趙 玲, 劉志學

(1.佛山科學技術學院 經(jīng)濟管理學院,廣東 佛山 528000; 2.華中科技大學 管理學院,湖北 武漢 430074)

0 引言

隨著電子商務的快速發(fā)展，企業(yè)越來越重視服務質(zhì)量。因此，大多數(shù)電子商務零售商推出“七天無理由退貨”服務和上門取件服務。這使得顧客退貨更為經(jīng)濟方便，進而導致更多顧客退貨。例如，新浪財經(jīng)報道，2013年電子商務零售商“天貓”的服飾類商品中，運動鞋和運動服等30天平均退貨率高達15.07%[1]；來自零售分析公司Appriss Retail的數(shù)據(jù)表明，2019年美國零售行業(yè)因網(wǎng)絡退貨造成的損失超過200億美元[2]。較高的退貨率加重了電子商務零售商的運營成本負擔，若處理不好，則會導致嚴重虧損。因此，有必要考慮退貨對企業(yè)運營決策的影響。

電子商務零售商在處理下游顧客退貨問題的同時，也需要通過從上游供應商訂購或直接生產(chǎn)等方式定期補充庫存以滿足顧客需求。在補貨時，不僅會產(chǎn)生與補貨量呈線性關系的變動成本，而且也會產(chǎn)生與補貨量無關的固定成本。例如，當零售商訂購重量較大的產(chǎn)品時，需要給搬運人員提供一定的勞務費用，從而產(chǎn)生固定補貨成本。再如，對于自產(chǎn)自銷的電子商務零售商而言，在需求高峰期需要大量生產(chǎn)，從而需要招聘臨時勞動力并進行培訓，而培訓勞動力產(chǎn)生的成本與生產(chǎn)量無關，可看作固定成本。更多有關固定成本的例子，參見Chao和Zipkin[3]。

基于以上討論，電子商務零售商在日常運營管理中，同時面對顧客退貨和固定補貨成本的現(xiàn)象很常見。然而，在已有的大多數(shù)研究中，有的僅考慮固定補貨成本，如Chen等[4]等；另一些僅考慮顧客退貨，如劉詠梅等[5]以及Chen和Bell[6]等。很少有研究同時考慮顧客退貨和固定成本的影響。基于此，本文將在同時考慮顧客退貨和固定補貨成本的情形下，探究電子商務零售商利潤最大化的補貨和定價聯(lián)合策略。具體地，考慮允許顧客免費退貨情形，零售商的補貨成本包括固定和線性變動成本，而且面對的顧客需求隨機且依賴定價。零售商的目標是通過同時決策每周期商品的補貨水平和定價，從而最大化有限計劃期內(nèi)的總利潤。本論文首先刻畫最優(yōu)策略，然后根據(jù)策略特征提出啟發(fā)式求解策略。最后，利用數(shù)值算例驗證啟發(fā)式策略的近似最優(yōu)性，并探討退貨率和固定成本的影響。

1 文獻綜述

在與顧客退貨相關的研究中，大多數(shù)考慮的是單期或兩期問題，如Granot和Yin[7]，李建斌和李赟[8]以及盧美麗等[9]等。很少有研究考慮多期情形下的顧客退貨問題。Chen和Bell[6]分別在需求為確定性和隨機性兩種情形下討論了多周期的庫存與定價問題，其中在隨機情形中假設需求函數(shù)是加法結(jié)構，而且需求分布滿足一定條件；通過對目標函數(shù)求一階導的方法，他們得出最優(yōu)定價和庫存與成本參數(shù)及退貨參數(shù)之間的關系。張霖霖和姚忠[10]也采用導數(shù)分析法分別討論類似確定性和隨機性模型，但需求函數(shù)是乘法結(jié)構。應該指出的是，文獻[6]和[10]都忽略了固定成本。然而，電子商務零售商在實際中會因搬運費用等問題產(chǎn)生固定成本，這促使本文探討同時考慮固定成本和顧客退貨的隨機動態(tài)補貨模型。固定成本的引入使得本研究的模型不再具有可微性，導致導數(shù)方法不再適用本文的分析。因此，本文成果拓展了類似研究問題的結(jié)論。

與本文模型相關的另一個文獻流是考慮固定補貨成本的多周期聯(lián)合庫存與定價問題。在延期交貨情形下，Chen和Simchi-levi[11]，Chen等[4]和Hu等[12]分別對固定與線性補貨成本、分段線性凹補貨成本和分段線性凸/凹補貨成本的隨機動態(tài)規(guī)劃模型進行探討。這些模型中延期交貨的假設使得類似凹性(如K-凹性[11]，擬-K-凹性[4]和κ-凹性[12]等)在最優(yōu)化問題中成立，從而可以應用這些性質(zhì)刻畫最優(yōu)策略。對于缺貨不補情形，Chen等[13]在假設需求函數(shù)為加法結(jié)構且隨機變量分布滿足一定條件的情形下，證明(s,S,p)策略最優(yōu)。Song等[14]則在乘法需求結(jié)構下證明最優(yōu)策略為(s,S,A,p)策略。與(s,S,p)策略相比，(s,S,A,p)策略在區(qū)間A上的決策要根據(jù)實際情況確定。對于比較一般的需求函數(shù)結(jié)構，Huh和Janakiraman[15]給出(s,S)庫存策略最優(yōu)的充分條件。上述研究中討論的系統(tǒng)動態(tài)都可以寫成關于庫存y與需求D(p,ε)之差ψ(y-D)(p,ε)的函數(shù)形式，其中總需求D(p,ε)依賴定價p與隨機變量ε。然而，由于顧客退貨因素的引入，ψ(y-D(p,ε))結(jié)構對于本文更加復雜的系統(tǒng)動態(tài)不再成立，這給本文的分析帶來了挑戰(zhàn)。針對此，本研究通過分析最優(yōu)值函數(shù)的結(jié)構部分刻畫最優(yōu)策略，并根據(jù)刻畫提出近似最優(yōu)的啟發(fā)式算法。此外，上述討論缺貨不補情形的研究中，文獻[13]和[14]都對需求密度函數(shù)施加了假設，文獻[15]給出的最優(yōu)策略的充分條件通常難以直接判斷；而本文討論的一般需求情形則不需要判斷充分條件。

綜上所述，一方面，目前關于顧客退貨的研究大多考慮的是單期或兩期問題，而少有的幾篇有關多期問題的文獻討論的補貨成本僅為線性結(jié)構，忽略了固定成本。然而，零售商會由于支付運費等原因產(chǎn)生固定成本，因而同時考慮顧客退貨和固定成本的庫存定價問題非常值得研究。另一方面，在有關考慮固定補貨成本的多周期聯(lián)合庫存與定價模型中鮮有考慮顧客退貨情形，同時顧客退貨因素的引入又會導致系統(tǒng)動態(tài)的復雜性從而增加分析的難度。因此，本文在現(xiàn)有研究的基礎上，建立同時考慮顧客退貨和固定成本的動態(tài)庫存與定價模型，通過分析最優(yōu)值函數(shù)的性質(zhì)刻畫最優(yōu)策略，并探討退貨率和固定成本對最優(yōu)策略的影響。

2 模型建立

電子商務零售商的目標是最大化其在有限計劃期(包含T個周期)內(nèi)的總期望折扣利潤。在每周期開始時，電子商務零售商都需要根據(jù)初始庫存決策商品的定價和補貨量，然后用已有的庫存滿足需求，并允許免費退貨，接下來收到退貨并進行處理，最后該周期的利潤產(chǎn)生，下一周期的初始庫存生成。假設每周期的需求隨機且依賴定價，而且對于任意的t=1,2,…,T，第t周期的需求函數(shù)可以寫成加法或乘法形式，即

D(p,εt)=d(p)+εt,D(p,εt)=d(p)εt

(1)

第t周期的成本包括補貨、庫存和退貨成本，記其固定補貨成本為K(≥0)，單位變動補貨成本為c。那么當該零售商補貨z單位時，需要支付補貨成本c(z)=Kδ(z)+cz，其中指標函數(shù)δ(·)滿足：如果z=0那么δ(z)=0；否則δ(z)=1。假設當電子商務零售商補貨后的庫存水平y(tǒng)高于(低于)顧客需求D(p,εt)時會產(chǎn)生庫存持有(短缺)成本，則庫存成本為

h[y-D(p,εt)]++b[D(p,εt)-y]+

(2)

其中非負參數(shù)h和b分別為單位庫存持有成本和單位缺貨懲罰成本，x+表示x與0的最大值，即x+=max{x,0}。為了提高服務質(zhì)量，在不影響產(chǎn)品二次銷售的情形下，電子商務零售商允許顧客在一個周期內(nèi)進行退貨。因為銷售量越多，退貨量越大，所以假設退貨量與滿足的顧客需求成正比。該假設很常見，如張霖霖和姚忠[10]等。為簡便，記x∧y=min{x,y}，那么退貨量為η[D(p,εt)∧y]，其中η∈[0,1)和D(p,εt)∧y分別為退貨率和滿足的顧客需求。假設退貨的顧客可得到全價賠償，每件退貨因為重新包裝、運費等因素給電子商務零售商帶來的損失為L(≤c)，而且退回的貨物可在當期到達零售商。那么，在第t周期電子商務零售商因提供退貨服務而退給顧客的費用和造成的損失分別為pη[D(p,εt)∧y]與Lη[D(p,εt)∧y]，所以因顧客退貨產(chǎn)生的成本為η(L+p)[D(p,εt)∧y]。

假設當電子商務零售商的庫存水平高于顧客需求時，剩余庫存可以留在后續(xù)周期繼續(xù)使用；否則，未滿足的需求不再滿足。那么，給定補貨后的庫存水平y(tǒng)，第t周期結(jié)束時電子商務零售商的庫存為

φ(y,p,εt)=[y-D(p,εt)]++η[D(p,εt)∧y]

(3)

其中[y-D(p,εt)]+為第t周期滿足需求之后剩余的庫存，η[D(p,εt)∧y]是退貨量。

令γ∈[0,1]為折扣因子，E為對εt求期望的符號，F(xiàn)t(x)為第t周期的預期折扣利潤關于初始庫存x≥0的函數(shù)，F(xiàn)T+1(x)=cx。那么相應的動態(tài)規(guī)劃問題如下:

[Kδ(y-x)+c(y-x)]-

E[h(y-D)(p,εt))++

b(D(p,εt)-y)+]-

η(L+p)E[D(p,εt)∧y]+

γEFt+1(φ(y,p,εt))}

(4)

其中目標函數(shù)中的前四項分別為第t周期的期望收益、補貨成本、期望庫存成本和期望退貨成本。為簡便，定義函數(shù)ft(x)=Ft(x)-cx和

Gt(y,p)=(p-ηL-ηp)E[D,(p,εt)∧y]-

hE[y-D(p,εt)]+-bE[D(p,εt)-y]+-

cy+γcEφ(y,p,εt)

(5)

于是，上述動態(tài)規(guī)劃問題等價于:

其中

(7)

而且fT+1(x)≡0。給定x，記問題(6)在第t周期的最優(yōu)解為yt(x)；給定y，記問題(7)的最優(yōu)解為Pt(y)。那么，最優(yōu)定價與初始庫存x的關系pt(x)=Pt(yt(x))。為便于刻畫最優(yōu)解，下面定義St為gt(y)在區(qū)間[0,+∞)上最小的最大值點，st為滿足不等式gt(y)>gt(St)-K且不大于St的下確界，即

(8)

注意到εt是連續(xù)型隨機變量，而且式(7)的目標函數(shù)函數(shù)是對εt求期望后得到，因而該目標函數(shù)連續(xù)，進而得到式(7)的最優(yōu)值函數(shù)gt(y)也連續(xù)，這可確保上述兩個界值的存在性。

3 最優(yōu)策略的刻畫

本節(jié)首先針對一般需求分布情形，在乘法和加法結(jié)構需求前提下部分刻畫最優(yōu)策略。然后，針對特殊需求分布情形，在乘法結(jié)構需求前提下更嚴格地刻畫最優(yōu)策略；而對于加法結(jié)構需求，由于技術限制故將其作為后續(xù)研究問題。注意這里提到的特殊需求分布指隨機變量εt的失效率函數(shù)r(u)=uw(u)/[1-W(u)]遞增的分布(詳見3.2節(jié)假設)，而一般需求分布則包括任何類型的分布。此外，兩種需求函數(shù)結(jié)構的不同在于定價影響需求隨機性的方式不同，其中式(1)表明在加法和乘法結(jié)構中定價分別影響需求D(p,εt)分布的位置與形狀。

3.1 一般需求分布下的最優(yōu)策略

在需求服從一般分布的情形下，探討隨機動態(tài)規(guī)劃問題(6)在多期情形下的最優(yōu)解。固定成本的引入以及系統(tǒng)動態(tài)φ(y,p,εt)結(jié)構的復雜性使函數(shù)gt不具有凹性，為多期情形下最優(yōu)策略的刻畫帶來挑戰(zhàn)。針對此，本文可用以下結(jié)論刻畫最優(yōu)策略。

為便于描述，首先引入K-減函數(shù)[16]的概念。如果對于任意的x

It(y,p,q)=-(ap+l1)E[D(q,εt)-y]+

-l2E[y-D(q,εt)]+

(9)

(10)

命題1對任意周期t，當y≥Mt時，gt(y)是嚴格K-減函數(shù)。從命題1可以看出，當y≥Mt時，gt(y)是嚴格K-減。也就是說，對于任意y>x≥Mt,有gt(x)>gt(y)-K。注意到gt(x)為第t周期不補貨情形下第t周期到最后一周期的總利潤，gt(y)-K為第t周期補貨至y的情形下第t周期到最后一周期的總利潤。因此，當初始庫存水平x≥Mt時，不補貨比補貨至任意庫存水平得到的利潤更高。應用這個結(jié)論，可刻畫多期問題的最優(yōu)策略。

定理1對于任意t，當x≤st時yt(x)=St；當x≥Mt時yt(x)=x，其中st≤Mt。

由定理1可知，當電子商務零售商的初始庫存水平x低于界值st時，需要將庫存水平增加至St；當初始庫存水平x高于Mt時，不需要補充庫存。不等式關系st≤Mt將為下文啟發(fā)式算法的提出提供理論依據(jù)。

3.2 特殊需求分布下的最優(yōu)策略

考慮到在一般需求分布情形下，定理1并沒有完全刻畫多期問題的最優(yōu)策略。因此，本小節(jié)將在特殊需求分布情形下更為具體地刻畫最優(yōu)策略。特別地，此處主要考慮乘法結(jié)構的需求函數(shù)即D(p,εt)=d(p)εt，以及穩(wěn)定的系統(tǒng)，即εt關于周期t獨立而且具有相同的分布。因此，可以省去εt,μt和Gt的下標，簡寫為ε,μ和G。有關隨機變量ε分布和成本參數(shù)的假設如下：

假設1隨機變量ε的失效率函數(shù)r(u)=uw(u)/[1-W(u)]遞增。

假設2單位缺貨懲罰成本b=0。

由假設1可知，雖然的分布有限制，但包括大多數(shù)常用分布，如均勻分布、正態(tài)分布以及指數(shù)分布等[17]。假設2表明未滿足的顧客需求不會給零售商帶來損失，Song等[14]也考慮了這個假設。

定理2在第t=T周期，當x≤st時，yt(x)=St；當x>st時，yt(x)=x。

由定理2可知，在單期情形下，當電子商務零售商的初始庫存x低于庫存點st時，需要補貨至St；否則不補貨最優(yōu)。也就是說，在單期情形下最優(yōu)聯(lián)合補貨與定價策略是(s,S,p)策略。

命題3如果條件1成立而且Q(y)是擬凹函數(shù)，那么對于任意的y2>y1≥S或y2

由命題3可知，當條件1滿足且Q(y)是擬凹函數(shù)時，g(t)y是K-減。命題3與Huh和Janakiraman[15]中命題2的結(jié)論相似，但這里討論的最優(yōu)化問題的系統(tǒng)動態(tài)φ(y,p,ε)的形式更為一般化，不僅包含Huh和Janakiraman中不考慮顧客退貨情形即ψ(y-D(p,ε))，而且包含顧客退貨情形即[y-D(p,ε)]++η[D(p,ε)∧y]。

應用命題2和3中函數(shù)G(y,p)及gt(y)的性質(zhì)，下面將刻畫多期問題的最優(yōu)解。

定理3如果假設1和2成立，那么最優(yōu)補貨水平

(11)

而且，當K=0時有st=S，所以若x

由定理3可知，當初始庫存x低于界值st時，補充庫存至St最優(yōu)；當x≥S時，不補充庫存最優(yōu)；當st≤x

4 啟發(fā)式算法及數(shù)值分析

首先根據(jù)最優(yōu)策略的結(jié)構化性質(zhì)為最優(yōu)化問題構造啟發(fā)式算法并檢驗其近似最優(yōu)性，然后探討固定補貨成本和退貨率對最優(yōu)庫存水平和定價水平的影響。

4.1 啟發(fā)式策略的構造及其檢驗

注意到固定成本的引入以及系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構的復雜性導致定理1和3沒有完全刻畫多期問題的最優(yōu)策略。因此，將根據(jù)已有刻畫為最優(yōu)化問題構造啟發(fā)式策略。

(i)計算函數(shù)

4.2 固定成本和退貨率的影響

本小節(jié)探討固定補貨成本K和顧客的退貨率η對補貨決策和定價決策產(chǎn)生的影響。在下面所有數(shù)值例子中，設置成本參數(shù)為c=1，b=3，h=2，L=0.5。確定性需求與定價的關系為d(p)=10-p，p∈[1,10]，而且εt在集合{0,1,2,…,50}上均勻分布，設置總周期數(shù)T=3，折扣因子γ=0.9。

圖1和2分別是退貨率η=0.4時不同固定成本情形下補貨決策與定價決策隨初始庫存水平的變化。由圖1可知，隨著固定成本的增大，區(qū)分電子商務零售商是否需要補貨的界值減小，最優(yōu)庫存水平增大。這說明固定成本越大，電子商務零售商補貨的可能性越小。此外，圖1還表明，對于給定的K，總存在一個界值，當初始庫存水平低于這個界值時，電子商務零售商需補貨至一個固定的水平，否則不需要補貨。這與定理1中對最優(yōu)策略結(jié)構的刻畫以及算法1中啟發(fā)式策略的結(jié)構一致。從圖2可以看出，當初始庫存水平較低時，最優(yōu)價格不變，而且該最優(yōu)價格隨著固定成本呈遞減變化；當初始庫存水平較高時，電子商務零售商的最優(yōu)定價隨著固定成本的增加而增加。這意味著當電子商務零售商的初始庫存較少時，隨著固定成本的升高，需要通過降低銷售價格生成更多的需求，從而增大利潤。此外，圖2還表明，對于給定的固定成本K，當初始庫存較低時，電子商務零售商的最優(yōu)定價維持不變；否則最優(yōu)定價隨初始庫存遞減。也就意味著當電子商務零售商的庫存較多時，需要通過降低定價增大顧客的需求從而減少庫存持有成本，以增加利潤。

圖3和4分別是固定成本K=20時不同退貨率情形下的最優(yōu)庫存水平與最優(yōu)定價。從圖3可以看出，隨著退貨率的增加，用于區(qū)分是否需要補貨的界值減小，最優(yōu)庫存水平也減小。這意味著當退貨率較大時，電子商務零售商補充庫存的可能性減少。由圖4可知，當初始庫存水平較低(高)時，電子商務零售商的最優(yōu)定價隨退貨率的增加而增加(降低)，意味著當初始庫存水平較低時，電子商務零售商所得的邊際利潤隨退貨率遞減，因而需要通過提高定價來相應地增加邊際利潤；當初始庫存水平較高時，隨著退貨率的增加，電子商務零售商需要通過降低定價來增加需求，從而增加利潤。

5 結(jié)論

在考慮顧客退貨和固定補貨成本的情形下，本論文專題探討了電子商務零售商面對的多周期聯(lián)合庫存與定價問題。針對一般需求分布和一般需求函數(shù)結(jié)構，部分刻畫多期問題的最優(yōu)策略；針對特殊需求分布以及乘法結(jié)構的需求函數(shù)，證明單期問題的最優(yōu)策略為(s,S,p)策略，并對多期問題的最優(yōu)策略進行嚴格刻畫。在此基礎上構造啟發(fā)式策略，并通過數(shù)值模擬驗證啟發(fā)式策略的近似最優(yōu)性，檢驗了固定成本和顧客退貨率的影響。本研究的管理啟示主要有兩點：①如果電子商務零售商當前庫存較少，那么當固定成本(退貨率)增大時，電子商務零售商會在增加(降低)補貨水平的同時降低(提高)定價；②如果電子商務零售商當前庫存較多，那么電子商務零售商不用補貨，當固定成本(退貨率)增大時，電子商務零售商應該提高(降低)價格。這些研究成果將為電子商務零售商靈活應對補貨成本結(jié)構的復雜性和顧客退貨現(xiàn)象提供有效指導。

圖1 固定成本對最優(yōu)庫存水平的影響

圖2 固定成本對最優(yōu)定價的影響

圖3 退貨率對最優(yōu)庫存水平的影響

圖4 退貨率對最優(yōu)定價的影響