梁仕軍，化存才

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650000)

花生是世界上重要的糧食、飼料作物和油料作物之一.中國是花生生產(chǎn)、消費(fèi)和出口貿(mào)易最大的國家.因此，花生的增產(chǎn)不僅可以保證我國的油料安全，而且也可以帶動(dòng)我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.

花生是具有無限開花結(jié)實(shí)習(xí)性的草本作物，其開花期和結(jié)實(shí)期很長，生育期也較長.一般早熟品種100～130 d，中熟品種135～150 d，晚熟品種 150 d 以上.花生的生長發(fā)育時(shí)期分為：破土期(種子發(fā)芽出苗期)，幼苗期，下針期(開花下針期)，結(jié)莢期，飽果期和成熟期.草本植物的根系，無論是作物還是非作物，都是由粗根和細(xì)根組成的，細(xì)根是根系中吸收水分最活躍的部分.植物根系的生長發(fā)育與其開花結(jié)果產(chǎn)量、抗旱等有著重要的關(guān)系，文獻(xiàn)[1]作了如下事實(shí)描述：植物根系的大小和長短是獲取水分、無機(jī)鹽等土壤資源的關(guān)鍵特征.尤其是，在干旱條件下，植物根據(jù)有效土壤水分分布而生根的能力，極大地提高了植物在干旱條件下的產(chǎn)量.對于花生而言，根系的長度將影響花生干物質(zhì)的積累以及產(chǎn)量，花生的根長與產(chǎn)量呈正相關(guān).

Logistic模型是描述具有S型動(dòng)態(tài)發(fā)展曲線的一個(gè)經(jīng)典的微分方程，有著比較廣的應(yīng)用范圍.例如，王明齋等[2]將Logistic微分方程模型應(yīng)用到結(jié)核病疫情預(yù)警中，分析得出了3個(gè)疫情防控結(jié)點(diǎn)：漸增期、快增期和緩增期.張林等[3]在研究降低UV-B輻射對烤煙株高影響的問題時(shí)建立了如下非自治的Logistic模型：

其中,H表示烤煙的株高,Hm表示烤煙的最大株高,r(t)表示與時(shí)間有關(guān)的增長率.

又如,劉春等[4]基于能量模型建立了水稻生長的如下Logistic型二維微分方程模型:

其中,T表示氣溫,Tu表示最適氣溫,u表示水稻生物量.

最近，李文斌[5]在考慮聲頻控制會(huì)影響水稻生長的數(shù)學(xué)問題時(shí)，基于Logistic建立了決定水稻產(chǎn)量的水稻分蘗期生長的微分方程模型.

至今，沒有見到文獻(xiàn)基于Logistic微分方程模型去研究花生生長發(fā)育中的相關(guān)規(guī)律.為此，本文的主要目的是研究花生根長與干物質(zhì)的積累之間的關(guān)系.將基于花生生長發(fā)育的基本事實(shí)和Logistic模型建立二維微分方程組模型，并進(jìn)行數(shù)值模擬分析和應(yīng)用闡釋.

1 二維微分方程組模型的建立與分析

1.1 模型的建立

根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]，可提取花生生長發(fā)育過程中的以下基本事實(shí)：

F1)隨著花生的生長發(fā)育期的推進(jìn)，花生的根系的活力逐漸下降，其中在苗期時(shí)根系的活力最高；

F2)隨著花生的生長發(fā)育期的推進(jìn)，花生的根長不斷增加；

除了安特萊夫的《默》對魯迅的《藥》的創(chuàng)作有明顯的影響之外，安特萊夫的另一篇小說《齒痛》也對《藥》的主題產(chǎn)生了很大的影響?！洱X痛》描寫的是耶穌在各各他被釘上十字架的那一天，各各他附近有個(gè)商人患著齒痛。他也和《藥》里的華老栓一樣，只關(guān)注自己的齒痛，而對耶穌的死毫不理解，并表現(xiàn)出極度的冷漠。

F3)花生苗期根長與產(chǎn)量呈顯著正相關(guān)，開花下針期與飽果成熟期根長與產(chǎn)量呈極顯著正相關(guān).

基于以上3個(gè)事實(shí)，我們做出以下合理假設(shè)：

H1)花生根部的生長增長速率先增后減，符合二次函數(shù)模型；

H2)花生的干物質(zhì)積累越大，花生根長的增長速率越??；

H3)干物質(zhì)的積累速度隨花生根的長度的增加而增加；

H4)干物質(zhì)的積累速度隨干物質(zhì)的積累量的增加而減慢；

H5)在不考慮根長影響因素時(shí)，花生干物質(zhì)的積累量的最大值設(shè)為K.

(1)

其中,α,a,b,c>0,且為常數(shù).

1.2 參數(shù)估計(jì)

由f(L,N)=0,g(L,N)=0得正平衡點(diǎn)為(L0,K+αL0),其中L0為根的待定長度.

因?yàn)榛ㄉ诓シN后,生長過程為首先胚萌發(fā),接著胚芽形成幼芽,然后胚根才形成幼根,所以若取(0,0.8)為花生的生長發(fā)育的起始點(diǎn),則此時(shí)花生的根長為0,而干物質(zhì)的積累量0.8為種子的質(zhì)量,且根的增長速率不為0,取增長速率為 0.057 89,即：

-116.64a+b-0.8c=0.057 89.

(2)

正平衡點(diǎn)(L0,K+αL0)為花生生長發(fā)育過程的終點(diǎn),此時(shí)花生的根生長速率為0,根的長度記作L0,所以

-a(L0-10.8)2+b-c(K+αL0)=0.

(3)

取定L0=20.7,K=60.8,則方程(3)可變形為

84.64a-b+(60.8+20α)c=0.

(4)

在苗期時(shí),根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]的相關(guān)數(shù)據(jù),假設(shè)花生的根長度為10.8,干物質(zhì)的積累量為8.7,此時(shí)的根增長速率達(dá)到最大,最大值為：

b-8.7c=0.36.

(5)

如取α=0.5,則聯(lián)立方程(2)～(5),得：

a=0.002 7,b=0.374 1,c=0.001 6,K=60.8,r=0.059,α=0.5.

1.3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

微分方程組模型(1)的雅可比矩陣為：

在參數(shù)估計(jì)下的微分方程組模型(1)變?yōu)椋?/p>

(6)

平衡點(diǎn)(L0,K+αL0)=(20.7，71.15)處的雅可比矩陣為

記：p=-trA=0.112 46>0,q=detA≈0.003 2>0,Δ=p2-4q=-0.000 15<0.

因?yàn)閜>0,q>0，Δ<0，所以平衡點(diǎn)(L0,K+αL0)是漸近穩(wěn)定的焦點(diǎn)，這說明，花生的根長和干物質(zhì)的積累量最終在穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近波動(dòng).

1.4 數(shù)值模擬

微分方程組模型(6)是一個(gè)非線性的二維微分方程組，無法求出其精確解，因此通過Matlab編程數(shù)值模擬畫出解析式的圖像和相圖.

圖1 花生根長與時(shí)間的關(guān)系 圖2 花生干物質(zhì)積累量與時(shí)間的關(guān)系 圖3 花生根長與干物質(zhì)積累量的關(guān)系相圖

由圖1、圖2和圖3可得以下結(jié)論：

i) 根長增長的拐點(diǎn)在苗期，干物質(zhì)積累的拐點(diǎn)在開花下針期；

ii) 當(dāng)根長為 10.8 cm 時(shí)，花生根長的增長速率為最大;

iii) 花生的根長的增長呈“S”型生長曲線，先慢后快，最后趨近于最大值；根長的增長主要集中在苗期和開花下針期；

iv) 花生的根長在 140 d 時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，此時(shí)根長為 20.7 cm；

v) 在加入花生根長的影響后，花生的干物質(zhì)積累量增加，其最大增長速率變大.這也許是由于翻耕深度更深、土壤更加肥沃、水分陽光更適宜等因素使得根系生長更長，因此花生的產(chǎn)量會(huì)增加.

由花生根長與干物質(zhì)積累量關(guān)系的L-N相圖3，還可得：

1) 花生干物質(zhì)的積累與根長正相關(guān)；

2) 圖像下凸，并且傾斜程度越來越陡，這說明前期干物質(zhì)積累速率低于花生根長的增長速率.

2 結(jié)語

基于花生生長發(fā)育的基本事實(shí)和Logistic模型，建立了花生根長與其干物質(zhì)積累量關(guān)系的二維微分方程組模型(1)，在進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)后，得到二維微分方程組模型(6)，其正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn).

對二維微分方程組模型(6)的數(shù)值模擬結(jié)果表明，花生的根越長，花生干物質(zhì)積累越多，呈正相關(guān).結(jié)合花生生長的實(shí)際過程，可以作出如下合理的闡釋：在花生的破土期以及苗期主要是生根，干物質(zhì)積累較少；到了下針期，根的增長減慢，但是干物質(zhì)積累明顯增加，此時(shí)主要體現(xiàn)在莖和葉的生長；到了結(jié)莢期，和飽果成熟期，根的增長最緩慢，此時(shí)主要是莢果的發(fā)育和成熟，因此干物質(zhì)積累很快.