李婷

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版）>提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)，筆者就學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中探究發(fā)現(xiàn)的一些“巧合”為實(shí)例，談?wù)勅绾卫眠@些“巧合”培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1 橢圓的三種定義——精彩的統(tǒng)一（數(shù)學(xué)抽象）

我們?cè)谘芯繖E圓的方程時(shí)，常常讓學(xué)生自己嘗試推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這個(gè)過程不單單是一個(gè)簡單的雙根號(hào)方程的代數(shù)化簡，根據(jù)數(shù)學(xué)抽象的幾何關(guān)注點(diǎn)（兩點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離、斜率）的不同，可將方程抽象成三種不同的形式：

①②③式分別對(duì)應(yīng)的橢圓的三種定義.代數(shù)與幾何的完美碰撞，在橢圓的三種定義推導(dǎo)中體現(xiàn)得淋漓盡致.在我們的平時(shí)教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生在探究過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的“妙不可言”其實(shí)是“妙可以言”，根據(jù)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)注點(diǎn)的不同，用美妙的數(shù)學(xué)語言續(xù)寫美麗的數(shù)學(xué)篇章，

案例2 切線方程與中點(diǎn)弦所在直線方程——巧妙的融合（邏輯推理）

在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，圓錐曲線的切線問題以及圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題為兩大主要問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中也難免會(huì)發(fā)現(xiàn)一些巧合，如：

這幾個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)可以統(tǒng)一從導(dǎo)數(shù)的角度推導(dǎo)，推導(dǎo)過程可以類比，也并不復(fù)雜，從形式上看這幾個(gè)結(jié)論的特點(diǎn)更是驚人的“巧合”.我們?cè)賮砜纯磶讉€(gè)有關(guān)中點(diǎn)弦問題的結(jié)論：

這幾個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)可以統(tǒng)一用“點(diǎn)差法”或“聯(lián)立方程組”，推導(dǎo)過程也可以類比，從形式上看這幾個(gè)結(jié)論的特點(diǎn)也是驚人的“巧合”.其實(shí)將上述中點(diǎn)弦問題中的點(diǎn)P（xo，Yo）向圓錐曲線上趨近時(shí)，以P（xo，Yo）為中點(diǎn)的弦所在的直線就剛好趨近圓錐曲線的切線，此時(shí)方程也就變成相應(yīng)的切線方程了，這個(gè)變化過程也是一個(gè)完美的“巧合”.

羅素曾說過“數(shù)學(xué)是符號(hào)加邏輯”，可見邏輯推理在數(shù)學(xué)中的地位，鼓勵(lì)我們的學(xué)生在平時(shí)的邏輯推理中，多發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，多總結(jié)一些巧合，讓數(shù)學(xué)知識(shí)不再“碎片化”，感受完美的數(shù)學(xué)體系，促進(jìn)自身邏輯推理素養(yǎng)的提升.

案例3 獨(dú)立事件——“不完美”的碰撞（數(shù)學(xué)建模）

巧合解釋通了，但是不能提倡第二種解法，畢竟這有悖于我們平時(shí)的生活經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)源于生活，最后要服務(wù)于生活，脫離了生活經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)是空洞的，沒有價(jià)值的.通過分析這個(gè)巧合背后的原因，可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的能力.

案例4 反比例函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)，雙曲線方程——神奇的轉(zhuǎn)變（直觀想象）

初中時(shí)學(xué)習(xí)過反比例函數(shù)，知道它的圖象是雙曲線.高中學(xué)習(xí)圓錐曲線，又學(xué)習(xí)到了雙曲線，學(xué)生不禁要問這個(gè)雙曲線和反比例函數(shù)的雙曲線是一回事嗎？把兩個(gè)圖象拿來對(duì)比，確實(shí)長得很像，

這些貌似沒有什么關(guān)聯(lián)的函數(shù)或曲線方程，因?yàn)樗鼈兊膱D象相似，大膽地猜想這不僅僅是“巧合”，這里面一定蘊(yùn)含著某種“必然”.

德摩根曾說“數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動(dòng)力不是推理，而是想象力的發(fā)揮”.通過直觀想象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和諧之美，大膽猜想與論證，這正是“巧合”帶給我們的力量.

案例5 錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法——完美的相遇（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

歸納完畢，學(xué)生對(duì)“錯(cuò)位相減”、“裂項(xiàng)”這兩大數(shù)列求和方法完美的相遇、巧合的碰撞興奮不己，這不僅是對(duì)困擾他們?nèi)甑摹板e(cuò)位相減法”的一種釋懷，也是對(duì)數(shù)學(xué)魅力的一種敬佩.原來數(shù)學(xué)運(yùn)算不是缺乏美，而是缺乏一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛.學(xué)生們?cè)谄綍r(shí)的運(yùn)算過程中多加入自己的思考，數(shù)學(xué)運(yùn)算就不會(huì)再枯燥，它將成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的左臂右膀.

案例6 超幾何分布與二項(xiàng)分布——深厚的淵源（數(shù)據(jù)分析）

很多學(xué)生都有過這樣的經(jīng)歷：在剛開始學(xué)習(xí)超幾何分布和二項(xiàng)分布時(shí)，有些分辨不清，可是求數(shù)學(xué)期望的時(shí)候結(jié)果卻是相同的.抓住這個(gè)契機(jī)，仔細(xì)研究這背后的原因，體會(huì)二項(xiàng)分布是超幾何分布的極限情形，在“巧合”的推動(dòng)下提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力.這種學(xué)習(xí)的動(dòng)力是自發(fā)的、最有效的.

古往今來，有多少偉大的發(fā)明創(chuàng)造皆來自“巧合”及“巧合”背后的靈光一現(xiàn)，這種“巧合”帶動(dòng)起來的好奇心可以驅(qū)動(dòng)我們一步一步向前探索.縱觀我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也經(jīng)常會(huì)碰撞出思維的“火花”，利用這些契機(jī)，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)研究，往往這些“巧合”蘊(yùn)含著非常豐富的內(nèi)涵，在感受數(shù)學(xué)魅力的同時(shí)，還能培養(yǎng)數(shù)學(xué)各方面的素養(yǎng).讓這些探究出來的“巧合”成為開啟數(shù)學(xué)大門的鑰匙，讓不斷提升的數(shù)學(xué)素養(yǎng)引領(lǐng)學(xué)生成為數(shù)學(xué)的主人.

參考文獻(xiàn)

[1]俞永鋒，反比例函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)是否為雙曲線[J].中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)參考，2012（4）：38-39

[2]柏慶昆，圓錐曲線中點(diǎn)弦問題的一般解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)參考，2012（8）：39140