周 成，馬叢珊，應(yīng) 濤，滿 欣

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院 武漢 430033)

無(wú)源定位由于具有探測(cè)距離遠(yuǎn)、隱蔽性好等優(yōu)點(diǎn)，在雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航和無(wú)線通信網(wǎng)中有著廣泛的應(yīng)用[1-4]。當(dāng)利用多個(gè)運(yùn)動(dòng)接收站對(duì)靜止目標(biāo)定位時(shí)，通常通過(guò)提取目標(biāo)輻射源信號(hào)的時(shí)差參數(shù)信息進(jìn)行定位。但當(dāng)目標(biāo)輻射的是窄帶通信信號(hào)時(shí)，時(shí)差測(cè)量誤差將會(huì)很大甚至無(wú)法測(cè)量，而由接收站與目標(biāo)輻射源之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒頻移信息卻可以精確測(cè)量[5]。因此，多普勒頻移定位有著時(shí)差定 位所不具備的優(yōu)點(diǎn)，逐步發(fā)展成為無(wú)源定位中重要的技術(shù)之一[6]。

然而，由于多普勒頻移定位方程具有很強(qiáng)的非線性，對(duì)目標(biāo)位置的求解仍然是當(dāng)前的研究難點(diǎn)。文獻(xiàn)[7-8]最先采用窮舉法，對(duì)該非線性定位問(wèn)題進(jìn)行求解，目標(biāo)定位的精度隨著步進(jìn)值的減小而提高，但這將不可避免地產(chǎn)生巨大的計(jì)算量，使得此方法很難實(shí)現(xiàn)。隨后，大量研究把各個(gè)接收站測(cè)得的多普勒頻移進(jìn)行差分處理，利用到達(dá)頻差信息進(jìn)行定位[9-11]，分別提出了基于搜索法[12]、迭代法[13-14]和解析法[15]的目標(biāo)定位。但上述方法在求解目標(biāo)位置的過(guò)程中，不同參考站的選擇將影響定位精度，在實(shí)際定位中需根據(jù)目標(biāo)的位置合理選擇參考站，增大了定位算法的復(fù)雜性[16]。文獻(xiàn)[17]提出了一種基于多普勒頻移的多站無(wú)源定位算法，此方法無(wú)需選擇參考站，具有解析解的形式。但沒(méi)有深入分析定位精度以及載頻估計(jì)誤差對(duì)定位精度的影響。

在非合作的無(wú)源定位環(huán)境下，目標(biāo)輻射源發(fā)射信號(hào)的載波頻率通常無(wú)法準(zhǔn)確獲取，利用多普勒頻移進(jìn)行定位不可避免將存在載頻估計(jì)誤差。在考慮載頻估計(jì)誤差的情況下，本文對(duì)基于多普勒頻移定位的性能進(jìn)行了理論分析，推導(dǎo)出其克拉美羅界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)；同時(shí)，提出了在此情況下的一種解析解算法，并計(jì)算出其理論上的均方誤差值(mean square error, MSE)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，證明了此算法理論上的MSE 值與CRLB 值一致，并驗(yàn)證了本文方法相較于文獻(xiàn)[17]中的算法具有更強(qiáng)的魯棒性和更高的定位精度。

1 定位模型

假設(shè)有一位置未知的目標(biāo)輻射源位于uo=[xo,yo]T∈R2，其發(fā)射信號(hào)的載波頻率為。發(fā)射的信號(hào)被分布在多個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)接收站截獲，各個(gè)接收站的位置和速度分別為so=[]T∈R2和=[]T∈R2，i=1,2,···,M。每個(gè)接收站截獲的目標(biāo)輻射源信號(hào)的頻率估計(jì)值為：

式中，c表示信號(hào)傳播的速度；ei表示信號(hào)頻率測(cè)量的估計(jì)誤差。將M個(gè)接收站測(cè)得的目標(biāo)輻射源信號(hào)頻率聯(lián)立得到一個(gè)向量：

式中，fo表 示頻率測(cè)量的真實(shí)值；e為 頻率測(cè)量誤差向量。由于在頻率測(cè)量過(guò)程中會(huì)受到接收機(jī)內(nèi)部熱噪聲、測(cè)量精度等因素影響，故假設(shè)e呈均值為0、協(xié)方差為Qe的高斯分布。

在該定位模型下，無(wú)源定位的目標(biāo)是在給定M個(gè)頻率測(cè)量值，并結(jié)合目標(biāo)輻射源信號(hào)載波頻率經(jīng)驗(yàn)值fc以 及接收站的位置so和 速度信息，在存在頻率測(cè)量誤差和載頻估計(jì)誤差的情況下，計(jì)算出目標(biāo)位置uo。

2 CRLB

CRLB 是任一無(wú)偏估計(jì)值所能達(dá)到的最小方差界，反映了算法的優(yōu)劣。在此，先對(duì)存在目標(biāo)輻射源信號(hào)載頻估計(jì)誤差情況下的CRLB 進(jìn)行推導(dǎo)，然后再將其與無(wú)誤差情況下的CRLB 進(jìn)行對(duì)比，分析存在該誤差情況下，定位精度的惡化程度。

在定位過(guò)程中，待求量為uo，觀測(cè)量為α=[fT,fc]T。由于接收站無(wú)法準(zhǔn)確獲知目標(biāo)輻射源的載頻，因此，定位時(shí)的未知量為Φo=[uoT,]T。假設(shè)f和fc均服從高斯分布，且兩者之間互相獨(dú)立，可以得到：

式中，k是常數(shù)；fo是 關(guān)于目標(biāo)位置uo的函數(shù)。將lnf(α;Φo) 對(duì) Φo進(jìn)行兩次求導(dǎo)，隨后對(duì)其求期望、取逆、求相反數(shù)，可以得到CRLB 的表達(dá)式：

式中，

其中

通過(guò)調(diào)用分塊矩陣反演公式[18]，可得目標(biāo)位置估計(jì)的CRLB 為：

式中，X?1表示不存在載波頻率估計(jì)誤差情況下對(duì)目標(biāo)輻射源定位的CRLB；第二項(xiàng)表示的是受?fc的影響產(chǎn)生的目標(biāo)定位性能惡化程度。

下面針對(duì)載波頻率估計(jì)誤差對(duì)目標(biāo)定位CRLB的影響進(jìn)行仿真分析。由于CRLB 不僅與頻率測(cè)量誤差e和 載波估計(jì)誤差 ?fc有關(guān)，還與目標(biāo)與接收站之間的相對(duì)位置，即定位配置緊密相關(guān)。本文重點(diǎn)考察載波估計(jì)誤差對(duì)CRLB 的影響，因此，設(shè)置測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣為某一固定值。同時(shí)，利用隨機(jī)產(chǎn)生多組定位配置取平均的方法，降低特定的定位配置對(duì)CRLB 的影響[19-20]。具體仿真環(huán)境如下：隨機(jī)生成10 組定位配置，目標(biāo)分布在4×4 km2的矩形范圍內(nèi)，7 個(gè)接收站分布在1.5×1.5 km2的矩形范圍內(nèi)，使得目標(biāo)出現(xiàn)位置包括了處于各接收站之中和之外兩種情況，進(jìn)一步降低特定配置對(duì)CRLB 的影響。為了避免不合理的布站影響定位精度，規(guī)定任意兩接收站之間的距離不小于150 m，接收站的速度在0～100 m/s 之間360°范圍內(nèi)隨機(jī)分布。目標(biāo)輻射源發(fā)射信號(hào)的載波頻率=2 GHz ，信號(hào)的傳播速度為c=3×108m/s，接收站測(cè)量頻率的協(xié)方差為Qe=0.0012IM，其中IM是M×M的單位矩陣。載頻估計(jì)誤差的變化范圍為?100～0 dB。

圖1 存在載頻估計(jì)誤差與無(wú)載頻估計(jì)誤差的CRLB 比較

從仿真中可以看出，當(dāng)載頻估計(jì)誤差增大到一定程度以后，將會(huì)對(duì)目標(biāo)定位性能造成至少1.5 dB的惡化。因此，為了獲得更好的目標(biāo)定位效果，在定位過(guò)程中，需要考慮載頻估計(jì)誤差對(duì)目標(biāo)定位精度的影響。

3 算法推導(dǎo)與性能分析

3.1 定位算法推導(dǎo)

式中， εi為誤差項(xiàng)，其值為：

令di=c(fi?fc)/fc，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，式(14)可改寫(xiě)為：

對(duì)式(16)兩邊平方，忽略高階誤差項(xiàng)，整理得：

將M個(gè)接收站的測(cè)量結(jié)果表示成矩陣形式，得：

式中， φo=[uoT,xo2,yo2,xoyo]T是待求的未知量；A

對(duì)式(18)進(jìn)行求解，得到 φo的加權(quán)最小二乘估計(jì)值為：W=B?TE[εεT]?1B?1=B?TB?1

式中， 。其協(xié)方差矩陣為：

在計(jì)算估計(jì)值 φ的過(guò)程中，誤差項(xiàng)系數(shù)B與目標(biāo)位置有關(guān)，而這是未知的。因此，本文采用與文獻(xiàn)[21]相同的方法，先假設(shè)W=I，代入式(20)求解出目標(biāo)位置的粗略估計(jì)，再利用其計(jì)算B，重新求解式(20)，求得φ值。

觀察 φo=[uoT,xo2,yo2,xoyo]T可知，其中不僅含有目標(biāo)的位置uo， 還含有目標(biāo)位置的二階項(xiàng)xo2、yo2、xoyo。它們之間存在如下關(guān)系：

考慮到式(20)所得的加權(quán)最小二乘估計(jì)誤差，有 φ =φo+?φ，將其代入式(22)、式(23)和式(24)，忽略掉高階誤差項(xiàng)，有：

式中，

對(duì)式(29)進(jìn)行求解，加權(quán)最小二乘估計(jì)為：

式中，

3.2 定位性能分析

下面分析目標(biāo)定位估計(jì)值u的無(wú)偏性并計(jì)算其MSE 值。從式(31)可知，目標(biāo)定位估計(jì)值由矩陣D、G以及 φ確 定。先分析估計(jì)值 φ的無(wú)偏性。結(jié)合式(18)和式(20)，可得：

式中，矩陣A為常數(shù)項(xiàng)；假設(shè)矩陣W和B中的誤差足夠小，可以忽略，并利用 ε =b?fc+e，且載頻估計(jì)誤差 ?fc和 頻率測(cè)量誤差e都是均值為0 的高斯變量。因此，估計(jì)值φ 是 對(duì) φo的無(wú)偏估計(jì)。

同樣地，計(jì)算u的無(wú)偏性。結(jié)合式(29)和式(31)，可得：

由式(34)可知，u是 對(duì)uo的無(wú)偏估計(jì)。

下面計(jì)算u的協(xié)方差。結(jié)合式(32)和式(34)，可得：

u的 MSE 值為協(xié)方差矩陣 c ov(u)的對(duì)角線元素求和，表示了該估計(jì)結(jié)果偏離目標(biāo)真實(shí)位置的均方差值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)本文算法的有效性，將本文算法與文獻(xiàn)[17]算法進(jìn)行比較，此算法未考慮載頻估計(jì)誤差對(duì)定位精度的影響。仿真環(huán)境的設(shè)置與CRLB 部分相同。采用10 組定位配置，每組定位配置下進(jìn)行1 000 次蒙特卡洛仿真。用目標(biāo)定位MSE 值來(lái)衡量定位性能，定義為：

圖2 不同算法的定位性能仿真

從圖2 可以看出，由目標(biāo)估計(jì)的理論MSE 值與CRLB 值基本一致，說(shuō)明在小噪聲的假設(shè)條件下，本算法的定位精度能夠達(dá)到CRLB。當(dāng)10lg≤?70 dB時(shí)，本文算法與文獻(xiàn)[17]算法都達(dá)到了CRLB，說(shuō)明在載頻估計(jì)誤差較小時(shí)，兩種方法都能夠達(dá)到最優(yōu)的定位性能。當(dāng)10lg>?70 dB時(shí)，文獻(xiàn)[17]算法開(kāi)始迅速偏離CRLB，直到10lg>?30 dB，即當(dāng)載頻估計(jì)誤差的方差增大10 000 倍時(shí)，本文算法才開(kāi)始偏離CRLB 和理論誤差值，且偏離的程度遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[17]算法，說(shuō)明：

1) 在存在一定的載頻估計(jì)誤差時(shí)，即使該影響因素對(duì)于CRLB 的影響只有大約1.5 dB，但是，若在定位過(guò)程中忽略該影響因素，那么定位的結(jié)果會(huì)急劇惡化，當(dāng)1 0lg=?30 dB時(shí)，文獻(xiàn)[17]算法偏離CRLB 高于30 dB；

2) 在定位過(guò)程中，本文算法合理地考慮了載頻估計(jì)誤差的影響，其較文獻(xiàn)[17]算法推遲了將近40 dB 才開(kāi)始偏離CRLB，證明本文算法在存在載頻估計(jì)誤差時(shí)，具有較強(qiáng)的魯棒性，定位性能較好。

3) 理論MSE 值是在小噪聲條件下得到的，即當(dāng)10lg>?30 dB時(shí)，小噪聲條件已經(jīng)無(wú)法滿足，式(35)的結(jié)果需要進(jìn)行修正，此時(shí)，需要進(jìn)一步考慮高階誤差量，以提升定位精度。

5 結(jié) 束 語(yǔ)

在非合作的環(huán)境下，目標(biāo)輻射源信號(hào)的載頻并不是精確已知的，在利用多普勒頻移參數(shù)進(jìn)行無(wú)源定位時(shí)，載頻估計(jì)誤差不可避免。本文首先推導(dǎo)了載頻估計(jì)誤差對(duì)CRLB 的影響；隨后，構(gòu)建了在存在載頻估計(jì)誤差下的基于多普勒頻移的無(wú)源定位模型，提出了一種考慮載頻估計(jì)誤差的多普勒頻移無(wú)源定位算法，此算法具有解析解的形式，無(wú)需迭代，計(jì)算簡(jiǎn)單；通過(guò)理論推導(dǎo)，得到了此算法理論上的MSE 值。最后仿真實(shí)驗(yàn)顯示載頻估計(jì)誤差會(huì)極大地惡化目標(biāo)的定位性能，本文算法相較于忽略載頻估計(jì)誤差的方法，具有較強(qiáng)的魯棒性，且定位精度較高。