趙闖闖，翟東升，李語強

(1. 中國科學(xué)院云南天文臺，云南 昆明 650216；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

激光測距技術(shù)通過精確測定激光脈沖在地面觀測站和目標之間的往返時間，并根據(jù)光速計算地面觀測站和目標間的距離[1]。作為目前最精確的測量手段，激光測距的目標主要有合作目標(攜帶角反射器)、空間碎片和月球，觀測數(shù)據(jù)對天文地球動力學(xué)、月球物理和引力理論等諸多科學(xué)研究有重要的價值。

在激光測距中，不同高度的目標受到的攝動影響不同，軌道的預(yù)報精度也不同，高軌道目標的預(yù)報精度優(yōu)于低軌道目標的[2]。對于低軌目標，可以通過增大發(fā)散角增加激光到達目標表面時的光束面積，有利于目標的搜索；而對于高軌目標，應(yīng)減小發(fā)散角，以增加激光到達目標表面時的能量密度，有利于提高探測成功的概率。因此，為滿足不同距離目標的測距要求，我們通常采用擴束系統(tǒng)調(diào)整激光發(fā)散角。

目前，云南天文臺及國內(nèi)大部分激光測距臺站采用倒置的伽利略式望遠鏡擴束系統(tǒng)調(diào)整光束發(fā)散角。通過移動擴束系統(tǒng)中的凹透鏡調(diào)整兩透鏡間的距離來改變發(fā)散角，稱為離焦式擴束系統(tǒng)，距離的調(diào)整量稱為離焦量。該方式調(diào)整發(fā)散角時，系統(tǒng)不再是共焦狀態(tài)，光束波前不再是平面波，存在波前畸變，從而產(chǎn)生離焦像差，影響光束質(zhì)量，降低回波信號的強度，進而影響系統(tǒng)的測距能力。因此，研究離焦像差對回波光子數(shù)的影響具有重要意義。文[3]研究了不同類型波像差和斯特列爾比之間的關(guān)系，并建立了擬合關(guān)系式。文[4]研究了光束控制系統(tǒng)熱效應(yīng)和球差對遠場激光光束質(zhì)量的影響，結(jié)果表明，傳輸通道的熱效應(yīng)和正球差使遠場光強分布擴展，聚焦能力下降，光束質(zhì)量變差。文[5]研究了光學(xué)系統(tǒng)的波像差與對應(yīng)的光束質(zhì)量β因子間的關(guān)系，用數(shù)值計算方法建立了各種澤尼克多項式的波像差均方根(Root Mean Square, RMS)與β因子間的擬合關(guān)系式。

綜上，像差對激光光束質(zhì)量如β因子、斯特列爾比和聚焦性等有很大的影響，但光束質(zhì)量對系統(tǒng)測距能力的影響未見相關(guān)文獻報道。本文采用光束能量密度的空間分布來描述光束質(zhì)量，利用激光測距回波光子數(shù)表示測距系統(tǒng)的測距能力，研究離焦像差對光束質(zhì)量和系統(tǒng)測距能力的影響，具有重要的理論價值。

1 理論模型

1.1 基模高斯光束的傳播及基本性質(zhì)

由激光諧振腔衍射理論可知，在均勻的透明介質(zhì)中，基模高斯光束沿z軸方向傳播的復(fù)振幅為[6-8]

(1)

其中，各項參數(shù)表達式為[6]

(2)

(3)

Φ(z)=arctan(z/Z0).

(4)

圖1 基模高斯光束的傳播

基模高斯光束的遠場發(fā)散半角θ0是雙曲線的漸近線與光束對稱軸的夾角，定義為[7]

(5)

結(jié)合(2)式和(5)式，求極限得

(6)

1.2 擴束系統(tǒng)對基模高斯光束的變換作用

基模高斯光束經(jīng)過擴束系統(tǒng)后，束腰半徑和束腰位置改變。由(1)式可知，束腰半徑影響光束的復(fù)振幅分布。因此，我們需要根據(jù)矩陣光學(xué)求出光束經(jīng)擴束系統(tǒng)后的束腰半徑和束腰位置。

圖2為基模高斯光束經(jīng)擴束系統(tǒng)后的變換。假設(shè)s1為束腰ω1與透鏡M1間的距離，由透鏡M1指向束腰ω1；s2為束腰ω2與透鏡M2間的距離，由透鏡M2指向束腰ω2。透鏡M1和M2間的距離為l=f1′+f2′-Δl，由M2指向M1，其中，f1′和f2′分別為M1，M2的像方焦距；Δl為離焦量，由F2指向F1′。以上各量從左到右為正，反之為負。設(shè)放大率MT=|f2′/f1′|，則擴束系統(tǒng)的變換矩陣為[7]

圖2 基模高斯光束經(jīng)擴束系統(tǒng)后的變換

(7)

束腰ω1到束腰ω2的變換矩陣為

(8)

當離焦量Δl=0時，s2,ω2和ω1之間的關(guān)系為[7]

(9)

ω2=MTω1.

(10)

當離焦量Δl≠0時，略去Δl的二級小量，s2′,ω2′和ω1之間關(guān)系為[7]

(11)

(12)

定義角放大率為高斯光束擴束后與擴束前光束發(fā)散角的比值，由(6)式可知，高斯光束的發(fā)散角與束腰半徑成反比。當離焦量Δl=0時，由(10)式得角放大率α為

(13)

當離焦量Δl≠0時，由(12)式得角放大率α′為

(14)

1.3 有離焦像差時光束的能量密度空間分布

調(diào)整離焦量后，擴束系統(tǒng)不再是共焦狀態(tài)，光束波前存在畸變，影響光束能量密度的空間分布。波面上的光程總是相等的，波像差是實際波面和理想波面之間的光程差。波像差一般沒有數(shù)學(xué)解析表達式，常用有限項澤尼克多項式近似表達，離焦像差用澤尼克多項式表示為[9]

(15)

(16)

其中，Δl為離焦量；δ為離焦像差產(chǎn)生的波前峰谷差；F為望遠鏡的有效焦距；D為望遠鏡主鏡的口徑；α為角放大率。離焦像差的澤尼克多項式系數(shù)a4與波前峰谷差δ滿足關(guān)系[10]

(17)

由(16)式和(17)式得澤尼克多項式系數(shù)a4與離焦量Δl關(guān)系為

(18)

由(18)式可知，在望遠鏡主鏡口徑D和有效焦距F確定后，澤尼克多項式系數(shù)a4與離焦量Δl對應(yīng)。

由于擴束系統(tǒng)存在衍射效應(yīng)和離焦像差，激光經(jīng)過擴束系統(tǒng)后不僅發(fā)生衍射，而且與未發(fā)生衍射的光(直射光)相互干涉，影響光斑的能量密度分布[6]。有離焦像差時，高斯光束在垂直于z軸平面內(nèi)的復(fù)振幅分布為

{1+exp[ikW4(x,y)]}.

(19)

當無離焦像差時，離焦量Δl=0，澤尼克多項式系數(shù)a4=0，則像差項W4(x,y)=0, exp[ikW4(x,y)]的值恒為1，此時，(19)式等價于(1)式，光束的復(fù)振幅符合理想高斯分布。當有離焦像差時，離焦量Δl≠0，由(18)式可知，澤尼克多項式系數(shù)a4隨離焦量Δl的增大而增大(結(jié)果見表1)，影響光束的復(fù)振幅分布。

光束能量密度為

Ed(x,y)=I(x,y)I*(x,y) ，

(20)

其中，I*(x,y)為I(x,y)的共軛。測距目標接收的激光能量為

(21)

其中，S為測距目標的有效反射面積。

1.4 激光測距回波光子數(shù)

以衛(wèi)星為探測目標，激光測距時，探測器接收的回波光子數(shù)n為[11-12]

(22)

其中，N=λ/hc為每焦耳激光能量所含的光子數(shù)，式中λ為激光波長，h為普朗克常量，c為真空中的光速；ρ為衛(wèi)星角反射器的反射率；Ar為望遠鏡有效接收面積；As為衛(wèi)星角反射器的有效反射面積；ηt為激光發(fā)射系統(tǒng)的光學(xué)效率；ηr為測距系統(tǒng)的接收效率；T為單程大氣光學(xué)透過率；η為探測器的量子效率；β為衰減因子(受大氣抖動、湍流等影響)；R為衛(wèi)星到測距臺站的距離；θe為激光的發(fā)散半角；θm為激光經(jīng)衛(wèi)星角反射器反射后的發(fā)散半角。(22)式即為激光測距回波光子數(shù)方程。

2 結(jié)果分析與討論

2.1 角放大率和離焦量關(guān)系

云南天文臺53 cm望遠鏡激光測距系統(tǒng)中一級擴束系統(tǒng)的凹透鏡像方焦距f1′=-73 mm，凸透鏡像方焦距f2′=498.79 mm。離焦量Δl的變化范圍為-571.9 mm～425.79 mm。我們把上述參數(shù)代入(14)式，得到角放大率和離焦量的關(guān)系，如圖3和表1。由圖3可知，角放大率關(guān)于Δl=-73 mm對稱分布。隨著離焦量增大，角放大率逐漸增大。當離焦量為-73 mm時，角放大率最小，趨向于無窮小，此時，凹透鏡位于凸透鏡物方焦點處。由(14)式可知，離焦量Δl不能等于-73 mm，故角放大率不可能為0。表1中的數(shù)據(jù)線性擬合結(jié)果表明，角放大率和離焦量近似符合線性關(guān)系，離焦量每增加1 mm，角放大率增加0.002。

圖3 角放大率和離焦量關(guān)系

表1 角放大率與相應(yīng)的離焦量調(diào)整值

2.2 離焦像差對能量密度的影響

測距系統(tǒng)中發(fā)射激光波長λ=532 nm，光束束腰半徑ω0=7.5 mm，激光發(fā)散半角θ0=0.5 mrad[13]。假設(shè)衛(wèi)星與測距臺站間距離R=1 000 km，衛(wèi)星角反射器的有效反射區(qū)域為邊長1 m的正方形，光束中心和衛(wèi)星角反射器有效反射區(qū)域中心重合。把上述參數(shù)代入(19)式，得到不同角放大率下光束在1 000 km處的能量密度分布，結(jié)果見圖4和圖5。圖中激光發(fā)散角為激光經(jīng)過擴束系統(tǒng)后的發(fā)散角，由角放大率乘以入射激光發(fā)散角求得，光斑半徑由(2)式求得。由圖4和圖5可知，光束經(jīng)過擴束系統(tǒng)后，隨著激光發(fā)散角的增大，光斑半徑逐漸增大。當無離焦像差時，光斑半徑僅發(fā)生尺度變化，能量密度分布符合高斯分布；當有離焦像差時，光斑半徑不僅發(fā)生尺度變化，而且形狀更加彌散，能量密度分布也不再是高斯分布，變得更為復(fù)雜。

圖4 有離焦像差時光束能量密度分布。(a)發(fā)散角θ=0.15 mrad，光斑半徑r=6.78 m；(b)發(fā)散角θ=0.2 mrad，光斑半徑r=9.04 m；(c)發(fā)散角θ=0.25 mrad，光斑半徑r=11.29 m；(d)發(fā)散角θ=0.3 mrad，光斑半徑r=13.57 m

圖5 無離焦像差時光束能量密度分布。(a)發(fā)散角θ=0.15 mrad，光斑半徑r=6.78 m；(b)發(fā)散角θ=0.2 mrad，光斑半徑r=9.04 m；(c)發(fā)散角θ=0.25 mrad，光斑半徑r=11.29 m；(d)發(fā)散角θ=0.3 mrad，光斑半徑r=13.57 m

利用(21)式計算當衛(wèi)星到測距臺站的距離R=1 000 km時，衛(wèi)星在不同角放大率下接收的能量如表2。表2中E1為有離焦像差時衛(wèi)星接收的能量，E2為無離焦像差時衛(wèi)星接收的能量。由表2可知，在不同角放大率下，E2均大于E1。因此，離焦像差影響激光光束的能量密度分布，進而影響衛(wèi)星接收的能量。

表2 不同角放大率下衛(wèi)星接收的能量

2.3 不同角放大率下的回波光子數(shù)

云南天文臺53 cm望遠鏡激光測距系統(tǒng)的參數(shù)為激光單脈沖能量E0=3 J，每焦耳激光能量所含光子數(shù)N=2.7 × 1018(激光波長λ=532 nm)，衛(wèi)星角反射器的反射率ρ=0.8，衛(wèi)星角反射器的有效反射面積As=1 m2，望遠鏡有效接收面積Ar=0.204 3 m2，激光發(fā)射系統(tǒng)的光學(xué)效率ηt=0.5，測距系統(tǒng)的接收效率ηr=0.5，單程大氣的光學(xué)透過率T=0.6，單光子雪崩二極管探測器的量子效率η=0.2，衰減因子β=0.1，地面測距臺站到衛(wèi)星的距離R的范圍為500～1 000 km、距離間隔100 km，激光光束經(jīng)衛(wèi)星角反射器反射后的發(fā)散角θm=0.5 mrad。把上述參數(shù)代入(22)式計算回波光子數(shù)，結(jié)果如圖6、表3和表4。圖6為距離R=1 000 km時不同角放大率的回波光子數(shù)，n1為有離焦像差時的回波光子數(shù)，n2為無離焦像差時的回波光子數(shù)。如圖6，對于距離R=1 000 km處的衛(wèi)星，隨著角放大率的增大，測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)迅速衰減。因此，對于不同距離的目標，需要選擇適當?shù)募す獍l(fā)散角。表3和表4為衛(wèi)星與測距臺站間距離R取不同值時測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)。由表3和表4可知，當激光發(fā)散半角相同時，衛(wèi)星離測距站越近，測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)越多。對于同一距離的衛(wèi)星，激光發(fā)散半角越小，測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)越多。對于不同距離的同一顆衛(wèi)星，在不同角放大率下，n1均小于n2，前者約為后者的50%?；夭ü庾訑?shù)越多，目標的探測成功概率越高。

圖6 激光測距回波光子數(shù)

表3 距離R為500～700 km時的回波光子數(shù)

表4 距離R為800～1 000 km時的回波光子數(shù)

在實際應(yīng)用中，通過切換伽利略式望遠鏡擴束系統(tǒng)中凹透鏡的方式調(diào)整激光光束發(fā)散角，系統(tǒng)中兩透鏡處于共焦狀態(tài)，離焦量Δl為0，離焦像差為0，不存在離焦像差。當無離焦像差時，假設(shè)探測目標與測距臺站的距離R為500～1 600 km，探測目標參數(shù)同上。探測器的光敏面產(chǎn)生光電子的概率服從泊松分布，當回波光子數(shù)為n時，至少產(chǎn)生一個光電子的概率為[14]

P(≥1)=1-e-n，

(23)

(23)式也稱為探測成功概率。

由(22)式和(23)式可以計算目標探測成功概率。結(jié)果見表5，表頭行數(shù)據(jù)表示角放大率，表頭列數(shù)據(jù)表示探測目標與測距臺站間的距離，單位為km。由表5可知，當角放大率為0.10～0.50時，探測成功概率均為100%。但是，探測成功概率受很多因素影響，例如望遠鏡的跟蹤精度、激光能量波動和大氣湍流等，實際情況和理論結(jié)果有差別。測距系統(tǒng)的發(fā)射激光光束直徑為15 mm，望遠鏡副鏡有效通光口徑為48 mm。為充分利用望遠鏡口徑，光束的最大擴束倍率為副鏡有效通光口徑與光束直徑之比3.2，即角放大率為0.31，因此擴束系統(tǒng)的角放大率最好不小于0.31(擴束倍率與角放大率成反比)。綜合以上分析，針對探測距離為500～1 600 km的目標，擴束系統(tǒng)的角放大率為0.3，0.4和0.5。

表5 目標探測成功概率

3 總 結(jié)

本文通過理論分析，研究了離焦像差對光束能量密度分布和激光測距回波光子數(shù)的影響。數(shù)值仿真結(jié)果表明，離焦像差使光斑形狀變得彌散，降低目標接收的能量，影響測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)。對于不同距離的同一顆衛(wèi)星，在不同角放大率下，無離焦像差時測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)約是有焦像差時的2倍。由表1可知，通過改變擴束系統(tǒng)中兩透鏡間距離來調(diào)整發(fā)散角，離焦量越大，離焦像差的波前均方根越大，嚴重影響光束的能量密度分布。對于不同距離的同一顆衛(wèi)星，在不同角放大率下，無離焦像差時測距系統(tǒng)接收的回波光子數(shù)約是有焦像差時的2倍。因此，無離焦像差可以有效提高測距系統(tǒng)探測成功的概率。