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        一道圓錐曲線非對(duì)稱問題的多角度思考

        2022-07-14 06:46:24
        高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年11期
        關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)策略方法

        譚 輝

        (廣東省佛岡縣佛岡中學(xué), 511600)

        一、概述

        圓錐曲線作為高考必考核心內(nèi)容之一,筆者在授課過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生遇到圓錐曲線非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問題時(shí),往往覺得無從入手,很多時(shí)候便直接放棄,十分可惜.此類問題往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的匯合,具有一定的綜合性及難度,對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等能力要求較高.教學(xué)時(shí),教師應(yīng)結(jié)合“深度學(xué)習(xí)”的理論要求,把握解題的基本方法,引導(dǎo)學(xué)生逐層深入、積累模型,最終找到解決問題的本質(zhì).筆者通過對(duì)一道圓錐曲線非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問題的多角度切入求解,給出其適當(dāng)?shù)耐卣古c變式,以尋求探究圓錐曲線非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問題的一般性解決方法.

        二、問題呈現(xiàn)

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線l與E交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(0,1),且?MAF2的面積為?MBF2面積的2倍,求直線l的方程.

        評(píng)注代數(shù)式y(tǒng)1=-2y2為非對(duì)稱結(jié)構(gòu),需要通過適當(dāng)?shù)奶幚硎怪優(yōu)閷?duì)稱結(jié)構(gòu),下面就以此為例,給出此類y1=λy2(或x1=λx2)問題的幾種處理方法,并對(duì)其進(jìn)行拓展.

        三、解法探究

        策略1倒數(shù)求和法

        策略2配湊法

        由y1+λy2=0配湊,得λ(y1+y2)=(λ-1)y1,y1+y2=(1-λ)y2,兩式相乘,可得λ(y1+y2)2=-(λ-1)2y1y2,從而問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu).

        策略3方程組法

        該策略的實(shí)質(zhì)是借助方程思想,由非對(duì)稱式結(jié)合韋達(dá)定理,列方程組解答.

        四、方法拓展

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若S?OMF∶S?ONF=3:1,求直線l的方程.

        評(píng)注代數(shù)式3x2+x1=8為非對(duì)稱結(jié)構(gòu),可借鑒例1的方法進(jìn)行處理,進(jìn)而得到形如ax1+bx2+c=0(或ay1+by2+c=0)的一般性處理方法.

        策略1倒數(shù)求和法

        結(jié)合韋達(dá)定理,化簡(jiǎn)可得k2=1.所以直線的l方程為x±y-2=0.

        策略2配湊法

        由x1+λx2=c配湊,得

        兩式相乘即可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱結(jié)構(gòu).

        策略3方程組法

        五、變式研究

        六、結(jié)束語

        核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué),要求教師在教學(xué)過程中除了使學(xué)生掌握好知識(shí)與技能外,還要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.對(duì)于圓錐曲線中非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問題,作為高考題的一個(gè)難點(diǎn)問題,筆者牢牢抓住把“非對(duì)稱結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”這條主線,通過多種方法比較,來啟發(fā)學(xué)生以多角度、多層次去思考和體驗(yàn)解決問題的方法.因此,只要教師在教學(xué)過程中把握好問題的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境,通過恰當(dāng)?shù)睦雍驮O(shè)問,啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考與合作探究,使學(xué)生積累好一定的解題模型,學(xué)會(huì)合理轉(zhuǎn)化,相信學(xué)生定會(huì)掌握好這一知識(shí)難點(diǎn).

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