黃 振，柏正堯 ，郭少杰

(1. 云南大學信息學院，云南 昆明 650500；2. 中國科學院云南天文臺，云南 昆明 650216)

頻譜分析是信號處理的重要技術(shù)手段之一，通過對頻譜構(gòu)成和分布進行分析，可以獲取信號的關(guān)鍵特征。針對高頻窄帶信號，在滿足香農(nóng)采樣定理的前提下，我們采用較高速率模數(shù)轉(zhuǎn)換器對信號采樣并進行樣本數(shù)據(jù)分析。目前，最高速率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器無法滿足頻譜分析的需求，因此，研究人員對信號的結(jié)構(gòu)和特點進行分析，針對自身或通過數(shù)學變換后具有稀疏性質(zhì)的信號，提出了壓縮感知理論[1-2]。壓縮感知理論主要包含前端的壓縮采樣系統(tǒng)和后端的信號重構(gòu)兩部分，相比傳統(tǒng)的采樣技術(shù)，壓縮感知理論將采樣和壓縮合二為一，降低了采樣速率、數(shù)據(jù)傳輸帶寬，節(jié)省了存儲空間。近幾年，壓縮感知的研究內(nèi)容為重構(gòu)算法的改進和實際應(yīng)用。在實際應(yīng)用的誤差允許范圍內(nèi)，壓縮感知相關(guān)理論能以較低的采樣速率對稀疏信號進行亞奈奎斯特采樣，并完美地重構(gòu)輸入信號。但針對高頻窄帶信號處理的壓縮感知理論指導實際的應(yīng)用研究不足，在理論研究中的輸入信號模型是時域長度設(shè)定好的信號序列，即頻譜的分辨率也設(shè)定好了，未能有效地指導實際應(yīng)用中如何提高信號頻譜的分辨率。

在天文觀測中，射電天文信號的譜線觀測是研究宇宙的重要方式，通過對譜線進行分析可以診斷天體的基本物理條件，如動能溫度、總粒子數(shù)密度、速度、磁感應(yīng)強度等[3]。射電天文信號的譜線觀測對終端設(shè)備的頻譜分辨率提出了很高的要求[4]，為了提高觀測譜線的頻譜分辨率，在采樣速率一定的情況下增加采樣時長，需消耗處理器內(nèi)部的乘法器、累加器以及存儲單元等資源。在射電天文觀測中，一些指定譜線在頻域具有稀疏特性，因此，本文把壓縮感知理論應(yīng)用到射電天文信號觀測中，通過對前端的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器[5]采樣系統(tǒng)和正交匹配追蹤[6]重構(gòu)算法進行分析，實現(xiàn)低速模數(shù)轉(zhuǎn)換器對高頻窄帶信號的壓縮采樣，可以接近無失真地重構(gòu)輸入信號。仿真實驗表明，在采樣點數(shù)低于奈奎斯特速率采樣樣本數(shù)的情況下，本文方法有效提高了頻譜分辨率。

1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)和重構(gòu)算法

1.1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器是一個亞奈奎斯特采樣系統(tǒng)，文[7]對系統(tǒng)進行了詳細的數(shù)學推導。它由多個通道組成，每個通道由偽隨機序列發(fā)生器、低通濾波器和低速模數(shù)轉(zhuǎn)換器構(gòu)成，如圖1。

圖1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)

pi(t)=aik,kTp/M≤t≤(k+1)Tp/M,0≤k≤M-1 ，

(1)

傅里葉級數(shù)展開表達式為

(2)

(3)

由圖1可得時域數(shù)學表達式為

xi(t)=x(t)pi(t)，yi(t)=h(t)?xi(t)，yi[n]=yi(nTs) ，

(4)

其中，?為卷積運算。令X(f)表示x(t)的傅里葉頻譜，Yi(f)表示第i通道輸出壓縮數(shù)據(jù)yi[n]的離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)，則(4)式的頻譜表達式為

(5)

y(f)=Az(f)，

(6)

其中，y(f)=[Y1(f),Y2(f),…,Ym(f)]T，z(f)=[z1(f),z2(f),…,zL(f)]T，

1.2 重構(gòu)算法

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的后端重構(gòu)過程是先計算采樣系統(tǒng)各通道之間輸出壓縮數(shù)據(jù)的協(xié)方差，再采用貪婪算法找出包含有用信息的頻譜片段和對應(yīng)字典的索引。因調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器每個通道輸出數(shù)據(jù)的長度有限，令數(shù)據(jù)長度為N，則各通道輸出數(shù)據(jù)之間的協(xié)方差矩陣為

(7)

文[7]利用特征分解方法把對z(f)頻譜片段求解過程轉(zhuǎn)化為壓縮感知問題，即對R＾進行特征分解，可得

R＾=U*ΛU=(U*Λ1/2)(U*Λ1/2)*=VV*，

(8)

V=AS，

(9)

2 頻譜分辨率

頻譜分辨率Δf、采樣頻率Fs和采樣樣本數(shù)N三者之間的關(guān)系為

(10)

由(10)式可知，降低采樣速率或增加采樣時長可以提高頻譜分辨率。在調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)中，令偽隨機序列pi(t)的周期為MTNYQ(TNYQ為奈奎斯特采樣周期，TNYQ=1/fNYQ)，每個通道模數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣速率為fNYQ/M，調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的總采樣速率降低為原來的m/M(m

3 實驗仿真與分析

3.1 基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的理論分析

實驗仿真信號為稀疏多頻帶信號，前端采用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)進行采樣，輸出壓縮數(shù)據(jù)；后端采用正交匹配追蹤算法對壓縮數(shù)據(jù)進行運算，重構(gòu)輸入信號。稀疏多頻帶信號的參數(shù)：子頻帶數(shù)N為8，帶寬B為5 MHz，總占頻帶寬為10 GHz(即奈奎斯特采樣頻率fNYQ)，信噪比為20。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)參數(shù)：通道數(shù)m為20(m≥2N)，偽隨機序列周期長度M為195，fs=fp=fNYQ/M≈51.28 MHz，L=M=195(L0=97)。設(shè)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器單個通道采樣樣本數(shù)為K，(6)式中矩陣y(f)大小為m×K，矩陣A大小為m×M，矩陣z(f)大小為M×K，y(f)=Az(f)。輸入信號時域采樣樣本數(shù)和頻譜分辨率關(guān)系如表1。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)中偽隨機序列的頻率要不小于奈奎斯特采樣速率才能幾乎無失真地重構(gòu)輸入信號。偽隨機序列在硬件實現(xiàn)技術(shù)上的難度遠低于模數(shù)轉(zhuǎn)換器，因此，在采樣系統(tǒng)中采用高速偽隨機序列生成器對輸入信號作數(shù)字離散化，經(jīng)低通濾波器后進行低速采樣。在仿真中，偽隨機序列的頻率等于奈奎斯特采樣速率，調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)總采樣樣本數(shù)為mK，壓縮數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)學變換后的z(f)矩陣樣本數(shù)為MK，則調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的等效總采樣樣本數(shù)為MK。因此，從表1得出調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的等效總采樣樣本數(shù)是單個通道采樣樣本數(shù)的M倍，即頻譜分辨率提高M/m倍。隨著單個通道采樣樣本數(shù)的增加，等效總采樣樣本數(shù)和頻譜分辨率隨之增加。

表1 時域采樣樣本數(shù)和頻譜分辨率的關(guān)系

3.2 基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的低頻射電天文信號仿真

低頻射電天文信號的數(shù)據(jù)來源于云南天文臺，以200 MHz采樣速率采集多組頻段在55～65 MHz的射電天文信號。實驗隨機選取其中的一組時域采樣數(shù)據(jù)進行仿真，采樣點數(shù)為1 024，頻譜如圖2。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的參數(shù)：通道數(shù)m為6，偽隨機序列周期長度M為27，fs=fp=fNYQ/M≈7.407 4 MHz，L=M=27(L0=13)，總采樣速率為44.444 4 MHz。實驗中的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器是非全盲采樣系統(tǒng)，需要設(shè)置輸入信號的子頻帶數(shù)為2，并設(shè)定調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器單個通道采樣樣本數(shù)K為不同值時的仿真數(shù)據(jù)及頻譜圖，如表2和圖2。

表2是K分別為17，27和37時，對應(yīng)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的采樣樣本數(shù)、等效總采樣樣本數(shù)、頻譜分辨率、重構(gòu)誤差和正交匹配追蹤算法重構(gòu)時間的仿真實驗數(shù)據(jù)。從表2可以看出，時域采樣樣本數(shù)由459增加至999時，頻譜分辨率由0.435 7 MHz提高至0.200 2 MHz，基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的總采樣樣本數(shù)僅增加至222，且重構(gòu)誤差在10-2量級，重構(gòu)時間在10-3量級。圖2中黑色頻譜是低頻射電天文信號的頻譜圖，紅色頻譜是K分別為17，27和37時重構(gòu)信號的頻譜圖。從圖2可以看出，基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)重構(gòu)的頻譜隨著K增加，頻譜分辨率提高，頻譜帶寬逐漸收斂并接近低頻射電天文信號。因此，采用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)，不僅能實現(xiàn)單個通道低速率采樣，而且能通過增加時域采樣時長來提高信號的頻譜分辨率。

表2 不同K值的仿真實驗數(shù)據(jù)

圖2 不同K值的頻譜

4 結(jié) 論

本文通過對調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的深入分析以及實驗仿真，驗證了增加調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的時域采樣時長，實現(xiàn)低速率采樣條件下，提高信號頻譜分辨率的可行性和有效性，為提高高頻窄帶信號和低頻射電天文信號頻譜分辨率提供一種新的方法和途徑。在實際工程應(yīng)用中，我們需結(jié)合信號特征，進一步考慮輸入信號的頻帶帶寬、頻譜波形、奈奎斯特帶寬等，設(shè)計調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的通道數(shù)、偽隨機系列周期、模數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣周期以及壓縮感知矩陣等參數(shù)。下一步工作將針對射電天文信號的頻譜特征和頻譜分辨率的要求，設(shè)計調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)，實現(xiàn)該采樣系統(tǒng)的硬件并進行實測，力爭推進研究成果的實際應(yīng)用。