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        一道雙根式和的最值問題與變式拓展

        2022-07-14 06:48:08杜海洋
        高中數(shù)學教與學 2022年11期
        關(guān)鍵詞:根式技術(shù)開發(fā)區(qū)柯西

        杜海洋

        (四川省成都經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學校,610100)

        一、問題及解答

        問題已知a,b,c為正實數(shù),求

        的最小值.

        這是數(shù)學通訊2021年第8期上半月征解問題506,是一道雙根式和的最值問題.筆者經(jīng)過深入探究,給出其解法和變式拓展,供大家學習交流.

        解法2由條件及柯西不等式和基本不等式,可得

        等號當且僅當c=2b=4a時成立,故M的最小值為8.

        二、變式拓展

        變式1已知a,b,c為正實數(shù),求

        的最小值.

        解由條件及基本不等式,可得

        變式2已知a,b,c為正實數(shù),求

        的最小值.

        解由條件及基本不等式,可得

        變式3已知a,b,c為正實數(shù),求

        的最小值.

        解由條件結(jié)合基本不等式,可得

        ≥5,

        等號當且僅當b2=ac,a=4c時成立.故M的最小值為5.

        變式4已知a,b,c為正實數(shù),求

        的最小值.

        解由條件及柯西不等式和基本不等式,同原問題解法2可得

        三、 推廣

        推廣1已知a,b,c為正實數(shù),則

        推廣2已知a,b,c為正實數(shù),則

        以上兩個推廣,有興趣的讀者可自行完成.

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