花文華, 張金鵬,2

(1.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471000； 2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471000)

0 引言

導(dǎo)彈的飛行速度和彈道的轉(zhuǎn)彎半徑、過(guò)載等緊密相關(guān)，在飛行過(guò)程中的速度變化會(huì)通過(guò)剩余飛行時(shí)間、前置角等產(chǎn)生額外的視線角速度，從而增加對(duì)過(guò)載的需求，甚至影響制導(dǎo)性能[1]。本文主要針對(duì)一類(lèi)加裝有推力可調(diào)發(fā)動(dòng)機(jī)的導(dǎo)彈開(kāi)展制導(dǎo)律的研究，這樣一類(lèi)發(fā)動(dòng)機(jī)包括沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)和渦噴發(fā)動(dòng)機(jī)等。對(duì)于采用固體或液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的導(dǎo)彈，飛行速度是不可控的，一般在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中考慮速度變化帶來(lái)的影響，而非進(jìn)行速度的直接控制。采用推力可調(diào)發(fā)動(dòng)機(jī)的導(dǎo)彈在軸向多了一個(gè)控制自由度。通過(guò)軸向飛行速度控制來(lái)保持導(dǎo)彈飛行速度的穩(wěn)定將有助于緩解飛行速度變化帶來(lái)的影響。產(chǎn)生脫靶量的因素有多種，包括視線角速度、目標(biāo)橫向加速度、目標(biāo)飛行速度的變化等。如果通過(guò)軸向飛行速度控制，向著減少瞬時(shí)脫靶量的方向進(jìn)行加速或速度保持，甚至小推力下借助阻力進(jìn)行減速，將有助于提升導(dǎo)彈飛行彈道的收斂速度，從而改善制導(dǎo)性能。

將導(dǎo)彈飛行速度變化考慮到制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)當(dāng)中，這方面的研究文獻(xiàn)較多[2-7]，但往往受限于研究對(duì)象，并未將導(dǎo)彈速度的變化當(dāng)作控制量對(duì)待。如文獻(xiàn)[4]基于微分對(duì)策理論，將對(duì)策雙方的速度變化直接考慮到非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系當(dāng)中，提出了一種適用于變速攔截情形的有界控制非線性微分對(duì)策制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]利用線性化制導(dǎo)回路中解析出的剩余飛行時(shí)間內(nèi)的平均速度預(yù)測(cè)值，設(shè)計(jì)了一種考慮導(dǎo)彈速度變化的碰撞時(shí)間控制制導(dǎo)律，并將制導(dǎo)律擴(kuò)展到了適用于非線性系統(tǒng)的情況。

本文主要針對(duì)一類(lèi)飛行速度可調(diào)的導(dǎo)彈，開(kāi)展同時(shí)具備速度和脫靶量控制的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律的研究。首先給出了一種考慮導(dǎo)彈速度變化且以末端過(guò)載需求為零的修正比例導(dǎo)引律，在對(duì)該制導(dǎo)律瞬時(shí)脫靶量部分進(jìn)一步分析的基礎(chǔ)上，采用滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行飛行速度控制律的設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈橫向和速度方向同時(shí)在減少脫靶量的方向上控制的目的。

1 問(wèn)題描述及建模

平面彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。圖1中，q為視線角，r為彈目相對(duì)距離，a，v，γ分別為加速度、速度和航向角，下標(biāo)m和t分別對(duì)應(yīng)導(dǎo)彈和目標(biāo)的狀態(tài)。本文中變量均為標(biāo)量。

圖1 平面彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

建立平面彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分方程，即

(1)

式(1)中，假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)具有一階控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，τm和τt分別為相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)，umc和utc分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的控制指令。

可控流量的發(fā)動(dòng)機(jī)，如沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)、渦噴發(fā)動(dòng)機(jī)等模型復(fù)雜，都涉及到對(duì)大氣模型、進(jìn)氣道、燃燒室和尾噴管等的建模。從制導(dǎo)控制的角度上只需了解發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，發(fā)動(dòng)機(jī)流量的控制則表現(xiàn)為推力的可控，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈飛行速度的可控。為了避免對(duì)導(dǎo)彈發(fā)動(dòng)機(jī)的復(fù)雜建模，僅考慮從速度大小控制的角度進(jìn)行制導(dǎo)律的研究，相應(yīng)的發(fā)動(dòng)機(jī)工作模式簡(jiǎn)化為軸向加速度大小的調(diào)節(jié)，這種方法從發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)部控制和全彈控制能量?jī)?yōu)化的角度并不是最優(yōu)的，但適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，特別是將發(fā)動(dòng)機(jī)當(dāng)作“黑盒”來(lái)對(duì)待，卻可以簡(jiǎn)化制導(dǎo)控制方法的設(shè)計(jì)。導(dǎo)彈的飛行速度可控，則可建模為

(2)

式中，amx表示用于飛行速度大小控制的加速度量，假設(shè)其具有時(shí)間常數(shù)為τmx的一階控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，相應(yīng)的控制量為umxc。受限于發(fā)動(dòng)機(jī)的推力特性和空氣阻力，amx總是有界的。

2 制導(dǎo)律推導(dǎo)

2.1 修正的比例導(dǎo)引

比例導(dǎo)引是應(yīng)用最廣泛的制導(dǎo)律形式，在接近速度為負(fù)的情況下，總是控制導(dǎo)彈向著視線角速度降低的方向運(yùn)動(dòng)，力圖構(gòu)建導(dǎo)彈-目標(biāo)-命中點(diǎn)的碰撞三角形，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的毀傷。本文以式(3)形式的比例導(dǎo)引為基礎(chǔ)進(jìn)行制導(dǎo)律的進(jìn)一步設(shè)計(jì)，即

(3)

N=Kvmcos(γm-q)

(4)

比例導(dǎo)引具有廣泛的衍生形式，典型形式包括擴(kuò)展比例導(dǎo)引、最優(yōu)制導(dǎo)律和微分對(duì)策制導(dǎo)律[4,8-9]。這些典型形式都包括一個(gè)比例導(dǎo)引部分或與視線角速度相關(guān)的部分，而由于考慮了目標(biāo)的機(jī)動(dòng)，導(dǎo)彈和目標(biāo)的控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性等，具有了不同的瞬時(shí)脫靶量組成形式。一般都可以寫(xiě)成

(5)

由式(1)可得[10]

(6)

為了改善彈道特性，減少需用過(guò)載，改變需用過(guò)載的分布，可通過(guò)增加修正項(xiàng)的形式對(duì)比例導(dǎo)引律進(jìn)行修正。取修正比例導(dǎo)引律的控制形式為

(7)

式中，變量x表示比例導(dǎo)引律的修正項(xiàng)。

考慮修正項(xiàng)x的影響，由式(1)和式(6)，并取t=tf，可得

(8)

修正項(xiàng)x的設(shè)計(jì)目的為命中時(shí)刻的過(guò)載為零，則由式(1)中第4式并經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)，可以得到

(9)

則式(7)可以進(jìn)一步改寫(xiě)為

(10)

結(jié)合式(5)，修正后的比例導(dǎo)引對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)脫靶量為

(11)

2.2 速度控制的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律

本文在式(11)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用自適應(yīng)滑?？刂品椒╗11-13]，進(jìn)行導(dǎo)彈速度控制指令umxc的設(shè)計(jì)。所定義的滑模面s為

(12)

對(duì)s進(jìn)行求導(dǎo)，并進(jìn)一步整理，可以得到

(13)

式中

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

假設(shè)與目標(biāo)相關(guān)的不確定項(xiàng)Δ是有界的，|Δ|≤ν，其中ν為邊界值。

(19)

(20)

(21)

相應(yīng)的自適應(yīng)律為

(22)

定義Lyapunov函數(shù)為

(23)

對(duì)式(23)兩邊求導(dǎo)并代入式(6)，經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)后可得

(24)

參數(shù)κ決定了系統(tǒng)趨近滑模面的速度，選取

(25)

式中，κ4為設(shè)計(jì)參數(shù)。隨著彈目相對(duì)距離r不斷減小，κ逐漸增大，一定程度上可緩解視線角速度發(fā)散的影響，并削弱控制上的抖振。

3 仿真及分析

導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中，會(huì)受到空氣阻力的影響，如果發(fā)動(dòng)機(jī)推力大于阻力，會(huì)加速，反之，則會(huì)減速。相應(yīng)地，通過(guò)推力的調(diào)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行速度的控制。仿真中對(duì)這一過(guò)程進(jìn)行了模擬，假設(shè)空氣阻力為常值，取為-0.5g。

式(10)所示的修正比例導(dǎo)引律以命中時(shí)刻的過(guò)載為零為目標(biāo)，采用mPN(modified PN)表示，涉及的參量η由導(dǎo)彈的軸向加速度amx，以及目標(biāo)的飛行速度vt、航向角γt及相應(yīng)的變化率等構(gòu)成。仿真中，采用對(duì)應(yīng)amx的控制量umx抵消空氣阻力帶來(lái)的速度的下降，保持飛行速度的穩(wěn)定。假設(shè)在閉合mPN計(jì)算中涉及的目標(biāo)參數(shù)都是已知的，而ASM在mPN的基礎(chǔ)上，不需要知道空氣阻力的大小，根據(jù)瞬時(shí)脫靶量，進(jìn)行飛行速度的主動(dòng)控制。

采用所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律ASM，修正的比例導(dǎo)引律mPN和比例導(dǎo)引PN進(jìn)行仿真對(duì)比和分析。仿真中，取導(dǎo)彈和目標(biāo)的初值位置分別為(0,0)和(3000,4000)，單位為m，導(dǎo)彈的初速度為300 m/s，初始航向80°，目標(biāo)的飛行速度取為常值200 m/s，初始航向?yàn)?35°，并以3g的常值機(jī)動(dòng)進(jìn)行規(guī)避逃逸。導(dǎo)彈的一階控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)和速度控制一階響應(yīng)延遲時(shí)間常數(shù)分別為0.2 s和0.5 s，目標(biāo)的一階控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)為0.3 s。對(duì)于ASM，κ1=2，速度控制的加速度邊界值為1g，3種制導(dǎo)律的比例系數(shù)K=4，導(dǎo)彈最大加速度6g。仿真結(jié)果如圖2～7所示。

圖2為3種制導(dǎo)律對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈飛行彈道，從圖中可以看出PN對(duì)應(yīng)的彈道最為彎曲，mPN和ASM由于采用了導(dǎo)彈飛行速度的控制，彈道則較為平直且較為接近，相應(yīng)的導(dǎo)彈速度控制的加速度amx和飛行速度vm分別如圖3和圖4所示。

圖2 飛行彈道Fig.2 Flight trajectory

圖3 導(dǎo)彈的速度控制量Fig.3 Velocity control value of the missile

圖4 導(dǎo)彈的飛行速度Fig.4 Flight velocity of the missile

對(duì)于mPN，為保證飛行速度穩(wěn)定，amx的穩(wěn)態(tài)值與空氣阻力的大小相等，vm基本保持不變，而對(duì)于ASM，存在一個(gè)加速后減速到再次加速的過(guò)程，如圖3和圖4所示，通過(guò)該過(guò)程，并有效利用空氣阻力的影響，ASM對(duì)應(yīng)的彈道曲率是最小的。3種制導(dǎo)律對(duì)應(yīng)的橫向加速度和視線角速度分別如圖5和圖6所示。從圖5中可以看出，PN對(duì)應(yīng)的加速度最大，且越接近尾端，受目標(biāo)機(jī)動(dòng)的影響越大，對(duì)過(guò)載的需求也越大;而mPN采用了命中時(shí)刻的過(guò)載為零的修正，全彈道的加速度都較小;ASM在mPN的基礎(chǔ)上進(jìn)行了飛行速度的主動(dòng)控制，全彈道的加速度同樣較小，且小于mPN。在該加速度控制下，PN和mPN的脫靶量分別為0.279 m和0.059 6 m，而ASM的脫靶量趨近于零。圖7為ASM對(duì)應(yīng)的滑模面s的變化曲線，受限于速度控制量umxc總是非負(fù)的限制，導(dǎo)彈在前端的加速段，s很快收斂到零，而在利用空氣阻力的減速過(guò)程中，umxc=0，s逐漸偏離零值，在尾端再次進(jìn)入加速段后，s又收斂到零值附近。

圖5 導(dǎo)彈的橫向控制量Fig.5 Lateral control value of the missile

圖6 視線角速度Fig.6 Line of sight rate

圖7 滑模面Fig.7 Sliding mode surface

4 結(jié)論

針對(duì)一類(lèi)飛行速度可控的導(dǎo)彈，利用增加的軸向控制自由度，提出了一種速度可控的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律在末端過(guò)載為零的修正比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上，通過(guò)瞬時(shí)脫靶量的分析選取適當(dāng)?shù)幕Ｃ?，并采用自適應(yīng)滑模控制方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果對(duì)比表明，所設(shè)計(jì)的修正比例導(dǎo)引+飛行速度控制的雙重控制自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律可以獲得更加平直的彈道，且過(guò)載需求更小，自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律達(dá)到了假設(shè)阻力已知情況下并保持飛行穩(wěn)定的修正的比例導(dǎo)引的制導(dǎo)性能，且具有一定的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也說(shuō)明，對(duì)于飛行速度可調(diào)的導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)飛行速度的穩(wěn)定也是改善制導(dǎo)性能的有效手段。