行這3 個過程的數(shù)據(jù)處理.假設輸入態(tài)為ρin，在零時刻給定一個系綜，進行相位衍化U(φ)=eiGφ，若測量對象為距離，則G為動量，若測量對象為時間，則G為哈密頓量.若輸入態(tài)為不同能量的疊加態(tài)，則隨著時間的變化，不同態(tài)上有不同的時間相位積累，兩個能級差積累在與φ對應的相位上，故得到輸出態(tài)ρout(φ)=U(φ)ρin(0)U?(φ)，根據(jù)誤差傳遞公式，可以得到待測量θ=〈I(θ)〉-1的相位靈敏度，其中，δI(θ) 是觀測量的標準偏差，d 〈I(θ)〉/dθ為信號變化率.通過將指向北極的自旋相干態(tài)作為輸入狀態(tài)，當θ=π/2 時，狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到自旋相干態(tài)指向I(θ)x，故給出d〈I(θ)〉/dθ=N/2，可得

初末態(tài)相位之差稱為Hellinger 距離，量化兩個分布之間的相似性，對于任意可觀測量，Hellinger距離為

當φ非常小時

F為Fisher 信息[19]

對于純態(tài)來講

Fisher 信息本質(zhì)上為G的方差，G在干涉儀輸入態(tài)的漲落應為最大，則

對于混態(tài)來講

在量子力學的框架中，單參數(shù)估計的測量精度極限是用量子Fisher 信息的倒數(shù)來決定的，在一個N粒子的糾纏態(tài)中，隨著量子 Fisher 信息的增大，其相位測量精度極限越高，進而可能會突破標準量子極限，多于多粒子體系，F(xiàn)isher 信息也描述多粒子的糾纏度.在參量估計中，最高量子Fisher信息對應最高的測量精度極限，即相對相位不確定度，通過干涉儀測量的標準量子極限(standard quantum limit，SQL) Δφ≥，其中N為系綜數(shù).干涉儀工作的過程是:一束波(電磁波或者物質(zhì)波)通過分束器后變成兩束波，兩束波分為不同的路徑，進行一定的相位演化后再進行合束，實現(xiàn)相干疊加，最后使用探測器探測干涉信號，根據(jù)干涉信號的強度推算相位的變化，進而得出待測量的參數(shù)大小.

2.1 光子干涉儀

光子干涉儀以光波干涉原理為基礎，是目前在光學系統(tǒng)、光學元件的檢測中具有高效性和高準確性的手段，光子線性干涉儀以最典型的Mach-Zehnder (M-Z)干涉儀為例，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示.

圖1 Mach-Zehnder 干涉儀.a，b 為入射端;e，g 為輸出端;U1 為分束鏡;U2 為合束鏡.入射光a 和b 經(jīng)過第一個分束鏡 U1 后，產(chǎn)生的光場線 性映 射到c 和d 兩個路徑上，然 后進行相位積累后再合束在一起，實現(xiàn)相干態(tài)疊加，最后輸出探測場是e 和gFig.1.Schematic diagram of Mach-Zehnder interferometer.a，b are incident end;e，g are output end;U1 is the beamsplitting mirrors;U2 is the beam-closing mirrors.After the incident light a and b pass through the first beam division mirror U1，the resulting light field is linearly mapping to the two paths c and d，then phase accumulation and then beam together to achieve coherent state superposition，and the final output detection fields are e and g.

由于作為探測光的相干態(tài)光場的光子數(shù)滿足泊松分布，干涉儀輸出光強會存在一定的起伏.這個起伏的大小為干涉儀最小可測量位相(振幅)信號的大小，被稱為經(jīng)典測量系統(tǒng)的散粒噪聲極限.

線性干涉儀又叫Ramsey 干涉儀[20，21]，它是光子Mach-Zehnder 干涉儀的一部分，Ramsey 干涉儀由兩個分束器和一個在其間積累相位的演化時間組成.Ramsey 干涉儀的序列可以用廣義Bloch球表示，如圖2 所示.

圖2 在Bloch 球上的Ramsey 干涉儀的序列 (a)第一個光束對應 于一個量子態(tài)圍 繞 J x 軸旋 轉(zhuǎn) π/2，輸 入態(tài)為 指向北極的自旋相干態(tài);(b)自由演化得到相位差 θ，即圍繞 Jz旋轉(zhuǎn) θ ;(c)第二個分束器再次圍繞 J x 軸旋轉(zhuǎn) π/2 ;(d) Ramsey序列的整體效應是初始狀態(tài)沿 J y 軸旋轉(zhuǎn)一個角度 θ .通過測量 J z 即可讀出 θ [22]Fig.2.Sequences of the Ramsey interferometer are illustrated with the Bloch sphere:(a) First beam corresponds to a π/2 rotation of the quantumstate around the J x axis，and he input state is a CSS pointing toward the north pole;(b)free evolution picks up a phase difference θ，which corresponds to a rotation around the Jz by an angle of θ ;(c)second beam splitter again revolve around J x axis of π/2 ;(d) overall effect for the Ramsey sequence is a rotation of the initial state by an angle θ along the J y axis.By measuring the J z can read θ [22].

測量相位θ代表在Bloch 球上甄別兩個不同的方向，一個為初始態(tài)方向，另一個為轉(zhuǎn)動方向.線性干涉儀的映射可用下式來表示:

還有一種常用的干涉儀—Michelson 干涉儀，線性干涉儀的一個重要應用就是LIGO 干涉儀，目前國際上分辨率最高的引力波探測器是LIGO，它是全光Michelson 干涉儀.2016 年，在美國Hangford的 LIGO 利用 Michelson 干涉儀探測到了由兩個黑洞合并產(chǎn)生的引力波，驗證了愛因斯坦1916 年的預言.LIGO 的有效臂長為1120 km，有效探測光強為750 W，最終相位分辨率可以達到 1 0-19m[23].同年，Henning 等[24]在LIGO 的基礎上使用了壓縮光，在15 dB 的糾纏元下經(jīng)過干涉儀后獲得了3 dB 的信噪比增強.LIGO 探測結(jié)果如圖3所示.

圖3 LIGO 探測結(jié)果[25]，紅線有壓縮光的觀測噪聲，黑線為無壓縮光的觀測噪聲Fig.3.Detection results of LIGO detector，red line compression light observation noise，black line for no compression light observation noise.

2.2 原子干涉儀

不同于光學干涉儀，原子干涉儀是物質(zhì)波干涉儀.而光-原子混合的SU(2)型干涉儀的工作原理與Mach-Zehnder 干涉儀有相似之處，但SU(2)混合干涉儀不使用分束器，而是利用線性拉曼轉(zhuǎn)換過程來實現(xiàn)原子、光自旋波的相干疊加[26].干涉儀的兩條路徑對應一個粒子，實際上為一個量子比特，一條路徑為0，一條路徑為1，路徑1 對應路徑0 有一個相位，而對原子來說兩條路徑分別代表基態(tài)和激發(fā)態(tài)，相位為時間相位，自旋相干態(tài)分布趨近于標準的正態(tài)分布，量子比特可以完美地映射到一個Bloch 球上，如圖4 所示.

圖4 (a)一個沿正x 軸的自旋相干態(tài)在Bloch 球上的旋轉(zhuǎn);(b)對應的沿y 方向的的自旋概率為 Py(m)=|〈my|Ψ〉|2(右圖)[27]Fig.4.(a)A coherent spin state along the x axis in the rotation of the Bloch sphere;(b) spin probability Py(m)=|〈my|Ψ〉|2 along the y direction[27].

由自旋相干態(tài)提供的相位靈敏度即是所謂的標準量子極限.它可以通過引入物體的位置/動量不確定性反射光的光子數(shù)/相位不確定性之間的相關性來克服.

與光波干涉儀類似，原子干涉儀作為量子傳感器，在測量重力加速度g、重力梯度e、轉(zhuǎn)動引力常數(shù)G等方面顯示出巨大的應用潛力，大大提升了測量靈敏度.原子M-Z 干涉儀中，物質(zhì)波被拉曼激光束的駐波分裂、反射和結(jié)合，原子的內(nèi)部狀態(tài)與路徑糾纏在一起.與光學Ramsey 干涉儀類似，原子Ramsey 干涉儀使用兩對π/2 拉曼激光束作為振蕩場.拉曼原子干涉儀同樣由4 個階段組成:原子的磁光囚禁與冷卻、形成原子噴泉、拉曼光與原子的相互作以及探測階段.1991 年，美國斯坦福大學朱棣文團隊采用受激拉曼躍遷技術(shù)實現(xiàn)了原子M-Z 干涉儀[28].2009 年，詹明生團隊實現(xiàn)了一個冷原子M-Z 干涉儀，并在此之前觀察到對比度為37%的干涉條紋.此外，該團隊還利用Ramsey 原子干涉儀進行實驗，觀察到了清晰的Ramsey 條紋.在此基礎上，基于冷原子干涉儀的重力儀、陀螺儀等得到迅速發(fā)展.冷原子重力儀的靈敏度σ與兩次脈沖的周期間隔T以及噪聲有關[29]，表達式為，S NR 為冷原 子重力 儀的信 噪比.目前，中國科學技術(shù)大學研究組在安靜的山洞環(huán)境中[30]，在不使用其他減振平臺和數(shù)據(jù)修正的情況下，實現(xiàn)了以下的測量精度.此外，在地面與微重力環(huán)境下，對冷原子內(nèi)部展現(xiàn)出的量子磁性測量是探尋冷原子領域通向更低溫的重要手段，在經(jīng)過兩級冷卻后，通過態(tài)轉(zhuǎn)移，將玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensations，BECs)[31]制備到預期的磁量子數(shù)態(tài)上，便可進行量子磁性相變的測量，在原子和光的相互作用后通過“非破壞性”成像測量技術(shù)，如吸收成像或色散成像進行探測.2005 年，Higbie 等[32]對3787Rb 冷原子團進行了磁敏相襯成像.2010 年，Sadler 等[33]將該成像用于鐵磁域的動力學實驗中.在微重力情況下，一方面冷原子的溫度可以降低到PK 量級，使量子磁性效應顯著，更容易測量;另一方面BEC 的壽命被延長，從而滿足絕熱磁性相變的測量條件.

線性SU(2)光-原子混合干涉儀基于光和原子的相互作用，其輸出信號兼具對光場和原子的相位敏感性，相比經(jīng)典干涉儀具有更廣泛的應用場景.光學干涉儀具有更高的動態(tài)高速測量、空間分辨率和更寬的波段.但由于光學干涉儀可見單色光干涉條紋的分辨率較小，而且在測量過程中存在空氣阻尼、光電探測器中的非線性效應、儀器自身的擺動誤差、時間和位移測量的不確定度等，這些都會影響干涉光的質(zhì)量，影響測量精度.相比于光學干涉儀，冷原子干涉儀具有更高的可操作性，得以較好地控制冷原子的量子態(tài)，而冷原子的速度較低，從而增加了干涉的作用時間，可以得到較好的干涉條紋，使得重力測量方面的測量精度至少提高一個數(shù)量級，且應用范圍更加廣泛.

3 基于非線性干涉儀的精密測量

經(jīng)典干涉儀的測量靈敏度主要受限于散粒噪聲極限，而量子增強的精密測量可以超越這一極限.量子干涉是一種常用的參數(shù)測量手段，但線性干涉儀在測量時的靈敏度受限于探測噪聲，1985 年Yurke 等[34]提出非線性干涉儀，克服了這一困難.利用非線性光學分束器NBS 作為干涉器件，代替干涉儀中的BS，將干涉儀的輸入狀態(tài)進行壓縮糾纏，從而利用壓縮噪聲提高信噪比，進而提高測量精度.基于非線性物理過程的非線性干涉儀又叫SU(1，1)干涉儀.但探測光場的平均光子數(shù)受限于放大器的增益，導致靈敏度無法達到具有實際測量價值的水平，2010 年，Plick 等[35]提出通過在非線性干涉儀的輸入端口注入相干態(tài)來提高系統(tǒng)的測量靈敏度.2013 年，Kong 等[36]利用四波混頻過程實現(xiàn)了SU(1，1)干涉儀，在實驗上，四波混頻的SU(1，1)干涉儀有90% 以上的對比度，與傳統(tǒng)的M-Z 干涉儀相比，SU(1，1)干涉儀提高了(4.1±0.3)dB 的信噪比.除了全光干涉儀，還有原子波構(gòu)成的原子干涉儀，以及光原子混合干涉儀.華東師范大學張衛(wèi)平團隊[26，37，38]利用原子和光的受激拉曼散射過程實現(xiàn)了一種新的光-原子混合SU(1，1)干涉儀，基于光和原子的相互作用，實現(xiàn)廣域原子之間的干涉，并且在混合干涉儀的輸出端觀測到對比度為95% 左右的干涉條紋.在原子干涉測量領域，在俘獲離子系統(tǒng)、冷熱氣體和冷原子中已經(jīng)證明了超過標準量子極限的測量精度.

干涉儀的3 個階段都可以通過量子資源的調(diào)用來實現(xiàn)標準量子極限的突破.對于第一個階段，不同的輸入態(tài)會導致不同的靈敏度.經(jīng)典情況下輸入為相干態(tài)，即對應標準量子極限，若輸入為量子態(tài)，如壓縮態(tài)、糾纏態(tài)、NOON 態(tài)、雙FOCK 態(tài)等，則可以提升靈敏度達到海森伯極限，但由于光子數(shù)的限制，實際上在絕對靈敏度上與經(jīng)典測量仍然存在一定差距;第二個階段是分/合束過程.傳統(tǒng)的M-Z 干涉儀是一個線性過程，不會涉及到信號的衰減或者放大，通過一個非線性過程(如參量轉(zhuǎn)換和四波混頻過程)來代替線性的合束器與分束器，這樣可以帶來信號的增益，提升靈敏度;第三個階段是探測過程，常用的探測手段主要是通過強度探測(intensity detection，ID)，平衡零拍探測(homodyne detection，HD)，宇稱探測(parity detection，PD)這3 種探測手段來提升靈敏度.

非線性干涉儀以SU(1，1)為例.利用一個非線性衍化(即在一束經(jīng)典光的作用下使兩個光子同時產(chǎn)生或同時湮滅)進行映射，也可以說對于量子模式下兩個均為真空態(tài)的輸入態(tài)，通過參量轉(zhuǎn)換、四波混頻來產(chǎn)生一對有關聯(lián)的光子，則對U1來說，哈密頓量，在沒有相位衍化時，干涉儀從輸入真空態(tài)到輸出真空態(tài)，進行時間的反演產(chǎn)生負哈密頓量，即U2=;H2=-H1，測量兩個相位加和Uφ;φ=φ+1+φ-1，U1為分束鏡，U2為合束鏡.非線性干涉儀原則上即指在合束階段進行時間反演的操作，此時的輸出態(tài)為經(jīng)典態(tài)，從而放大信號，提高測量精度.原理如圖5所示.非線性干涉儀映射可用下式表示:

圖5 非線性干涉儀.將分束鏡和合束鏡用非線性的哈密頓量壓 縮到哈 密頓量 來產(chǎn)生，U1 為分束 鏡，U2 為合束 鏡.將相同的壓縮機制進行反壓縮成真空態(tài)后，信號便得到了放大Fig.5.Schematic diagram of the nonlinear interferometer.The beam-splitting mirrors and beam-closing mirrors are produced by squeezing to the Hamiltonian with a nonlinear Hamiltonian，U1 is the beam-splitting mirrors，U2 is the beam-closing mirrors.After the same compression mechanism is inversely compressed into a vacuum state，the signal is amplified.

在海森伯表象里G對應的漲落越大，則測量精度越高.

非線性SU(1，1)光-原子混合干涉儀的分/合束過程采用參量型拉曼散射的方式，非線性與線性光-原子混合干涉儀都可使測量精度突破標準量子極限.理論研究表明，在理想條件下，通過非線性過程產(chǎn)生的光場會處于非經(jīng)典量子態(tài).這樣的干涉儀的測量精度都允許達到海森伯極限.下面主要針對這幾個不同的階段來討論如何利用非線性干涉儀在非經(jīng)典態(tài)中突破標準量子極限達到海森伯極限.

3.1 壓縮態(tài)(單模壓縮)測量

3.1.1 輸入階段

壓縮態(tài)是指光場或粒子某一物理量的不確定度小于散粒噪聲極限下的量子態(tài).量子壓縮光降低了量子噪聲.真空態(tài)經(jīng)過壓縮算符(ζ)=exp[(ζ-ζ*?)/2] 作用可以得到壓縮真空態(tài)，ζ=reiφ為各因素的相關系數(shù).壓縮態(tài)光場作為一種非典型光場，一般包括光子數(shù)壓縮、正交壓縮和強度差壓縮等，單模壓縮態(tài)光場是指正交壓縮態(tài)光場(即光場的一個正交分量噪聲被壓縮)可以低于標準量子極限，此時，由于海森伯測不準原理的限制，光場的另一個正交分量噪聲高于標準量子極限.量子壓縮的程度直接決定了它對物理系統(tǒng)性能的提高程度.在量子力學中，限定了測量系統(tǒng)精度的不確定性關系針對的是一對不對易物理量，如光場的振幅、位相分量算符和和，它們的漲落特性可以由海森伯不確定關系表述:

壓縮態(tài)的相位和振幅的不確定度不相等，因而在相空間中是一個壓縮的橢圓.描述光的不確定度在一個自由度上變小時在另一個自由度上變大，故在測量其中一個物理量的精度時，不考慮另一個物理量的精度要求，便能使該物理量的精度達到更高.對于壓縮態(tài)，其平均光子數(shù)不為零，基于壓縮態(tài)的相位最小測量值為

式中，sinh2r為壓縮光光子數(shù)，r為壓縮因子，相位靈敏度 (1/Δφ) 隨著r的增大而提高，r的增大也導致 sin(h2r) 的增大，當滿足時，得到最小測量值的最優(yōu)解，可到達海森伯極限的測量靈敏度.

自1979 年Yuen 和Shapiro[42]首次提出使用簡并四波混頻效應產(chǎn)生壓縮態(tài)光場的概念后，1986 年Wu 等[43]利用光學參量下轉(zhuǎn)換在實驗中觀測到了單模壓縮態(tài).此后，隨著研究的不斷深入，實現(xiàn)了不同類型的壓縮，壓縮精度也在不斷提高.1992 年，山西大學彭堃墀教授團隊首次在國內(nèi)成功制備了單模壓縮態(tài)[44].2008 年，LIGO 實驗室Goda 等[45]通過向Michelson 干涉儀中注入壓縮光將測量的精度提高了44%.2013 年，LIGO 研究團隊[46]利用壓縮光在150 Hz 處得到了40%的寬帶精度提高.2016 年，德國漢諾威大學Vahlbruch等[47]獲得了目前最高的單模壓縮態(tài)，達15 dB .2020 年，麻省理工學院Yu 等[48]對比了3 種不同φ值的壓縮測量值，如圖6 所示.

圖6 不同壓縮角時的量子噪聲譜 (a)7°;(b) 24°;(c)46°.每個數(shù)據(jù)集都采用經(jīng)典噪聲減法繪制，并繪制了有注入壓縮態(tài)時相應的量子噪聲模型曲線(銅線)和沒有注入壓縮態(tài)的模型(藍線)以進行比較.結(jié)果表明隨著注入狀態(tài)的變化，量子輻射壓力噪聲的貢獻可以增加和減少[48]Fig.6.Quantum noise spectra at different additional squeezing angles:(a) 7°;(b)24°;(c) 46°.Each dataset is plotted with the classical noise subtraction，The corresponding quantum noise model curve (copper line) with the injected compressed state and the uninjected compressed state model (blue line) are also plotted for comparison.The results show that，the quantum radiation pressure noise contribution can be increased and decreased as the injected state is varied[48].

減法后推斷在注入壓縮態(tài)時進行測量的量子噪聲的表達式Q(Ω) 為

式中，Dr，Ds和Mr分別表示參考和壓縮操作情況下的頻率相關數(shù)據(jù)和模型光譜密度.

3.2 糾纏態(tài)(雙模壓縮)測量

3.2.1 分/合束階段

糾纏態(tài)又叫EPR 態(tài)或雙模壓縮態(tài)，是兩個光場模式的正交分量之間存在糾纏.當光子經(jīng)過第一個分束器后有兩種路徑的選擇，假如N個光子依次經(jīng)過分束器，如果輸入的光子之間相互獨立，那么前后兩個光子的路徑選擇沒有關聯(lián).如果光子之間存在糾纏，就會使所有的光子選擇保持一致，然后在經(jīng)過第一個分束器后，便會有兩種結(jié)果:即所有的光子都選擇第一條路徑或所有的光子都選擇第二條路徑.這兩種可能的結(jié)果之間相差一個相位，比單個光子的實驗信號放大了N倍，由此可獲得的測量靈敏度達到海森伯極限.原子在相對較短的時間內(nèi)可以產(chǎn)生自旋壓縮態(tài).如果一個垂直于平均自旋分量的方差小于相干自旋態(tài)給出的散粒噪聲J/2，則認為量子態(tài)被自旋壓縮.存在子系統(tǒng)的態(tài)和另一個子系統(tǒng)的態(tài)有一定的關聯(lián)，這樣的態(tài)我們稱為量子糾纏態(tài).對于二能級原子組成的冷原子系綜，糾纏態(tài)需滿足FQ＞N的條件.

自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換是一個利用二階非線性效應的過程.非線性干涉儀基于參量放大過程也可以顯著提高相位測量精度.利用光學參量放大器(optical parametric amplifier，OPA)輸出光場的糾纏特性，使探測光場由相干態(tài)轉(zhuǎn)為壓縮態(tài)，從而實現(xiàn)突破標準量子極限的測量精度.OPA 的變換算符被稱為糾纏算符，又叫雙模壓縮算符，表達式為.雙模真空態(tài)光場在該算符作用下變?yōu)榧m纏態(tài)|r〉a，b=.

有相干態(tài)注入的非線性干涉儀理論模型以及具體過程如圖7 所示.通過將被測量合理地調(diào)制在具有糾纏特性的光場的一臂或兩臂，該信號在噪聲下降的同時得到放大，與線性干涉儀相比，非線性干涉儀系統(tǒng)在小信號測量時可以獲得顯著提升的信噪比[49].

圖7 非線性干涉儀原理圖.OPA1-2，光學參量放大器;HD1-2，平衡零 拍探測 器， 為信號光場，為閑頻光場;G1，g1，G2，g2 為參量放大器振幅增益系數(shù)[49].將相干態(tài) |α〉光場和真空態(tài)|0〉 光場同時輸入OPA1 中進行非相敏放大，利用產(chǎn)生的具有糾纏特性的閑頻光場與信號光場作為探測光場，將被測信號加載到糾纏光上，然后將攜帶被測信號的兩束光同時輸入OPA2 中進行相敏放大Fig.7.Principle diagram of the nonlinear interferometer.OPA1-2，optical parametric amplifier;HD1-2，setup of balanced homodyne detection， is signal light field， is idle frequency light field;G1，g1，G2，g2 are parametric amplifier amplitude gain coefficient.The coherent state|α〉 light field and vacuum state|0〉 light field simultaneously input in OPA1 for nonphase sensitive amplification，using the entanglement of idle frequency light field and signal light field as detection light field，the measured signal on the entangled light，and then carry the two light of the measured signal simultaneously input OPA2 for phase sensitive amplification[49].

當輸入態(tài)為相干態(tài)和壓縮真空態(tài)時，經(jīng)過OPA1之后，其中一個模式的光束會產(chǎn)生一個相移φ，而另一個模式的參考光束則保持固定的相位，然后再經(jīng)過OPA2 合束/分束.當φ=0 時即為最優(yōu)的相敏點，根據(jù)實際測得的信號漲落計算得到最優(yōu)相位敏感度為

式中，e2r為輸入 的壓縮真空，Nα=|α|2為輸入的相干態(tài)，NOPA=2sinh2g是OPA1 在真空輸入下輸出的光子數(shù)，即自發(fā)輻射光子數(shù).隨著正交分量r的增大，測量的相位靈敏度越高.在最優(yōu)條件下，當NOPA?1 時，非線性干涉儀的相位測量精度可接近海森伯極限 (Δφ′)2≈1/N2.

四波混頻作為一個三階非線性相互作用的過程，不需要與外部腔進行耦合，具有空間多模的特性.被廣泛應用于量子精密測量和量子信息.四波混頻基于銣原子的超精細能級結(jié)構(gòu)，其中兩個強光與非線性介質(zhì)相互作用，從而產(chǎn)生一對光子.在原子系綜的四波混頻過程滿足動量守恒和能量守恒，在非簡并情況下可得到糾纏態(tài)，得到更高的壓縮度.1985 年，Slusher 等[50]發(fā)現(xiàn)通過鈉原子蒸汽中的四波混頻過程可觀測到雙模壓縮態(tài).1999 年，彭堃墀教授團隊[51]成功制備了連續(xù)變量 EPR 糾纏態(tài).2008 年，Lett 團隊[52]利用基于銣原子系綜中雙 Λ 型能級結(jié)構(gòu)的四波混頻過程制備了雙模壓縮態(tài).2011 年，Glorieux 等[53]利用銣原子氣體四波混頻效應得到糾纏態(tài).2019 年，華東師范大學劉勝帥等[54]基于堿金屬原子系綜過程中的四波混頻過程得到了10.13±0.21 的量子壓縮強度，是目前獲得的最高強度差壓縮.此外，在多體系統(tǒng)中，時間反演這一操作的實現(xiàn)難度阻礙了非線性干涉儀的發(fā)展.2021 年12 月，清華大學尤力教授團隊[55]提出了使用相互作用系統(tǒng)內(nèi)稟的周期性演化的方法，以此代替時間反演，并成功觀測到突破標準量子極限，約增加了5 dB 的相位靈敏度.

3.2.2 探測階段

強度測量是經(jīng)典干涉測量中探測噪聲最常用的測量手段，其工作原理為對兩個輸出端口中任意一個端口的輸出強度進行測量.在輸入態(tài)為兩束相干光|α〉和|β〉的情況下，強度探測的最優(yōu)相位靈敏度為[56]

1983 年，Yuen 和Chan[57]提出了測量光場量子態(tài)正交分量值的方法，被稱為平衡零拍探測(balanced homodyne detection，BHD)，并在同年由Abbas 等[58]實現(xiàn).當干涉儀的輸入狀態(tài)完全等于輸出狀態(tài)時，稱為平衡條件，平衡零拍探測的基本原理如圖8 所示.

圖8 平衡零拍探測裝置[59].將輸入光場 a 與待測光場 b通過50∶50 分束器進行合束，合束后，用光電探測器分別對輸出的兩束光場 c 與 d 進行光強探測，然后將探測信號相減，得到的即為待測光場的正交分量值Fig.8.Setup of balanced homodyne detection [59].The input light fields a and b light fields to be measured are combined through a 50∶50 beam splitter.After the beam combined，the two output light fields c and d are detected by photodetector，and then let the detection signal subtraction.The result is the orthogonal component value of the light field to be measured.

在平衡零拍探測情況下，最優(yōu)相位敏感度為

宇稱測量也被稱為奇偶測量，1996 年，由Bollinger 等[60]在研究囚禁離子實驗中首次提出，后被Gerry[61]應用到光學干涉測量.這種測量手段是對任意一個輸出端口中光子數(shù)的奇偶性進行統(tǒng)計，從而估計所要進行測量的相位信息.當光子數(shù)為偶數(shù)時，測量結(jié)果記為1，當光子數(shù)為奇數(shù)時，測量結(jié)果為—1.因此，以輸出端為例奇偶測量的測量算符可表示為

在輸入態(tài)為一束相干態(tài)和一束壓縮真空態(tài)的SU(1，1)非線性干涉儀中，宇稱探測在φ=0、相干態(tài)的初始相位θα=0 時具有最優(yōu)相位靈敏度[60]:

式中，Nα=|α0|2是相干光的平均光子數(shù)，Ns=sinh2r是壓縮真空態(tài)的平均光子數(shù)，NOPA=2sinh2g是OPA1 自發(fā)輻射光子數(shù).

當輸入的相干態(tài)和壓縮真空態(tài)的平均光子數(shù)大約相等時，非線性干涉儀的相位靈敏度可接近海森伯極限，通過參量之間的約束關系可得宇稱探測的相位靈敏度為

當輸入壓縮真空態(tài)，且獨立測量次數(shù)比較小時，宇稱探測的相位靈敏度為

綜上所述，當輸入態(tài)不同時，最適用的探測手段各不相同，宇稱探測適用于輸入態(tài)為一束壓縮真空態(tài)和一束相干態(tài)，平衡零拍探測適用于兩束相干態(tài)，且這兩束相干態(tài)光強需相等.在理想情況下，兩者測量方法都可接近海森伯極限測量精度.

3.2.3 其他形式糾纏態(tài)測量

式中，ξ≡minθ，φξθ，φ為自旋壓縮參數(shù)，測量靈敏度大約超出散粒噪聲極限的2—5 倍.該方案提供了一條實現(xiàn)量子增強冷原子引力測量的途徑.

當N個處于|↓〉的粒子與N個處于|↑〉 的粒子等概率疊加時被稱為最大糾纏態(tài)，又叫Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)，可寫成

式中，γ代表一個任意相位，在干涉儀中當γ=0 時，輸入態(tài)為

經(jīng)過自由演化，處于|↓〉的粒子積累相位，處于|↑〉的粒子積累相位，得到輸出態(tài)為

故可得FQ=N2，相位測量精度可達 1/N[65-70].

由于最大糾纏態(tài)的實驗條件較為困難，形成的糾纏較弱且不易控制，容易受相關環(huán)境因素的影響，導致粒子數(shù)的損失，從而影響測量精度.于是自旋貓態(tài)這種易于制備且更穩(wěn)定的多粒子態(tài)應運而生.

自旋貓態(tài)又叫NOON 態(tài)，NOON 態(tài)本質(zhì)上是一種宏觀自旋相干態(tài)的疊加[71]，可寫為[72]

2018 年研究發(fā)現(xiàn)，NOON 態(tài)具有海森伯極限標度，由(25)式可得

故相位測量精度滿足

由此可看出該測量精度接近海森伯極限[72].

相較于最大糾纏態(tài)，NOON 態(tài)更容易制備，理論上，量子力學中相空間的方法可實現(xiàn)混合NOON態(tài)，但在實驗過程中有著極大的困難和挑戰(zhàn).NOON態(tài)具有魯棒性的特點，即系統(tǒng)對參數(shù)擾動的不敏感性，基于該理論被應用于制造實時測量物體的溫度、位置等物理量變化的量子傳感器，實現(xiàn)高精度測量.

雙數(shù)態(tài)又叫balanced spin -1/2 Dicke 態(tài)，一種高度糾纏態(tài)，是自旋朝上和朝下粒子數(shù)相等的量子態(tài)，在廣義 Bloch 球上表征為一個在赤道上的圓環(huán)，如圖9 所示.

圖9 左圖為不同的量子態(tài)的旋轉(zhuǎn)，右圖為對應不同量子態(tài) 沿y 方向的自旋概率為 P y(m)=|〈my|Ψ〉|2 (a)自旋壓縮態(tài);(b)雙Fock 態(tài)，由不可區(qū)分的玻色粒子組成，|↑〉和|↓〉 的原子數(shù)相等，在Bloch 球中，沿緯度方向的量子投影噪聲為零即不確定度為零，但沿經(jīng)度方向的分布則完全不確定;(c) NOON 態(tài)[27]Fig.9.Rotation of different quantum states (left)，spin probability P y(m)=|〈my|Ψ〉|2 along the y direction of different quantum states (right):(a) Spin-squeezed state.(b) twin-Fock state.Comconsists of indistinguishable Boseonic particles，with equal atomic numbers for|↑〉 and|↓〉. The quantum projection noise along the latitude direction is zero and the uncertainty is zero，but the distribution along the longitude direction is completely uncertain.(c) NOON state [27].

在單粒子Fock 直積態(tài)下，雙數(shù)態(tài)可表示為

式中，N為偶數(shù)，利用雙數(shù)態(tài)作為輸入，可以實現(xiàn)達到海森伯極限的量子干涉測量，利用雙數(shù)態(tài)進入分束器的系數(shù)進行計算可得其量子Fisher 信息為

得其相位測量精度滿足

因此，利用雙數(shù)態(tài)進行相位測量，理論上所能達到的最小相位不確定度幾乎正比于總粒子數(shù)N(N ?1)，具有海森伯極限的測量精度[73].在實驗方面，國內(nèi)外團隊在基于冷原子系綜的雙數(shù)態(tài)的制備中也取得了先進的實驗成果.

4 弱測量

4.1 弱測量的實現(xiàn)

弱測量是通過將測量儀器與量子系統(tǒng)耦合，并檢測由耦合強度決定的儀器態(tài)位移水平來實現(xiàn)的，為直接觀察量子態(tài)、量子波函數(shù)和基本的量子效應提供了可能.1988 年，Aharonov 和Alber 等首先提出弱值的概念.由于量子測量會造成量子態(tài)|Ψ〉坍縮，為了移除使用|Ψ〉而造成的時間不對稱，降低t時刻的觀測對量子系統(tǒng)的影響，則需要采用弱測量方法，弱測量被理解為一種間接測量的方式，利用量子指針對測量結(jié)果進行篩選，一般分為3 個過程:選擇前初態(tài)的制備、系統(tǒng)和探針之間的相互作用以及系統(tǒng)后選擇.不同于強測量，弱測量會使耦合變?nèi)?，在幾乎不干擾量子態(tài)的情況下對量子系統(tǒng)進行測量，不會導致量子系統(tǒng)坍縮.弱值表示了對由演化算符變化引起的探測概率變化的糾正，一般來講，弱值可取復數(shù).將測試量子系統(tǒng)后選擇的放大程度用弱值來量化，將其定義為，|ψi〉 為前選擇態(tài)，|ψf〉 為后選擇態(tài)，其原理如圖10.在量子力學中，觀測量的變化通過哈密頓算符來表示，在弱測量中，假設相互作用的哈密頓量為，從而可得相互作用的時間演化算符為用以比較經(jīng)過演化前后的探測概率的差異.

圖10 弱值放大原理圖，g 為耦合強度，A 為量子系統(tǒng)的可觀測量，P 為測量儀器態(tài)的可觀測量，|ψi〉 為測量儀器與量子系統(tǒng)的聯(lián)合態(tài)，δ (t-t0) 為 該哈密頓量在 t0 時刻的瞬時相互 作用，|φ〉 為儀器態(tài)，|φf〉 為后選擇成 功的測量儀器態(tài)[74]Fig.10.Schematic for the weak-value amplification，the g is the coupling strength，the A is the observable of the quantum system，and the P is the observance of the measured instrumental state，|ψi〉 is the joint state of the measurement instrument and the quantum system，δ (t-t0) indicates the instantaneous interaction of this Hamiltonian at time t0，|φ〉 is Instrument state，|φf〉 is the successfully post selective measurement instrument state[74].

可通過觀察后選擇光子數(shù)的變化來估計g.對于單個探測脈沖，假設初始狀態(tài)為相干態(tài)，寫為

對于純相干態(tài)精度探測的尺度，測量靈敏度計算為

式中，n=|α|2為平均光子數(shù)，Δn為平均光子數(shù)變化量.

文獻[75]給出了在n=2 當系統(tǒng)初始狀態(tài)為最大糾纏態(tài)時，后選擇概率為

后選擇后指針分布為

當系統(tǒng)初始狀態(tài)為直積態(tài)時，后選擇概率為

后選擇后指針分布為

2014 年，Dressel 等[76]采用光學實驗來通過偏振變化來得到弱值.最初實驗裝置如圖11(a)所示，平行激光束的初始態(tài)表示為|φi〉|ψi〉，其中|φi〉 為初始光偏振態(tài)，|ψi〉 表示初始橫向位置信息態(tài)，二者表示了初始態(tài)的兩個維度之間的張量積.光束通過選擇態(tài)對應的線性偏振態(tài)|φf〉 之后由CCD(charge coupled device)探測器接收.CCD 探測器的每個像素探測光子對應的探測概率表示為

式中，|ψf〉 為探測器像素橫向位置的后選擇態(tài).對于我們來說后選擇態(tài)對應的是特定橫向位置態(tài)|x〉或者動量態(tài)|p〉，后選擇態(tài)取決于CCD 探測的是位置信息還是動量信息，稱這種探測概率P為“非擾動”探測概率.

現(xiàn)將雙折射晶體放在初選態(tài)和后選擇偏振片之間，如圖11(b)所示.

圖11 弱值實現(xiàn)實驗裝置圖 (a)單模光纖射出的平行光符合高斯強度分布，由1/4 波片和半波片實現(xiàn)初始態(tài)，偏振片形成后選擇態(tài)，CCD 用來檢測偏振相關的位移變化情況;(b)弱值實部的實驗裝置圖;(c)弱值虛部的實驗裝置圖[76]Fig.11.Experimental setup for showing how weak values can be obtained:(a) Light emitted from a single mode fiber is Gaussian distribution，which is collimated by a len and is preselected by an initial polarization state constructed by a quarter-wave plate (QWP) and a half-wave plate(HWP).A polarizer plays an role of postselection and the following CCD then measure the intensity dependent position information.(b) real weak value realization setup.(c) imaginary weak value realization setup[76].

=|H〉〈H|-|V〉〈V|表示斯托克斯(Stokes)偏振操作符，對應的|H〉和|V〉的特征值分別為1 和—1.P? 為橫向動量算符，表征產(chǎn)生在橫向位置對應x的變化.時間演化算符(ε) 將光子的偏振變化和光子的位置變化聯(lián)系起來，經(jīng)過該演化過程之后的“擾動”所對應的探測概率表示為

作為實際例子，考慮光子位置滿足高斯分布

初始的偏振態(tài)的選擇為

對應的后選擇偏振態(tài)表示為

圖12(a)中整體的探測概率為|〈φf|φi〉|2=0.012 .當晶體放置在其中(如圖11(b))，相互正交的偏振態(tài)對應的光在后選擇態(tài)之前在空間上偏移分量的表示為ε，不同ε情況下的分布如圖11(a)中實線所示，其中的虛線對應“無擾動”情況的分布.在弱相互作用機制下，晶體厚度非常小，ε足夠小的情況下，得到

圖12 弱測量結(jié)果示意圖[76] (a)“擾動”(實線)和”無擾動“(虛線)在不同 ε 情況下探測概率比較;(b)完全階數(shù)情況下的(實線)和一階弱值(虛線)在不同 ? 情況下的比較，在 ε 極小時，二者近似Fig.12.(a) Comparisons between perturbed situation (solid) and unperturbed situation (dashed) with different ε ;(b) diagram between exact ratio of P ε/p (solid curve) and the first order approximation in weak measurement linear regime(dashed curve)，both of them are approaching when the ? is ultra-small[76].

圖12(b)中實線 表明了Pε/P在不同ε情況下隨x的變化曲線.同樣，通過傅里葉變換得到后選擇態(tài)|φf〉=|P〉，可以得到弱值的虛部 I mAw(如圖12(c)所示)，由動量弱值Pw=p可以推出

結(jié)果表明，可以通過不同的前后選擇的設置來得到弱值的實部和虛部的弱測量，實部和虛部有著不同的物理意義，同樣有著不同的性質(zhì).最開始的弱測量利用的一般是實部的弱測量，后面的結(jié)果表明，虛部的弱測量可以利用光子位置或者動量的不確定性.選擇何種弱測量方式取決于演化算符和最后測量的光子信息.

2018 年，中國科學技術(shù)大學陳耕等[77]提出了一種估計純量子系統(tǒng)與探針之間弱耦合強度測量(又叫單光子克爾效應測量)的新方案.從理論和實驗上證明了混合探針態(tài)結(jié)合純量子系統(tǒng)的后選擇，可以用來提高精度.通過混合一系列純態(tài)，可以使探針狀態(tài)的不確定性增加，這種方法即不糾纏也不壓縮，所依賴的量子資源是單光子疊加，這更加易于生產(chǎn)和操作，在該方案中，測量了虛數(shù)的弱值(平均光子數(shù)的變化量)而不是實數(shù)的弱值.將測量探針與弱值虛部結(jié)合可得δP=2g(ΔP)2ImAw.當探針為各種相干態(tài)的混合物時，使用混合態(tài)探測大大增加了平均光子數(shù)的變化量，由于混合態(tài)可以通過一定相干態(tài)α0的振幅調(diào)制產(chǎn)生，因此標準偏差σ超過量子漲落|α0|，達到σ∝N.用v入射脈沖數(shù)對g的估計精度為

式中，N為所使用的量子資源數(shù)量，由此可以看出，測量精度g可突破標準量子極限達到海森伯極限精度.計算得Fisher 信息為.通過繪制g與混合態(tài)平均光子數(shù)N的精度，可以觀察到一個明顯的海森伯測量尺度，如圖13 所示

圖13 具有海森伯精度的實驗測量結(jié)果，綠色實線表示對點的擬合，紅色實線表示混合態(tài)測量精度的一個界限[77]Fig.13.Experimentally obtained precision showing Heisenberg scaling.shown as a green line，obtained by fitting these points.The red line is a bound on the precision for mixed state[77].

通過測量后選擇的概率也可以達到海森伯測量精度，弱測量的前后選擇狀態(tài)分別為|ψi〉=|0〉+|1〉 和|ψf〉=|0〉-e-iε|1〉 .根據(jù)后選擇概率可估計出相互作用強度g，則測量靈敏度可通過儀器上的不確定度和儀器態(tài)位移靈敏度的比值來預測.計算可得測量精度為為成功后選擇概率，;s為測量靈敏度.

而后選擇概率以及評估測量精度方面，糾纏系統(tǒng)初態(tài)的方案要優(yōu)于直積系統(tǒng)初態(tài)方案.由于傳統(tǒng)的量子層析的方法中量子態(tài)有著復雜的重構(gòu)過程，因此對高維量子態(tài)采用直接層析的方法，在對一般量子態(tài)進行測量時，直接層析可以得到比弱測量更高的靈敏度和精度.2019 年，Ogawa 等[78]利用演化算符T，提出了光子空間波函數(shù)直接層析的理論方案，該方案不僅表征效率，也避免了光子損失.

傳統(tǒng)的弱測量一般應用光子的位置和動量信息，文獻[79]提出了一種基于相干光的光子統(tǒng)計信息的弱測量方法，利用相干態(tài)作為指針，光子的統(tǒng)計分布信息隨著耦合參數(shù)的變化而變化.文獻[79]分析了光子數(shù)態(tài)的分布特性，不同于探測總光子數(shù)變化情況，可以更為有效地利用弱測量結(jié)構(gòu).未來或可應用壓縮態(tài)的光子統(tǒng)計分布作為一種弱測量的方法.

4.2 弱測量在非厄米系統(tǒng)的應用

在應用方面，弱測量理論的提出也為測量非厄米系統(tǒng)提供了新的方法.在量子力學中，能量的本征值為實數(shù)，哈密頓量在一般情況下為自厄米，而本征值為虛數(shù)的系統(tǒng)被稱為非厄米系統(tǒng)，在某些對稱情況下，非厄米哈密頓量也存在實數(shù)本征值.長期以來，量子力學中用厄米算符表示可觀測物理量是一種根深蒂固的觀念.而事實上可觀測物理量只是算符具有厄米性的必要條件，很多非厄米算符也可以對應正定的實數(shù)本征值.這些非厄米算符也對應一套自洽的量子理論，這些理論大大地擴展了厄米量子理論的應用范圍.

1988 年，PT(parity-time)對稱理論的發(fā)表使得量子力學理論得到了迅速發(fā)展，若一個模型既有PT 對稱區(qū)，又有PT 破缺區(qū)，則該模型被稱為贗厄米.這種具有厄米力學量性質(zhì)的哈密頓量非厄米被稱為贗厄米系統(tǒng)，贗厄米系統(tǒng)的能譜有兩種可能，即為實數(shù)或為一個正虛數(shù)對.

非厄米的本質(zhì)是一個相對權(quán)重的變化，該相對權(quán)重等效地用非厄米哈密頓量來表示.2017 年，Masahito Ueda[80]給出了真實的計算例子，如圖14所示.

圖14 (a)無測量的幺正演化;(b)弱測量下的連續(xù)演化[80].結(jié)果表明，隨著時間的演化，若在沒有進行測量或躍遷時為幺正演化，會形成一個相對光滑的圖形;若投影到子空間或進行弱測量時，會形成具有明顯跳躍幅度的圖形，即為非厄米哈密頓量最終表達的效果Fig.14.(a) Without measurement:unitary evolution;(b)continuous evolution under the weak measurements[80].The results show that with the evolution of time，a unitary evolution occurs when no measurements or transitions are made，forming a relatively smooth figure，if projected to the subspace or weak measurement，forming a figure with significant jump amplitude，that is，the final expression of the non-Hermitian Hamiltonian.

2020 年，李傳鋒教授團隊[81]建立了一個量子弱測量PT 對稱系統(tǒng)，并將PT 增強傳感器轉(zhuǎn)換為量子版本，實現(xiàn)了比傳統(tǒng)厄米傳感器增強8.856 倍的測量靈敏度.弱測量可用于構(gòu)造非厄米量子的PT對稱系統(tǒng).給定一個PT 對稱的哈密頓量HPT(以下簡記為H)和一個態(tài)矢量|φ〉.直接測量H在|φ〉上的平均值，即 〈φ|H|φ〉η，這 里〈φ1|H|φ2〉η=〈φ1|ηH|φ2〉，代表η的內(nèi)積.不失一般性，一個二能級PT 對稱哈密頓量可寫為

圖15 (a)PT 對稱系統(tǒng)構(gòu)建邏輯圖實驗裝置[81](流程見圖).(b)圖表和設置都分為6 個模塊:(1)系統(tǒng)準備和擴展;(2)預選狀態(tài)準備;(3)指針狀態(tài)準備;(4)指針與嵌入了PT 對稱系統(tǒng)的膨脹系統(tǒng)的耦合;(5)后選;(6) 弱值讀出.HWP，半波片;QWP，1/4 波片;BS，分束器;PBS，偏振分束器;PP，相位板;BD，光束置換器;ppKTP，周期性極化的磷酸氧鈦鉀;BF，帶通濾波器;SPAD，單光子雪崩二極管Fig.15.(a) Logic diagram of the construction of PT-symmetric system.(b) Experimental setup.Both the diagram and setup are divided into 6 modules:(1) system preparation and dilation;(2) preselection state preparation;(3) pointer state preparation;(4)coupling of the pointer and dilated system in which the PT-symmetric system is embedded;(5) postselection;(6) weak value readout.HWP，half-wave plate;QWP，quarter-waveplate;BS，beam splitter;PBS，polarizing beam splitter;PP，phase plate;BD，beam displacer;ppKTP，periodically poled potassium titanyl phosphate;BF，band-pass filter;SPAD，single-photon avalanche diode [81].

使用該方法和實驗設置路徑，現(xiàn)在可以首先直接描述由H(s) 控制的PT-對稱系統(tǒng)的能譜E±(s)，其中r，θ為固定參數(shù)，s為變量.能譜見圖16.

圖16 PT 對稱系統(tǒng)的能譜 E+(s) 直接由弱值測量[81].帶有誤差條的黑色圓圈是弱值的實部和虛部，紅線是直接從PT 對稱哈密頓方程計算的相應本征能量.即.Fig.16.Energy spectrum E+(s) of the PT-symmetric systemdirectly measured by weak value .The black circles with error bars are real and imaginary parts of the weak value，and the red lines are the corresponding eigenenergy directly calculated from the PT-symmetric Hamiltonian Eq.(1);i.e.，

5 多參數(shù)測量

多參數(shù)量子估計是指利用量子糾纏和量子控制等量子資源實現(xiàn)海森伯極限精度的多個參數(shù)同時精密測量，表征量子計量學極限精度的一種廣泛使用的工具為量子Cramér-Rao 界.對于多參數(shù)量子估計，則涉及到多重海森伯不確定度.

2021 年，中國科學技術(shù)大學項國勇等實現(xiàn)了一個最優(yōu)控制的多參數(shù)量子估計的實驗演示，使測量精度提高了13.27 dB[82].利用SU(2)中算子3 個參數(shù)的估計，研究了多個海森伯不確定關系，同時實現(xiàn)了所有參數(shù)的海森伯極限精度測量.在測量包含3 個待測參數(shù)的量子比特幺正演化算符時，采用控制增強的次序測量技術(shù)，通過量子控制調(diào)控測量過程，使得每一份資源中3 個參數(shù)的信息都相干相長積累，如圖17 所示.

圖17 3 個參數(shù)的bloch 向量.量子控制使得3 個參數(shù)的信息bloch 方向上同時相干相長，最終達到海森伯極限的測量精度[82]Fig.17.Bloch vectors of the three generators.Quantum control enables simultaneous growth in the informative bloch direction of the three parameters，eventually reaching the measurement accuracy in the Heisenberg limit[82].

3 個參數(shù)的探針都變得更加尖銳靈敏，同時達到海森伯精度極限，除控制增強次序方案外，可將N個算符并行排列，探針狀態(tài)即可分離也可糾纏.通用算符 可以寫為Us=e-iαn·σ，n=(sinθcosφ，sinθsinφ，cosθ)，σ=(σ1，σ2，σ3) 為泡利矩陣對于可使用N個演化算符拷貝的所有估計策略，生成子的方差上界都是

可導出海森伯極限

在n次重復過程之后，計算得出最小方差的最終下界

式中，Hx ≡i(?xUS)為該參數(shù)的對應生成元.實驗分為3 個步驟，首先將探針狀態(tài)制備為最大糾纏態(tài)，偏振量子位，然后依次通過位置算符Us、控制算符Uc，重復進行n次，最后執(zhí)行最優(yōu)測量.其中.然后對σ3σ2，σ1σ3，σ2σ1這3 個測量值的共同特征向量進行投影測量.

對于SU(2)算符Us(α，θ，φ)，α，θ和φ的生成子分別為

nα=n，nθ=cosαn1+sinα n2，nφ=-sinα n1+cosα n2，n1=?θn=(cosθcosφ，cosθsinφ，-sinθ)，n2=n×n1=(-sinφ，cosφ，0) .此3 參數(shù)的生成子是互相不對易的，方差上界為

使用針對各個參數(shù)的最優(yōu)探針態(tài)即可取到這些上界.探測態(tài)|Ψ〉選擇最大糾纏態(tài)時可以同時讓3 參數(shù)的生成子的方差取最大值，方差分別為

對于(49)式的3 個生成子，可得

即最大糾纏態(tài)可以同時取到不等式(52)的上限.

生成子不對易并不意味著3 個參數(shù)同時最優(yōu)估計不可實現(xiàn).如果不同參數(shù)的最優(yōu)探針態(tài)相同，N拷貝酉算符的演化過程一致，并且最優(yōu)測量互相兼容，則可以同時實現(xiàn)最小方差.在最優(yōu)控制級聯(lián)方案下這些條件可以滿足.該工作已通過實驗實現(xiàn)了控制增強的級聯(lián)多參數(shù)估計方案.在此方案中，算符Us的N個拷貝順序排列，同時可在每次Us作用后插入控制操作Uc(參見圖18(a)).于是總演化可表示為UcNs，其中Ucs=UcUs，參數(shù)x的生成子可寫為

其中x∈{α，θ，φ}.若未對演化控制，如設置Uc=I，則θ的生成子的方差無法取到不等式(48)的上限，因為Us不與Hθ對易，圖18(c)和圖18(d)對此進行了說明.但若加入控制，則可使用適當?shù)目刂剖筓cs與Hx對易，然后從表達式(55)可得到Hx(N)=NHx，最后就可以取到不等式(48)的上限.為了同時取得3 個參數(shù)的最小方差，需要針對3 個參數(shù)設計相同的控制，即控制應使Ucs與3 個生成子Hα，Hθ和Hφ同時對易.這種控制確實存在，可選擇Uc=，在這種情況下Ucs=I，它與所有生成子都對易.但是，由于測量之前參數(shù)是未知的，因此實際的控制只能通過自適應的方式選擇，其中，是基于已有測量數(shù)據(jù)得到的參數(shù)估計值.在漸進極限情況下，生成子互相不對易的3 個參數(shù)在不等式(46)中的上限是可以取到的.實驗得到的3 個參數(shù)的高精度測量結(jié)果如圖19 所示.

圖18 (a)經(jīng)典獨立測量;(b)糾纏獨立測量;(c)糾纏并行測量在(a)和(b)這兩種獨立可分的測量方案中，演化酉算符的7V個拷貝被均勻地分為3 組，并且使用一組資源來估計其中一個參數(shù).(a)和(b)之間的區(qū)別是(a)僅使用可分探針態(tài)和可分測量，而(b)允許在每組資源中使用糾纏探針態(tài)和集體測量.(c)中糾纏同時測量未將N 拷貝酉算符分為3 組，而是將它們一起使用以同時估計全部3 個參數(shù)[82]Fig.18.(a) Classical independent measurement;(b) entangled independent measurement;(c) entangled simultaneous measurement are divided into three groups and use a set of resources to estimate one of the parameters.The difference between (a) and (b) is that (a) only uses separable probe states and separable measurements，while (b) allows the use of entangled probe states and collective measurements in each set of resources.The simultaneous measurement of entanglement in (c) does not divide the N-copy unitary operators into three groups，but uses them together to estimate all three parameters simultaneously[82].

圖19 控制增強次序方案下的精度實驗結(jié)果[82] (a) α ;(b) θ ;(c) φ .將這3 個參數(shù)在時的實驗結(jié)果與經(jīng)典態(tài)獨立測量、糾纏態(tài)獨立測量、糾纏態(tài)并行測量下可以達到的理論極限進行比較，每個參數(shù)的控制增強次序方案的理論實線也代表了在單參數(shù)估計中所能達到的最佳精度Fig.19.Experimental results of the precision under the control-enhanced sequential scheme:(a) α ;(b) θ ;(c) φ .The experimental results of these three parameters at are compared with the theoretical limits that can be achieved under the classical individual scheme，the entangled individual scheme，and entangled simultaneous estimation，The theoretical solid line of the control-enhanced sequential scheme for each parameter also represents the best precision that can be achieved in the singleparameter estimation[82].

以上，該團隊證明了該方案與具有相同損失的經(jīng)典方案相比提高了13.27 dB 的測量精度.

2021 年4 月，杭州電子科技大學陸曉明教授與浙江大學王曉光教授[83]通過給出估計不同參數(shù)的測量誤差之間的限制關系，將海森伯不確定原理納入到量子多參數(shù)估計中.得到了限制關系的聯(lián)合測量值，其中對于純態(tài)為一個實數(shù)，Qjk=tr(LjLkρθ)，Lj為θj的對稱對數(shù)導數(shù)算子;對于混態(tài)ρθ，亦可用變體替換使等式成立.考慮在相干態(tài)中編碼的復數(shù)α的估計，F(xiàn)isher 信息為

(56)式給出了誤差估計的最大信息下限.就誤差估計而言，結(jié)果如圖20 所示.

圖20 根據(jù)不確定性原理，曲線左下區(qū)域禁止對復數(shù) α的實部和虛部的使用相干態(tài)進行估計的均方誤差.黑色實線為限制關系，紅色虛線為基于右對數(shù)導數(shù)的幾何平均量子Cramér-Rao 界，藍色虛線為基于右對數(shù)導數(shù)的算術(shù)平均量子Cramér-Rao 界，綠色虛線為基于對稱對數(shù)導數(shù)的諧波平均量子Cramér-Rao 界[83]Fig.20.Mean-square errors of estimating the real and imaginary parts of a complex number α encoded in a coherent state.The regions below the curves are forbidden by the corresponding inequalities.The black solid curve stands for the regret trade-off relation，the red dashed curve stands for the right logarithmic derivative-based geometric-mean quantum Cramér-Rao bound，the blue dash-dotted curve stands for the right logarithmic derivative -based arithmetic mean quantum Cramér-Rao bound，and the green dotted curve stands for the symmetric logarithmic derivative-based harmonic-mean quantum Cramér-Rao bound[83].

6 總結(jié)與展望

本文回顧了線性與非線性干涉儀在量子精密測量方面的技術(shù)發(fā)展和基本原理.原子干涉儀的原子速度遠遠低于光速，在干涉過程中會經(jīng)歷更長時間的轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生更大的移動條紋，其靈敏度遠高于光子干涉儀，有極高的應用價值.其中，原子干涉儀系統(tǒng)中的光-原子混合干涉儀在光子探測方面表現(xiàn)更為突出，這意味著相同信號光子數(shù)下冷原子系綜有更大的相位移動和損耗的承受能力.在非線性干涉儀的三種探測手段中，理想情況下當輸入態(tài)為真空態(tài)時，宇稱探測和強度探測測量精度相當，都可接近量子Cramér-Rao 界;當輸入態(tài)為兩束相干態(tài)且這兩束相干態(tài)光強相等時，三種探測方式都可接近量子Cramér-Rao 界，平衡零拍探測的測量精度最高，宇稱探測的測量精度最低;當輸入態(tài)為一束真空態(tài)和一束相干態(tài)時，宇稱探測擁有最優(yōu)的測量精度，強度探測的測量精度最低，當輸入態(tài)僅為一束相干態(tài)的結(jié)果同上;非線性干涉儀中的損耗相對線性干涉儀較小，但也會導致測量精度降低，但平衡零拍探測受影響程度最好，宇稱探測受影響程度最大.總體來說，當N個無關聯(lián)粒子進行獨立測量時，線性干涉儀的測量精度為標準量子極限，非線性干涉儀相比而言有著更好的信噪比，可以達到海森伯極限，測量精度提升了 2G2倍.線性干涉儀在量子精密測量中有著大量應用，如探測引力波等，但在輸入態(tài)中多粒子糾纏的處理和操作以及測量過程中光子數(shù)的損耗和額外噪聲的減小都具有一定困難，雖然非線性干涉儀可以放大信號，獲得更高的探測精度，但目前為止還沒有實際的應用場景.

在非經(jīng)典量子態(tài)測量的實驗過程及非線性干涉儀中，不可避免地存在退相干效應，使糾纏變?nèi)?，影響測量精度，不同的退相干機制對測量精度也有不同程度的影響，在未來這項工作需要更深入的研究.因此考慮一種既可以放大信號，又可以容納一定損耗的高靈敏測量，2022 年，張衛(wèi)平教授團隊[84]提出了將線性干涉儀嵌入到非線性干涉儀的混合型干涉儀模型，獲得線性光學干涉儀的BS 測量相位靈敏度后再結(jié)合非線性量子放大器PA 進行相位信號的放大，實現(xiàn)了有損耗的情況下量子增強特性的保持.

弱測量在非厄米系統(tǒng)中用于設計高靈敏度量子傳感器，而離子阱方面的應用以及多參數(shù)測量在量子比特幺正演化算符和三維磁場矢量測量、陀螺儀等實際問題的研究也可使測量精度進一步提高.單參數(shù)量子精密測量技術(shù)目前已比較成熟，多參數(shù)測量則更常用于實際應用.在多參數(shù)估計任務中，在使用相同資源的前提下，單獨對每個參數(shù)設計最優(yōu)估計方案并進行測量并不能同時達到多參數(shù)估計的精度極限，而且還會浪費量子資源和時間資源.為了達到每個參數(shù)的最優(yōu)精度極限，需要最大化相應生成子的方差.當生成子相互不對易時，如果不同參數(shù)的最優(yōu)探針態(tài)相同，N拷貝酉算符的演化過程一致，并且最優(yōu)測量互相兼容，則可利用最優(yōu)控制級聯(lián)方案以同時實現(xiàn)生成子最小方差.當生成子不對易，又不滿足上述同時實現(xiàn)最小方差的條件，利用何種方法可使各個生成子同時取得最小方差還有待研究.

基于上述研究，我們猜想是否會存在一種基于原子自旋效應的多原子混合測量或利用其他粒子的探測手段實現(xiàn)精度為fT 量級甚至aT 量級的超高靈敏度測量儀器，希望給予未來發(fā)展以啟迪.量子精密測量在量子計算、量子信息等領域也有巨大的應用價值，此外，擁有超高靈敏度的電磁場核自旋放大技術(shù)可為暗物質(zhì)的探測提供服務.由于海森伯不確定原理的限制，能否實現(xiàn)超海森伯極限測量精度還存有爭議，在未來，面對這些挑戰(zhàn)，還需進一步實踐與探索.