王志亮,陳學(xué)習(xí),楊 濤

(華北科技學(xué)院 安全工程學(xué)院,北京 東燕郊 065201)

0 引言

礦井瓦斯是制約煤礦高產(chǎn)高效及安全生產(chǎn)的主要災(zāi)害因素，而采掘工作面的落煤瓦斯是井下主要的瓦斯涌出源之一。瓦斯在煤體內(nèi)的運移過程可分為三個階段[1]：第一階段是瓦斯分子由煤基質(zhì)內(nèi)表面脫附解吸，由吸附態(tài)變?yōu)橛坞x態(tài)；第二階段是瓦斯分子穿過微孔向外部裂隙系統(tǒng)的運動，即在濃度梯度作用下從煤的小顆粒涌出到煤層的裂隙系統(tǒng)(煤層節(jié)理、割理系統(tǒng))中，該過程是一個擴散過程；第三階段是瓦斯氣體在壓力梯度的作用下，在煤層節(jié)理、割理系統(tǒng)中的運移，該過程是一個滲透過程。這三個階段相互銜接、相互影響，其中運移速度最慢的階段決定了瓦斯的運移速度。大量研究表明[2,3]，在較大的孔隙和裂隙中，瓦斯流動符合滲透定律，而在較小的孔隙系統(tǒng)中，瓦斯氣體的運移符合擴散定律。以往對煤粒瓦斯擴散的研究主要分析瓦斯在煤體內(nèi)部的運移[4]，未考慮煤粒邊界處的質(zhì)量交換。本文基于前人煤粒瓦斯擴散的研究成果，同時考慮了煤粒表面的傳質(zhì)阻力和質(zhì)量交換，建立了更為完善的煤粒瓦斯擴散數(shù)學(xué)模型，并用工程數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出了其解析解。研究結(jié)果進一步完善了瓦斯擴散機理，同時對現(xiàn)場瓦斯防治提供理論依據(jù)。

1 煤粒瓦斯擴散數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

通過對大量不同煤質(zhì)、不同尺度的煤粒進行瓦斯擴散實驗測定[5-7]，結(jié)果表明當(dāng)粒徑小于極限半徑時，煤粒內(nèi)的瓦斯流動較好地符合擴散定律；當(dāng)粒徑大于極限半徑時，測定結(jié)果與理論分析存在一定偏差。究其原因是大塊煤粒內(nèi)部必然存在較大孔隙或裂隙，這些孔隙或裂隙必然對瓦斯擴散過程產(chǎn)生影響。對此，可將任何煤?？闯捎蓸O限半徑組成的煤屑集合體，同時考慮煤粒表面與外界的質(zhì)量傳遞影響因素，則煤粒的瓦斯擴散物理模型如圖1所示。

圖1 煤粒瓦斯擴散球坐標(biāo)示意圖

在圖1中，r0為煤粒半徑，r為煤粒內(nèi)部的瓦斯擴散動態(tài)半徑，煤粒中吸附瓦斯和游離瓦斯達到動態(tài)平衡狀態(tài)。含瓦斯煤粒與外部環(huán)境構(gòu)成一個混合物體系，當(dāng)瓦斯?jié)舛却嬖谔荻炔顣r，必然發(fā)生削弱濃度不均勻性的變化過程，即高濃度瓦斯分子向低濃度的遷移變化，這就是質(zhì)量傳遞現(xiàn)象，該過程包含分子擴散和對流擴散[8]。當(dāng)煤粒的固氣邊界處瓦斯壓力發(fā)生變化，游離狀態(tài)的瓦斯與外界發(fā)生質(zhì)量傳遞，并服從對流質(zhì)量交換定律。與此同時，臨近邊界處的吸附瓦斯解吸為游離瓦斯并向煤粒表面擴散，瓦斯?jié)舛茸兓螸angmuir吸附定律，瓦斯擴散過程符合質(zhì)量守恒和連續(xù)性原理。初始條件下，整個煤粒內(nèi)部的瓦斯處于吸附狀態(tài)；邊界處煤粒瓦斯與外部環(huán)境發(fā)生動態(tài)質(zhì)量交換。由此可構(gòu)建球坐標(biāo)系下煤粒瓦斯非穩(wěn)態(tài)擴散的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中，C為煤粒的動態(tài)吸附瓦斯?jié)舛龋琸g/m3；C0為煤粒原始吸附瓦斯的濃度，kg/m3；Cp為煤粒原始游離瓦斯的濃度，kg/m3；D為瓦斯擴散系數(shù)，m2/s；α為對流質(zhì)量交換系數(shù)，m/s；r0為煤粒半徑，m；r為瓦斯擴散動態(tài)半徑，m。

2 煤粒瓦斯擴散方程的解析解

2.1 分離變量微分方程

為求解擴散方程，設(shè)U(r,t)=[C(r,t)-Cp]r,代入式(1)后，煤粒瓦斯擴散數(shù)學(xué)模型可變?yōu)椋?/p>

(2)

由于式(2)為二次拋物線方程，可用分離變量法求解[9]。設(shè)擴散方程具有變量分離形式的非零特解，令：

U(r,t)=R(r)T(t)

(3)

將式(3)代入式(2)中的第一式并整理可得：

(4)

式(4)左端僅為t的函數(shù)，右端僅為r的函數(shù)，而t和r是兩個獨立的變量，因此只有兩邊同為一常數(shù)時，等式才能成立。設(shè)該常數(shù)為-λ，則得兩個常微分方程：

T′(t)+λDT(t)=0

(5)

R″(r)+λR(r)=0

(6)

將式(3)代入式(2)中第三、四項中，可得常微分方程R(r)和T(r)滿足的邊界條件：

R(0)=0

(7)

(8)

2.2 微分方程求解

首先求解方程式(6)的特征函數(shù)，按照λ的取值范圍分別進行討論：

(1) 當(dāng)λ<0時，方程式的通解為：

(9)

由R(r)的邊界條件式(7)、(8)可得：C1=C2=0，則R(r)≡0，這與式(2)具有非零解相矛盾，故當(dāng)λ<0時，R(r)不存在非零解。

(2) 當(dāng)λ=0，方程式的通解為：

R(r)=C1+C2r

(10)

由R(r)的邊界條件仍然得：C1=C2=0，因此當(dāng)λ=0時，R(r)也不存在非零解。

(3) 當(dāng)λ>0時，方程式的通解為：

(11)

由R(r)的邊界條件可得：

C1=0

(12)

(13)

若使R(r)有非零解，則C2≠0，故有：

(14)

由該式可求得滿足條件的一系列λn固有值，與λn對應(yīng)的一系列R(r)的固有函數(shù)為：

(15)

將λn代入式(5)并求解可得T(t)的固有函數(shù)：

T(t)=Ane-λnDT(n=1,2,…)

(16)

由式(15)、(16)便得到滿足煤粒解吸擴散方程及邊界條件的一列非零特解為：

(17)

為求得解吸擴散方程解得一般形式，利用特解的疊加原理可得：

(18)

為滿足初始條件，由式(18)和式(2)的第二式可得：

(19)

(20)

將得到的系數(shù)An代回式(18)，可得煤粒解吸擴散方程具有分離變量形式的解。再將U(r,t)代回方程U(r,t)=[C(r,t)-Cp]r中，可求得任意時刻煤粒內(nèi)任意一點的瓦斯?jié)舛?，即?/p>

(21)

2.3 煤粒瓦斯擴散量分析

(1) 任意時刻煤粒瓦斯累積擴散量為：

(22)

(2) 當(dāng)t→∞時，煤粒瓦斯的極限擴散量為：

(23)

(3) 由式(22)和式(23)可得，任意時刻煤粒瓦斯累積擴散量占極限擴散量的比例為：

(24)

式中，A、B分別為比例系數(shù)。

對式(24)兩邊取對數(shù)并整理可得：

(25)

3 煤粒瓦斯擴散特性

3.1 阻力分布準(zhǔn)數(shù)

(26)

3.2 擴散分布準(zhǔn)數(shù)

煤粒瓦斯擴散過程首先從表面開始，并與外部環(huán)境進行質(zhì)量傳遞。隨著時間的延續(xù)，煤粒內(nèi)部的吸附瓦斯由外向里由吸附態(tài)轉(zhuǎn)化為游離態(tài)并擴散至煤粒表面。整個瓦斯擴散場由表及里逐次非線性動態(tài)發(fā)展變化，其變化過程可通過瓦斯?jié)舛葋矸治?。對于煤粒瓦斯擴散濃度，其分布特性采用方程(27)來表示：

(27)

(28)

4 結(jié)論

(1) 建立了煤粒瓦斯擴散數(shù)學(xué)模型，該模型考慮了煤粒邊界處瓦斯的傳質(zhì)特性，更具有普遍性和科學(xué)性。

(2) 采用分離變量法對煤粒瓦斯擴散數(shù)學(xué)模型進行推導(dǎo)，借助特征函數(shù)和傅里葉級數(shù)理論得到了模型的解析解。

(3) 阻力分布準(zhǔn)數(shù)表征煤粒瓦斯擴散場的阻力特性，反映了瓦斯運移過程中在煤粒內(nèi)部阻力和表面對流傳質(zhì)阻力的相對大小，外在表現(xiàn)為含瓦斯煤粒的衰減系數(shù)。

(4) 擴散分布準(zhǔn)數(shù)表征煤粒瓦斯擴散場的擾動特性，反映了瓦斯擴散隨時間變化波及煤粒內(nèi)部的深度和范圍，外在表現(xiàn)為含瓦斯煤粒的初始涌出強度。

(5) 按照得出的計算公式，可求出任意時刻煤粒內(nèi)任一點的瓦斯?jié)舛?、任意時刻煤粒瓦斯的累計擴散量及時間趨于無限大時煤粒的極限擴散量。由此可對采掘工作面的落煤、采空區(qū)遺煤、煤倉等場所的瓦斯涌出量進行計算分析，為現(xiàn)場瓦斯防治提供理論基礎(chǔ)。