李 惠， 鄭柏超,2， 吳躍文

(1.南京信息工程大學自動化學院，南京 210000； 2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術協同創(chuàng)新中心，南京 210000)

0 引言

混沌系統可以看作是拓撲混合、周期軌道密集、對初始條件敏感的非線性動力系統。當一個混沌系統驅動另一個混沌系統或兩個以上的混沌系統耦合時，混沌系統會存在同步現象。目前，混沌系統中的同步現象因其廣泛的應用而受到研究者的關注，如在物理學、生物科學、保密通信等多個重要發(fā)展領域具有廣闊的應用前景[1-2]。在實際應用中，各種不確定因素都會對系統產生干擾，在非線性耦合、時滯、不確定性和干擾的情況下，人們做了大量的工作來實現同步[3-4]。大部分文獻是基于連續(xù)或離散模型描述混沌系統，少有研究成果將兩者統一起來進行研究[5-8]。文獻[5]提出了連續(xù)時間線性穩(wěn)定系統跟蹤任意混沌系統實現混沌化的一般方法；文獻[6]基于一種連續(xù)混沌系統，提出了一種自適應同步控制規(guī)則；文獻[7]針對一類帶有執(zhí)行器故障、非線性時滯及外部干擾的主從混沌系統之間的同步控制問題進行研究；文獻[8]針對一類離散時間混沌系統提出了一種基于有限時間觀測器的同步方法。

Delta算子是連續(xù)系統和離散系統的統一描述形式，它可以有效地將離散時間和連續(xù)時間系統的描述統一起來[9]。近年來，Delta算子系統的理論發(fā)展迅速，在高速信號處理、寬帶通信和數字采樣控制等領域取得了許多成果[10-11]。文獻[12]研究了Delta算子系統下的網絡控制故障檢測問題；文獻[13]利用Delta算子系統來描述一類非線性系統，在此基礎上研究故障診斷的方法。

滑?？刂剖且环N先進的非線性控制策略，具有響應速度快、對系統內部參數攝動和外部干擾具有強魯棒性的特點[14-15]。因此，利用滑?？刂蒲芯緿elta算子系統的穩(wěn)定性有著一定的優(yōu)勢，如文獻[16-17]都是針對Delta算子系統與滑模控制相結合的問題研究。

與文獻[5-8]中僅單一考慮連續(xù)模型或者離散模型的混沌系統設計相比較，針對由N個子系統耦合而成的非線性混沌系統，建立能同時考慮連續(xù)模型與離散模型情況的Delta算子框架下的統一模型。此外，針對上述模型提出同步誤差系統的滑模控制設計方法，保證同步誤差系統狀態(tài)不受子系統間傳輸故障、網絡惡化等的不利影響，能在有限時間內到達滑模面，最終實現魯棒滑模同步控制。經過理論推導和仿真驗證，本文建立的模型以及提出的控制方法能有效實現在含有DoS攻擊和網絡故障因素影響下非線性耦合混沌系統的同步，表明了該方法的可行性和有效性，具有重要的理論意義和應用價值。

1 Delta算子框架下非線性耦合混沌系統描述

建立Delta算子框架下非線性耦合混沌系統模型為

(1)

式中：xi(t)∈Rn，表示第i個子系統的狀態(tài)向量；B∈Rn×m，表示系統的輸入矩陣；φi j>0，表示常數拓撲加權參數，是第i個子系統和第j個子系統之間的耦合強度；網絡連接是否正常是DoS攻擊下對網絡性能的基本評估，用ρi j來表示，ρi j=1，表示第i個子系統和第j個子系統之間有正常的網絡連接，ρi j=0，表示無網絡連接，ρi j=-1，表示第i個子系統和第j個子系統之間的連接是惡化的；h(xj(t)),h(xi(t))表示所發(fā)生的網絡故障；ui(t)∈Rm，表示控制輸入。δx(t)為Delta算子，它是一種新的離散化方法，其定義為

(2)

式中，Δ為采樣周期常數，Δ=0，表示連續(xù)系統，Δ≠0，表示離散系統，這兩類系統在Delta算子中被聯系并統一起來。

當Δ=0時，系統轉化為

(3)

文獻[18]提出的系統模型就是由N個耦合子系統組成的非線性耦合混沌系統，如式(3)所示。

當Δ=1時，系統轉化為離散形式的混沌系統，即

(4)

(5)

(6)

(7)

所以式(1)可以寫成

(8)

考慮f(xi(t))=Axi(t)+Bgi，其中，A∈Rn×n，gi∈Rm×1，都是已知的常值矩陣，將其代入式(8)得

δxi(t)=Axi(t)+Bgi+Bui(t)+

(9)

假設存在一個孤立的網絡系統，記為w(t),滿足

δw(t)=f(w(t),t)=Aw(t)+Bgw

(10)

式中：w(t)可以表示相空間中的混沌軌道、平衡點或周期軌道；gw∈Rm×1,為常值矩陣。記混沌系統的同步誤差ei(t)=xi(t)-w(t),可得Delta算子框架下的同步誤差方程為

δei(t)=δxi(t)-δw(t)

(11)

整理得

(12)

得到式(12)同步誤差系統狀態(tài)方程為

(13)

式中：δei1(t)∈Rn-m；δei2(t)∈Rm；A11(t)∈R(n-m)×(n-m)；A12(t)∈R(n-m)×m；A21(t)∈Rm×(n-m)；A22(t)∈Rm×m;B2∈Rm×m。

假設1 (A,B)可控，Rank(B)=m

假設2 外部干擾di(t)有界，即存在D>0，使得||di(t)||

引理1[17]對于一個Delta算子系統來說，其狀態(tài)量為x(t)。如果存在正定函數V(t)，對于任意x(t)不等式滿足

(14)

那么，系統的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的。

引理2[19]對于任何時間函數x(t)和y(t)，Delta算子滿足

δ(x(t)y(t))=δ(x(t))y(t)+x(t)δ(y(t))+
Δδ(x(t))δ(y(t))

(15)

考慮在DoS攻擊、網絡故障以及非線性耦合的影響下，對Delta算子框架下非線性耦合混沌系統進行研究。設計合適控制器，實現非線性耦合混沌系統的漸近同步，其系統結構框圖見圖1。

圖1 系統結構框圖Fig.1 Block diagram of system structure

2 滑?？刂扑惴ㄔO計

針對Delta算子框架下非線性耦合混沌系統，考慮其在DoS攻擊、網絡故障以及非線性耦合等因素影響下的滑?？刂圃O計。首先設計切換函數，保證同步誤差系統狀態(tài)在滑模面上能夠漸近穩(wěn)定，然后設計滑?？刂坡桑沟猛秸`差系統狀態(tài)能夠在有限時間內到達滑模面并收斂到原點附近，最終實現魯棒滑模同步的控制目標。

2.1 線性滑模面設計

針對式(12)同步誤差系統，取線性滑模切換函數為

(16)

式中：C=(C1C2)，C1∈Rm×(n-m)，C2∈Rm×m，且可逆；ei(t)=(ei1(t)ei2(t))T，ei1(t)∈R(n-m)×(n-m)，ei2(t)∈Rm×(n-m)，得

C1ei1(t)+C2ei2(t)=0

(17)

(18)

定理1對于給定的采樣周期常數Δ>0，存在正定矩陣X∈R(n-m)×(n-m)與W∈R(n-m)×(n-m)，一般矩陣Y∈Rm×(n-m)，使線性矩陣不等式

(19)

成立，則式(18)同步誤差降階系統是穩(wěn)定的。式中：He(X)=X+XT；符號*表示對稱塊矩陣中的對稱項，選擇合適的C2，求得σi(t)=(C2YX-1C2)ei(t)。

證明過程如下。

(20)

式中,P為正定矩陣。

由引理1知，系統同步的條件是

(21)

將式(20)代入式(21)，化簡得到

(22)

另外

(23)

(24)

(25)

(26)

2.2 控制律設計

為使同步誤差系統到達滑模面，設計如下控制律

ui(t)=-(CB)-1(CAei(t)+
(||

CB||

D+εi)sgnσi(t))

(27)

式中：矩陣CB是可逆的；D是已知的正常數，且||

di(t)||

≤D；εi為給定的正常數。

定理2對于滿足假設1和假設2條件的Delta算子同步誤差系統式(12)，采用式(27)表示的控制律，能夠保證同步誤差系統在有限時間內到達滑模面并收斂到原點附近，最終實現同步。

證明過程如下。

(28)

由引理1可以得到系統穩(wěn)定條件為

(29)

對滑模面函數σi(t)求Delta運算可得

δ(σi(t))=Cδ(ei(t))=C(Aei(t)+Bui(t)+Bdi(t))。

(30)

將式(27)代入式(30)，可得

δ(σi(t))=CBdi(t)-(||

CB||

D+εi)sgnσi(t)。

(31)

結合式(28)和式(31)，可得

(32)

其中，||di(t)||≤D，可得

(33)

3 實例仿真

考慮常見的混沌系統描述[18]，其在連續(xù)時間框架下描述為

(34)

式(34)可以表示為緊湊形式的狀態(tài)空間模型，即

(35)

根據文獻[19]可以得到相應的Delta算子系統，進一步系統可表示為

δx(t)=Aδx(t)+Bδg+Bδu+

(36)

圖2 3個子系統和單個網絡系統的混沌吸引子映射Fig.2 Chaotic attractor mapping of three subsystems and a single network system

針對Delta算子框架下的非線性耦合混沌系統，結合式(10)網絡系統，可得同步誤差系統為

(37)

當控制設計忽略了子系統間的非線性耦合、網絡故障以及DoS攻擊現象時，選取D=5，εi=1,i=1,2,3時，利用Matlab-Simulink進行仿真，結果如圖3～5所示。

圖3 混沌系統同步誤差曲線(D=5)Fig.3 Synchronization error curves of chaotic system(D=5)

圖4 切換函數響應曲線(D=5)Fig.4 Response curves of switching function(D=5)

圖5 控制律響應曲線(D=5)Fig.5 Response curves of control law(D=5)

當考慮子系統間的非線性耦合、網絡故障以及DoS攻擊時，選取D=20，εi=1,i=1,2,3時，利用Matlab-Simulink進行仿真，結果如圖6～8所示。

圖6 混沌系統同步誤差曲線(D=20)Fig.6 Synchronization error curves of chaotic system(D=20)

圖7 切換函數響應曲線(D=20)Fig.7 Response curves of switching function(D=20)

圖8 控制律響應曲線(D=20)Fig.8 Response curves of control law(D=20)

在D=20的情況下，混沌同步誤差曲線、切換函數曲線以及控制律曲線運動軌跡漸近收斂至原點，保持穩(wěn)定。將圖3～5和圖6～8進行對比，后者收斂到原點的速度明顯快于前者，趨近時間較短，到達原點穩(wěn)定性更好。

上面兩組數據情況的仿真效果對比表明，在Delta算子框架下設計的控制算法能夠有效克服DoS攻擊和網絡故障等的影響，實現混沌系統的同步，充分驗證了利用Delta算子方法來實現混沌系統同步的有效性和優(yōu)越性。

4 結論

基于Delta算子理論，針對一類含DoS攻擊和網絡故障的非線性混沌系統，研究了魯棒滑模同步控制問題。首先,針對由N個耦合子系統組成的非線性耦合混沌系統，建立Delta算子框架下的統一模型；其次,結合李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式技術，給出Delta算子框架下非線性混沌系統的滑模面及到達控制律的設計方法；最后，以包含3個子系統的Delta算子框架下非線性混沌同步誤差系統為例，成功地實現了非線性混沌同步誤差系統的漸近同步。仿真結果表明了所提方法的可行性和有效性。