孫建良 華東師范大學張江實驗中學

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的曲線叫做二次曲線，或圓錐曲線，它的圖形可能是常態(tài)圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線），也可能是退縮圓錐曲線（兩條相交直線、兩條平行直線、一條直線、一點、沒有圖形）。本文主要研究常態(tài)的圓錐曲線。

筆者將通過對上海自2017 年高考新綜合改革以來，數(shù)學試卷（春季與秋季高考）中圓錐曲線試題的題量與題型、知識點分布和試題分值統(tǒng)計與分析研究，明確考查的內容，了解試題的特點，提出高三圓錐曲線復習與練習教學的建議，試圖為“雙減”政策和發(fā)展學生核心素養(yǎng)背景下的高考數(shù)學復習階段的學和教提供有益的幫助與啟示。

一、高考圓錐曲線試題的統(tǒng)計分析

（一）高考圓錐曲線試題題量與題型

1.從試題的題量來看

整套試卷考查二次曲線的題量，除2020 年春考、2020 年秋考、2021 年春考出現(xiàn)兩次，其余年份均出現(xiàn)三次，占整套試卷題量的七分之一。這與二次曲線的知識內容在整個高中數(shù)學教學內容中的比例是相吻合的。

2.從試題的題型來看

試題以填空題形式進行考查的占比最多，選擇題形式考查的占比最少，這與試卷中填空題和選擇題的多少有關。解答題在三類題型中考查的次數(shù)處于中間，但解答題一般是綜合題，題目涉及多個知識的綜合應用，運算過程較為復雜，難度較大，對應的分值較高，所以，理應要引起師生的重視。

3.從試題出現(xiàn)的曲線頻次來看

考查次數(shù)最多的是橢圓，最少的是圓，雙曲線與拋物線出現(xiàn)的次數(shù)相當。在填空題中，橢圓出現(xiàn)的次數(shù)最多。而在解答題中，橢圓、雙曲線與拋物線考查次數(shù)相同。比較特別的是，除2018 年外，同一年的春考與秋考，解答題很少出現(xiàn)同一種二次曲線的?；蛟S，這對師生的復習會有所啟發(fā)。

（二）高考圓錐曲線試題知識點分布

1.從考查的知識點來看

對圓錐曲線定義和基本性質的考查，依次為橢圓、雙曲線、拋物線、圓；試題的形式，以填空題與選擇題為主。有的題較易，如根據(jù)給出的雙曲線方程直接寫出漸近線方程；而有的題較難，如，2018 年秋考第12 題是求圓上兩點到直線距離之和的最大值，難度不亞于一個綜合題。

2.從考查的綜合應用情況來看

圓錐曲線一般與直線的結合最多，相關延伸的有直線與圓錐曲線交點的個數(shù)、線段的長度、兩條直線的夾角；圓錐曲線與三角形，圓錐曲線與平行四邊形等；2021年春考，涉及兩條雙曲線的綜合問題，這是比較少見的現(xiàn)象。

（三）高考圓錐曲線試題分值

1.從試題的分值來看

每年涉及圓錐曲線的試題分值在26 分左右，約占總分的六分之一。2018 年春考，圓錐曲線試題分值最高，為32 分——主要是出現(xiàn)了兩道解答題。其中的一道題，是二次曲線在廣告燈設計中的應用，屬于應用題類型。2021 年春考，相關試題的分值最低，僅有19 分；不過，還考查了一題關于兩條直線的夾角，屬于解析幾何的范疇，所以，這一考查的安排，也算是合理的。

2.從考查的重點來看

除考查基本定義和基本性質的基礎題外，每年均有一道解答題，屬于綜合應用問題，難度系數(shù)高，學生要完整正確解答還是不容易的。這是廣大師生需要正確面對的事實。

二、高考圓錐曲線試題的來源探尋

高考作為國家的重要考試，應該始終貫徹黨的教育方針。中國高考評價體系，明確了高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能。因此，高考對命制試題的要求極高?？v觀命題者命題的依據(jù)，不外乎以下幾種：國家頒布的數(shù)學課程標準、考試大綱或說明、現(xiàn)行教材、歷年的教學參考資料和當年學生的知識能力整體水平等。

教材既作為落實新課程標準的重要載體，又作為教師教學與學生學習的最主要范本，自然有其重要的作用。除了教材，歷年的高考試題，都是經過精心研制而得，所以也會成為高考命題的重要參考。下面，我來具體分析一下高考試題的幾個來源。

（一）對教材中的例題進行改編

2018 年上海春考數(shù)學試題，第19 題是關于圓錐曲線應用的問題。試題如下：

利用“平行與圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，某快餐店用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在廣告牌上投影出其標識，如圖1 所示，圖2 是投影出的拋物線的平面圖，圖3 是一個射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點O、A、B在拋物線上，OC是拋物線的對稱軸，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米.

圖1

圖2

（1）求拋物線的焦點到準線的距離；

（2）在圖3 中，已知OC平行于圓錐的母線SD，AB、DE是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大?。ň_到0.01°）.

圖3

本題與上海教材（高二第二學期第67 頁的例3）高度相似。教材原題如下：

如圖12-48，汽車前反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點處，已知，燈口直徑是24 厘米，燈深10厘米，求燈泡與反射鏡的頂點的距離.（圖略）

這兩道題，都是關于拋物線應用的問題，均提供了燈口大小與燈深。不同之處，僅是實際應用的背景略有差異?？梢哉f，2019年上海春考數(shù)學試題第19題，是教材例題的翻版。這種高考試題與教材例題高度類同或相似的情況，值得我們好好研究。

（二）對教材中的習題進行拓展

2017 年上海高考數(shù)學試題，第20 題是一個關于橢圓上動點問題，試題如下：

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Г：+y2=1，A為Г的上頂點，P是Г上異于上、下頂點的動點，M為x軸正半軸上的動點.

①P在第一象限，且，求點P的坐標；

③∣MA∣=∣MP∣，直線AQ與Г交于另一點C，且求直線AQ的方程.

這道試題，是總題干下3 個小問題，難度則由簡單到復雜逐步提升，是一個考查橢圓知識的綜合題，對學生的能力要求較高。面對這樣比較新穎的綜合問題，學生初看會茫然無措。但是，如果我們對教材的內容理解深刻，就不難發(fā)現(xiàn)，本題與上海教材（高二第二冊第51頁）的習題，有頗多相似之處。原習題如下：

已知點P在焦點為F1、F2的橢圓=1上，若∠F1PF2=90°，求：|PF1|?|PF2|的值.

如果我們對本題進行適當?shù)淖冃危跅l件不變，只改變求解結論，則得到：

變形題1：已知點P在焦點為F1、F2的橢圓1上，若∠F1PF2=90°，求：P點的坐標.（或求：△F1PF2的面積.）

像這樣變形，在題設條件相同時，可以得出不同的結論；有些結論幾乎類同，只是從不同的角度去設問，實際求解過程基本相同。

變形題2：已知點P在焦點為F1、F2的橢圓+=1 上，若以F1、P、F2為頂點的三角形是直角三角形，求：P點的坐標.

在變形題2 中，題設條件略作改變，相應改變得出的結論。要注意原題中∠F1PF2=90°是確定直角，而變形后有可能∠F1PF2=90°或∠PF2F1=90°或∠PF1F2=90°，與原題相比，多了兩種可能性。在解題時，要增加分類討論；但解題過程和方法，則基本不變。

對比2017 年上海高考數(shù)學試題第20 題，其中第二小問，就是以A、P、M為頂點的三角形是直角三角形，那就要討論∠APM=90°、∠AMP=90°和∠PAM=90°。這與變型題2 幾乎類同。如果教師在平時的教學中，對課本中的例題或習題進行適當?shù)淖冃魏屯卣?，那么，學生在碰到新問題時，會利用化歸的思想，把新問題轉化為熟悉的老問題予以解決。

（三）對練習冊中的習題進行延伸

2018 年上海春考數(shù)學試題，第18 題考查的是直線與雙曲線相交問題，試題如下：

已知a∈R，雙曲線Г：-y2=1

（1）若點（2，1）在Г上，求Г的焦點坐標；

（2）若a=1，直線y=kx+1 與Г相交于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為1，求k的值.

本題與上海教材習題（高二第二學期第38 頁）極為相似。原習題如下：

已知直線l：y=ax+1 與雙曲線C：3x2-y2=1 相交于A、B兩點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）求當a為何值時，以線段AB為直徑的圓經過坐標原點.

這兩道題目，均是關于直線與雙曲線相交的問題。前者考查了相交所得線段的中點；后者則考查以相交所得線段為直徑的圓，實質是圓心平分該圓的直徑，也是關于線段中點的問題。只是從不同的角度去設問，學生要懂得這種圍繞一個核心內容從不同的方面來提出的問題，以不變應萬變。

類似的改變，還發(fā)生在2020 年春考數(shù)學試題中，其第20 題，是關于拋物線與直線相交問題，屬于拋物線的典型性問題。試題如下：

已知拋物線y2=x上的動點M（x0，y0），過M分別作兩條直線交拋物線于P、Q兩點，交直線x=t于A、B兩點.

（1）若點M縱坐標為，求M與焦點的距離；

（2）若t=1，P（1，1），Q（1，-1），求證：yA·yB為常數(shù)；

（3）是否存在t，使得yA·yB=1 且yP·yQ為常數(shù)？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，請說明理由.

這道試題，與上海數(shù)學練習冊習題（高二第二學期練習冊第36頁）相似。原題如下：

過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的一條直線，與拋物線相較于兩個不同的點，兩點的縱坐標分別為y1、y2.求證：y1y2=-p2.

像這種根據(jù)教材的配套練習冊習題，經過一定延伸改變而成的試題，也是經常采用的命題方式。

（四）對歷年的高考試題進行借鑒

2017年上海高考數(shù)學試題，第6題是考查雙曲線上點到兩個焦點的距離問題。試題如下：

這道題，與2003 年上海高考數(shù)學試題第12 題極為相似，都是給定雙曲線上一點到其中一個焦點的距離，求這點到另一個焦點的距離；由于|PF1|的長度小于焦點F1到雙曲線較遠端點的距離，所以，|PF2|的長度只有一個值，這是本題的考核要點。2008 年上海春考數(shù)學試題第7 題，與2017 年上海高考數(shù)學試題第6 題，僅把數(shù)字進行了適當變換，實質內容完全一樣。2003 年上海秋考第12題如下：

F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內，若不正確，將正確的結果填在下面空格內__________.

2008 年上海春考第7 題：已知P是雙曲線1 右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0.設F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.若|PF2|=3，則|PF1|=__________.

通過探尋，我們還看到，頗為相似的情況也多次出現(xiàn)。2018 年上海高考數(shù)學試題第13 題，考查的是橢圓上的點到兩焦點的距離之和，以填空題形式出現(xiàn)。試題如下：

設P是橢圓=1 上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為（ ）.

上述試題，與2008 年上海高考數(shù)學（文科）試題第12 題，均是橢圓上的點到兩個焦點距離之和，同樣以選擇題形式考核，不同之處僅為數(shù)字差異。2010 年上海春考數(shù)學試題第5 題，雖然以填空題形式出現(xiàn)，但考察的內容幾乎不變。這種高考出題的方式，值得我們在復習時借鑒和運用。我們還可以看出，2008 年上海高考數(shù)學（文科）試題第12題與2010年上海春考數(shù)學試題第5 題，僅僅是試題形式的改變。這樣的改變是否合適？想來讀者自會判斷。以下分別是相關年份的試題：

A.4 B.5 C.8 D.10

三、高考圓錐曲線的復習建議

（一）重視基礎

圓錐曲線的復習，其一，要詳細復習每一個知識點，把圓錐曲線的定義、標準方程、圖像特征和基本性質熟記會用。其二，要學會對所學知識進行系統(tǒng)的整理，把分散的知識合成為一個整體，使之形成一個較完整的知識體系。如看到圖形，能想到對應的方程與一些基本性質；反之，知道方程，就會畫出圖形和研究其特性。其三，要掌握知識類比，如復習雙曲線時，對比橢圓與拋物線相似的基本性質和各自的特點，使基礎知識縱向連成線，橫向結成網(wǎng)，形成完整的知識網(wǎng)絡。

（二）善于變換

“變”是數(shù)學學習活的靈魂，在復習時，不能僅停留在知識點的記憶程度，還要設計一定的練習題，對學生進行必要的訓練。

練習題的選擇和設計，一是在于精。對一些典型的圓錐曲線問題，要分析透徹，訓練到位。二是注意融入一題多解的實訓。即對同一個問題，能從不同的角度進行分析，建立不同式子，尋找相異的路徑，得到相同的結果，達到殊途同歸的效果。三是注意加強一題多變的實訓。即在相同條件下，把結論改成等價結果或相近的結果；在結論不變時，適當改變問題的條件，而解題的方法基本不變。四是注意進行多題一解的實訓。即要善于對解題方法歸類總結，把問題不同而解題方法相同或相近的歸成一類，著重對通性通法的總結，達到解一道題破一類題的效果。

（三）適當綜合

綜合應用，包括綜合與應用兩個方面。

所謂“綜合”，其一，是知識的綜合。既有圓錐曲線各個知識相互關聯(lián)疊加，也有其他知識如向量、直線、三角形等與圓錐曲線結合。其二，是數(shù)學思想方法的綜合。如函數(shù)思想、方程思想、分類思想和數(shù)形結合思想等相互融合。

所謂“應用”，一是運用簡單的知識解決復雜的數(shù)學問題，二是運用數(shù)學的知識和方法解決實際生活中的問題。如2021 年春考數(shù)學試題第19 題，就是運用二次曲線解決測量問題。三是解題方法的綜合。如根據(jù)題目給出的條件，列出方程或方程組，直接求出結果。四是設置參變量，通過設而不解的方法得出結論。

可見，我們只要對近五六年的高考圓錐曲線試題的統(tǒng)計數(shù)據(jù)、來源等進行精準分析，就可以高屋建瓴、把握趨勢，從而由精準復習入手，為落實“雙減”背景下培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，實現(xiàn)“減負增效”作出貢獻。