包軍先

(山東省煙臺第三中學，264000)

2021年新高考I卷第22題是一道導(dǎo)數(shù)壓軸題,屬于極值點偏移問題,主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以導(dǎo)數(shù)為工具構(gòu)造函數(shù)對不等式進行證明.考題的第(1)問是基礎(chǔ)題,考生一般沒有困難;第(2)問不等式證明是壓軸題,對考生基本技能要求高,求解過程中轉(zhuǎn)化難度較大、靈活性強.如果方法選擇不當,答題時容易出現(xiàn)花費時間多、化簡轉(zhuǎn)化不到位、甚至無法完成解答.本文主要對第(2)問從不同視角給出幾種常見的解法.

試題呈現(xiàn)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

解(1)函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)增,在(1,+∞)單調(diào)減.(過程略)

當x>1時,令f(x)>0,可得1

先證x1+x2>2,即證x2>2-x1.由于2-x1>1,x2>1,且f(x)在(1,+∞)單調(diào)減,只需證明f(x2)

再證x1+x2

視角1構(gòu)造差值函數(shù)證明

證法1要證x1+x2f(e-x1).又f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(e-x1).

所以x1∈(0,1)時,φ(x1)>0成立,即f(x1)>f(e-x1),亦即x1+x2

評注本解法的基本特點就是將待證不等式進行變形,使不等式兩邊變量落在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),進而構(gòu)造函數(shù)并通過函數(shù)值的大小關(guān)系比較出變量的大小關(guān)系.

視角2借助經(jīng)典不等式放縮證明

證法2同證法1的分析,即證f(x1)>f(e-x1),其中x1∈(0,1).

于是φ(x)>x(1-lnx)-x=-xlnx>0.

評注本解法通過切線不等式ln(x+1)≤x對問題進行放縮簡化的證明過程,解題效率較高.

視角3用放縮法化雙變量為單變量

證法3由x1∈(0,1),x2∈(1,e),f(x1)=f(x2),可知x2(1-lnx2)=x1(1-lnx1)>x1.要證明x1+x2

令φ(x)=x(1-lnx)+x,x∈(1,e),則φ′(x)=-lnx+1>0,φ(x)在(1,e)單調(diào)增,可得φ(x)<φ(e)=e.

評注化雙變量不等式為單變量不等式是證明雙變量不等式的永恒主題,放縮法也是一種減少變量的有效途徑.

視角4比值替換法減元構(gòu)造函數(shù)

證法4要證明x1+x21,且只需證明(1+t)x1

評注通過作比值(或作差)構(gòu)造出新的主元建立函數(shù)關(guān)系,也是解決雙變量不等式證明的重要方法.

視角5數(shù)形結(jié)合切線放縮法

證法5易求得曲線y=f(x)在x=e處的切線為y=-x+e.作f(x)=x(1-lnx)的圖象及切線y=-x+e如圖1.

設(shè)g(x)=f(x)-(-x+e)=2x-xlnx-e,則g′(x)=1-lnx,由此易見g(x) 在(0,e)單調(diào)增,在(e,+∞)單調(diào)減,從而有g(shù)(x)≤g(e)=0.所以f(x)≤-x+e恒成立.

由x2∈(1,e),可得f(x2)≤-x2+e.又f(x1)=f(x2),且x1∈(0,1),f(x1)=x1(1-lnx1)>x1,所以x1<-x2+e,即x1+x2

評注華羅庚教授曾說過“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”在不等式證明過程中,若能將問題用幾何直觀來描述,會給解決問題帶來重要思路.這需要特別關(guān)注那些重要的切線放縮不等式.

總之,運用導(dǎo)數(shù)證明雙變量不等式的基本思想是通過轉(zhuǎn)化、換元、放縮等手段將二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式來證明.

紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行!在此提供一道同類習題供讀者練習使用.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(2)設(shè)m,n為兩個不相等的正數(shù),且滿足mlnn-nlnm=m-n,證明:mn>e4.

參考解析(1)f(x)在(-∞,2)單調(diào)增,在(2,+∞)單調(diào)減;極大值f(2)=e-2,無極小值.(過程略)

不妨設(shè)x1=lnm,x2=lnn,x10,x1∈(1,2),x2∈

(2,+∞).要證mn>e4,只需證lnm+lnn>4,即x1+x2>4,即證x2>4-x1.因為4-x1∈(2,3),x2∈(2,+∞),且f(x)在(2,+∞)單調(diào)減,只需證f(x1)=f(x2)

綜上,得證.