黃龍濤 王海平 屈 濤 劉繼征 劉 海

陜西省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測研究院 西安 710048

0 引言

隨著高層建筑快速的發(fā)展，高速曳引電梯被廣泛應(yīng)用。在動力學(xué)性能方面，國內(nèi)高速曳引電梯與國外還存在較大差距，尤其是提升鋼絲繩振動方面最為突出，是電梯減振技術(shù)的核心問題。在電梯運(yùn)行過程中存在曳引機(jī)偏心旋轉(zhuǎn)、導(dǎo)軌不平度等問題，提升鋼絲繩以水平方向振動為主，而側(cè)向振動不明顯，故對提升鋼絲繩水平方向振動的研究十分有意義。

1 高速電梯提升鋼絲繩水平方向振動模型建立

高速電梯在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，提升鋼絲繩長度會隨著時間的變化而變化，也導(dǎo)致曳引鋼絲繩阻尼與剛度產(chǎn)生變化。集中參數(shù)離散模型是把提升鋼絲繩簡化成彈簧—阻尼系統(tǒng)[1]，忽略提升鋼絲繩的時變性與連續(xù)性，故本文采用分布參數(shù)連續(xù)模型。提升鋼絲繩上、下端分別和曳引輪、轎廂相連，補(bǔ)償繩上、下端分別和轎廂、張緊輪相連。分析提升鋼絲繩振動情況下張緊輪的預(yù)緊力和慮補(bǔ)償繩的質(zhì)量很重要[2]，同樣導(dǎo)軌對提升鋼絲繩的影響也相當(dāng)重要。為了突出張緊輪的預(yù)緊力和慮補(bǔ)償繩的質(zhì)量與導(dǎo)軌的影響，建立了高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動模型，如圖1所示。

圖1 高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動模型

1.1 水平方向振動控制方程建立

本文中模型建立和求解基于4個假設(shè)[3]：1）不考慮井道內(nèi)部摩擦力、氣流的影響；2）忽略補(bǔ)償繩振動的影響；3）忽略提升鋼絲繩側(cè)向振動、扭轉(zhuǎn)等因素的影響，同時水平方向振動產(chǎn)生的彈性變形量要比整條弦線長度??；4）提升鋼絲繩彈性模量E、橫截面積A、線密度ρ保持不變。

將提升鋼絲繩簡化為軸向運(yùn)動的變長度弦線[4]，將轎廂簡化成質(zhì)量為m的剛性重物，連接在變長度弦線的下端，縱向自由；將導(dǎo)軌簡化成阻尼系數(shù)為c1的阻尼器、剛度為k1的彈簧；外界激勵為e1表示電動機(jī)偏心旋轉(zhuǎn)的影響；水平激勵e2為導(dǎo)軌的不平度的影響。彈性模量為E、橫截面積為A、線密度為ρ、補(bǔ)償繩長度為h-L(t)，h為提升高度，補(bǔ)償繩線密度為ρ1。選取提升鋼絲繩與曳引輪的切點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直向下為x軸的正方向，i為x軸方向的單位矢量，水平向左為y軸的正方向，j為y軸方向的單位矢量。利用連續(xù)介質(zhì)有限形變的理論可得到，提升鋼絲繩x處位移向量R為

對式（1）中時間t求導(dǎo)得提升鋼絲繩x處的速度向量為

對式（2）進(jìn)一步簡化為

式中：yx[x(t)，t]為y[x(t)，t]對x的偏導(dǎo)，yt[x(t)，t]為y[x(t)，t]對t偏導(dǎo)，分別用y、yx、yt表示y[x(t)，t]、yx[x(t)，t]、yt[x(t)，t]。

同理可得提升重物位移與速度的向量分別表示為

由式（3）、式（5）可得，系統(tǒng)動能為

系統(tǒng)勢能則表示為

式中：ε為曳引鋼絲繩的應(yīng)變。

式（9）忽略高階項(xiàng)可得

將式（10）代入到式（8）中可得

將式（11）代入式（7）中可以得到勢能為

式中：P為在時間t提升鋼絲繩在x處受到的張緊力。

提升鋼絲繩受到自重與轎廂重力以及補(bǔ)償繩的重力、預(yù)緊力的作用，故張緊力P表示為

系統(tǒng)阻尼力的虛功表示為

式中：c為提升鋼絲繩的分布阻尼。

根據(jù)Hamilton原理[3]

進(jìn)行積分與變分運(yùn)算時，因提升鋼絲繩的長度是時變的，故式（15）中對t積分上限同樣是時變的，使用分部積分法與參變量積分求導(dǎo)法

將式（15）進(jìn)行一系列的變換運(yùn)算后，可以得出高速曳引電梯提升鋼絲繩的水平方向的振動控制方程

相應(yīng)時間與幾何邊界條件分別表示為

式（18）為非齊次邊界條件，齊次邊界條件由非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化，此時引入齊次邊界條件函數(shù)y1(x,t)，水平方向位移y(x,t)表示為

式中：y1(x,t)為滿足齊次邊界條件區(qū)域，y2(x,t)為不滿足齊次邊界條件區(qū)域。

將式（19）代入式（17）可以得到在激勵作用條件下高速曳引電梯提升鋼絲繩的水平方向振動控制方程為

1.2 基于Galerkin法的提升鋼絲繩水平方向振動偏微分方程離散

Galerkin法[3]原理：疊加所選取的有限多項(xiàng)式函數(shù)，使結(jié)果滿足求解范圍，并且讓邊界加權(quán)積分滿足原方程式，可以得到求解簡單、滿足邊界條件的線性方程式。本文利用Galerkin法對高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動偏微分方程進(jìn)行離散化處理。

離散化處理前先定義一個無量綱參數(shù)ξ，歸一化處理原變量，即ξ=x/l(t)，將x時變域轉(zhuǎn)成ξ固定域[0,1]，設(shè)方程式（20）解為

式中：qi(t)為廣義坐標(biāo)；i=（1，2，…n），n為模數(shù)；φi(ξ)為形函數(shù)。

將式（22）代入到式（21），并求導(dǎo)可得

將式（23）代入到式（20）中，且等式兩邊乘以φj(ξ)，然后將ξ在[0，1]內(nèi)進(jìn)行積分，可以得到將高速曳引電梯提升鋼絲繩水平方向振動無限維度偏微分方程轉(zhuǎn)化成有限維度常微分方程，即

其中：q=[q1(t)，q2(t)，……，qn(t)]T表示廣義坐標(biāo)向量；矩陣M、C、K、F中各元素值分別表示為

式中：δij為delta函數(shù)，若i≠j，則δij=0，若i=j，則δij=1。

式（24）求解后，可計(jì)算廣義坐標(biāo)向量q代入到式（19）中，得到了提升鋼絲繩水平方向振動實(shí)時值。

2 提升曳引繩振動模型參數(shù)影響分析

本文以高速曳引電梯工作原理為基礎(chǔ)，結(jié)合某工況下最大速度vmax=5 m/s、最大加速度amax=1 m/s2、最大加加速度Jmax=0.5 m/s3、最大提升高度lmax=150 m、E=8×1010N/m2、ρ1=0.343 kg/m、e1=0.01sin(3.14t)、e2=0.005sin(6.28t)電梯參數(shù)為輸入，使用Matlab的Newark-β法仿真分析高速電梯單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量m、分布阻尼c、線密度ρ、預(yù)緊力f對其提升鋼絲繩水平方向振動的影響。

結(jié)合4個參數(shù)設(shè)計(jì)了4個案例，每案例都有3種工況。案例1取m分別為400 kg、500 kg、550 kg；案例2取c分別為0.25、0.5、1；案例3選用碳素鋼、結(jié)構(gòu)為8×19類別的提升鋼絲繩，提升鋼絲繩公稱直徑分別為10 mm、12 mm、16 mm，取ρ分別為 0.512 kg/m、0.7 kg/m、0.87 kg/m；案例4取f分別為 400 N、500 N、600 N；具體如表1所示。

表1 案例分析參數(shù)

2.1 提升質(zhì)量m影響的分析

在案例1中對電梯上、下行過程的振動進(jìn)行仿真，分析不同單根鋼絲繩提升質(zhì)量m對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)的影響。圖2～圖4為m=400 kg、500 kg、m=550 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.591 4 m/s2、0.75 m/s2、0.766 m/s2；下行時其最大值分別為0.390 3 m/s2、0.406 7 m/s2、0.410 2 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)幅值隨提升質(zhì)量m的增大而逐漸增大，故可以通過減小單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖2 m=400 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

圖3 m=500 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

圖4 m=550 kg時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

2.2 提升曳引繩分布阻尼的影響分析

在案例2中對電梯上、下行過程的振動進(jìn)行仿真，分析不同分布阻尼c對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)的影響。圖5～圖7為c=0.25、0.5、1時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.594 9 m/s2、0.574 3 m/s2、0.406 2 m/s2；下行時其最大值分別為0.497 m/s2、0.39 m/s2、0.275 5 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)幅值隨分布阻尼的增大逐漸減小，故可以通過增大分布阻尼來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖5 c=0.25時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

圖6 c=0.5時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

圖7 c=1時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

2.3 提升曳引繩線密度的影響分析

在案例3中對電梯上、下行過程的振動進(jìn)行仿真，分析不同線密度ρ對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)的影響。圖8～圖10為ρ=0.512 kg/m3、ρ=0.7 kg/m3、ρ=0.87 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.553 8 m/s2、0.601 1 m/s2、0.840 9 m/s2；下行時其最大值分別為0.359 2 m/s2、0.388 5 m/s2、0.441 6 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)幅值隨線密度的增大而逐漸增大。因此，可以通過減小線密度來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖8 ρ=0.512 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)

圖9 ρ=0.7 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)

圖10 ρ=0.87 kg/m3時提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)

2.4 電梯預(yù)緊力的影響分析

在案例4中對電梯上、下行過程的振動進(jìn)行仿真，分析不同預(yù)緊力f對電梯提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)的影響。圖11～圖13為f=400 N、500 N、600 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)曲線。從圖可得電梯上行時提升鋼絲繩水平方向振動加速度的最大值分別為0.594 9 m/s2、0.605 2 m/s2、0.621 9 m/s2；下行時其最大值分別為 0.388 3 m/s2、0.392 8 m/s2、0.395 5 m/s2。由圖可知，電梯上、下運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)幅值隨預(yù)緊力的增大而逐漸增大，故可以通過減小預(yù)緊力來減弱提升鋼絲繩水平方向的振動。

圖11 f=400 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

圖12 f=500 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

圖13 f=600 N時提升鋼絲繩水平方向振動加速度響應(yīng)

3 結(jié)論

1）增大分布阻尼c可以減弱提升鋼絲繩水平方向的振動，分布阻尼c和提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)呈負(fù)相關(guān)；

2）減少單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量m、鋼絲繩線密度ρ、預(yù)緊力f可以減弱提升鋼絲繩水平方向的振動，單根提升鋼絲繩的提升質(zhì)量m、鋼絲繩線密度ρ、預(yù)緊力f和提升鋼絲繩水平方向振動響應(yīng)呈正相關(guān)。