王 軍， 申永軍， 張建超， 王曉娜

(1.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043；2.河北軌道運輸職業(yè)技術學院 機電工程系，石家莊 050021)

關于系統(tǒng)產生混沌必要條件的問題，很多學者利用Melnikov方法對其進行了研究。如：牛玉俊等[1]利用Melnikov方法,研究了定點脈沖系統(tǒng)出現(xiàn)Smale馬蹄意義下混沌的必要條件，為定點脈沖系統(tǒng)的混沌研究提供了一種解析工具。李海濤等[2]利用Melnikov方法研究了三穩(wěn)態(tài)能量收集系統(tǒng)同宿分岔以及混沌動力學的定性研究方法，得到了發(fā)生同宿分岔的閾值曲線。沈曉娜等[3]通過研究非線性碰撞振動系統(tǒng)共存的光滑Melnikov函數(shù)和非光滑Melnikov函數(shù)，得到光滑同宿軌分叉和非光滑同宿軌分岔產生Smale馬蹄混沌的必要條件。李海濤等[4]利用Melnikov方法對非對稱勢能阱的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)進行研究得出了系統(tǒng)發(fā)生同宿分岔的閾值，研究結果將拓展非線性動力學的研究范疇，為實現(xiàn)混沌響應的調控提供一種策略。張紅麗等[5]利用Melnikov方法研究了一類帶有外激的非線性動力系統(tǒng)，得到當某些參數(shù)值取特定值時，平均方程的異宿軌破裂，這可能引起Smale馬蹄混沌。Wang等[6]利用Melnikov方法研究了準周期擾動下單壁碳納米管在參量激勵和外激勵下的共振行為，獲得了具有周期攝動近似系統(tǒng)的Smale馬蹄混沌的必要條件。劉彬等[7]利用Melnikov方法研究了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)，得到了液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。

還有一些文獻主要針對整數(shù)階 Duffing 振子產生混沌的問題進行研究。如：李航等[8]利用Melnikov方法對Duffing系統(tǒng)的主-超諧聯(lián)合共振系統(tǒng)進行全局分析，得到系統(tǒng)進入Smale馬蹄意義下混沌的條件。Wen等[9]用Melnikov方法研究了強迫激勵下的整數(shù)階Duffing振子在位移延遲反饋和速度延遲反饋下的異宿分岔和混沌，分析了產生混沌的必要條件。Sun等[10]利用Melnikov方法研究了在諧振激勵下具有延遲位移和速度反饋的整數(shù)階Duffing振蕩器的混沌行為，得出了同宿分岔產生混沌的必要條件。Shen等[11]基于Melnikov方法研究了在共振激勵下具有延遲位移和速度反饋的Duffing振蕩器的分叉和混沌行為，建立了Smale馬蹄鐵意義上混沌解析的必要條件。

針對分數(shù)階系統(tǒng)產生混沌問題的研究還比較少。Xing等[12]利用Melnikov方法分析了分數(shù)階導數(shù)欠諧波激勵下Duffing振子混沌運動的必要條件，建立了Smale馬蹄形意義上的混沌必要條件，然后得到了混沌閾值曲線。Nwagoum Tuwa等[13]利用 Melnikov 方法分析了分數(shù)階簡支非線性黏彈性板在參數(shù)和外部激勵作用下的混沌振動，提出了由同宿分叉引起的Smale馬蹄混沌現(xiàn)象的判據。Anague Tabejieu等[14]利用Melnikov方法分析了具有分數(shù)階黏彈性特性的階次對梁振幅的影響，得出了由異斜分叉引起的Smale馬蹄形混沌發(fā)生的必要條件。Liu等[15]利用Melnikov方法分析了具有分數(shù)階物理特性的壓電振動能量采集器(VEH)系統(tǒng)的混沌行為，得出了均方準則用于檢測該隨機系統(tǒng)混沌運動的必要條件。Chang等[16]利用Melnikov方法分析了具有分數(shù)階導數(shù)的非線性車輛懸架系統(tǒng)的混沌行為，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分項的系數(shù)和階數(shù)，剛度系數(shù)和系統(tǒng)的阻尼系數(shù)均會影響必要條件，并分別對這些參數(shù)的影響進行分析。

通過以上文獻可以看出，現(xiàn)有研究多偏重于整數(shù)階或單獨的分數(shù)階系統(tǒng)研究，關于分數(shù)階和分段系統(tǒng)耦合作用下系統(tǒng)產生混沌必要條件的研究還很少。在含有分數(shù)階的分段光滑系統(tǒng)中，由于分數(shù)階和分段光滑系統(tǒng)非線性的雙重影響使產生混沌現(xiàn)象的必要條件更加復雜。

本文基于Melnikov方法研究了分數(shù)階分段Duffing振子產生Smale馬蹄混沌現(xiàn)象的必要條件。本文的結構如下：在第1章中，基于Melnikov方法建立了系統(tǒng)同宿軌的Melnikov函數(shù)，并獲得了混沌的必要條件。在第2章中，通過數(shù)值仿真的方法對混沌必要條件進行了驗證，通過繪制系統(tǒng)的時間歷史，相圖和龐卡萊截面圖等驗證了解析結果的正確性。在第3章中，分析了分數(shù)階參數(shù)、分段參數(shù)等對混沌必要條件的影響。最后，對具體結論進行了總結和分析。

1 分數(shù)階分段Duffing系統(tǒng)的變換

研究如下分數(shù)階分段Duffing振子

(1)

(2)

關于分數(shù)階的定義有多種不同的形式，Caputo定義是最常用的形式之一。本章采用Caputo定義形式計算分數(shù)階導數(shù)如下

(3)

設式(1)存在周期解，即方程的一階穩(wěn)態(tài)解。采用平均法進行研究，假設式(1)滿足

x(t)=acosφ

(4)

式中，φ=ωt+θ。

當0

(5)

利用等價系數(shù)替換公式中的分數(shù)階項，一階近似等價整數(shù)階系統(tǒng)可得到如下表達式

(6)

式中:系統(tǒng)等價的阻尼系數(shù)為C1=c+cp;系統(tǒng)等價的剛度系數(shù)為K=k-kp。

2 等效整數(shù)階分段Duffing振子的混沌必要條件

令εC=C1，εF=F1，將式(6)轉換為狀態(tài)方程的形式

(7)

當ε=0時，可得到式(7)的未擾系統(tǒng)。由于式(7)為分段系統(tǒng)，因此其未擾系統(tǒng)也為分段形式

(8)

由式(8)可以得到未擾系統(tǒng)的Hamilton方程，系統(tǒng)的Hamilton方程也為分段形式

(9)

(1)α1≤0且α2≤0時，系統(tǒng)只有一個鞍點(0，0)；

第一種情況系統(tǒng)不存在同宿軌，第二種和第三種情況系統(tǒng)僅存在一條同宿軌，第四種情況系統(tǒng)存在兩條同宿軌，本文僅考慮第四種情況。

(10)

同樣，當M13時，未擾系統(tǒng)的同宿軌道為

(11)

依據Melnikov方法，得到非光滑系統(tǒng)同宿軌的Melnikov函數(shù)表達式為

(12)

(13)

將式(13)分為M1、M2兩個部分分別進行計算，首先對第一部分M1進行計算

(14)

由于式(14)包含四部分內容，因此把它們分別定義為M11、M12、M13和M14，分別進行積分，其中M11的詳細積分過程如下

(15)

同理，可以得到M12、M13和M14的積分值，分別如下

(16)

(17)

(18)

綜上，將M11、M12、M13和M14四部分內容相加，即得到M1的結果

M1=

(19)

同樣的方法可得到M2的結果如下

(20)

將式(19)和式(20)的積分結果代入式(13)，經整理得到

M(t0)=

(21)

(22)

當M(t0)=0時，式(22)可變形得到

(23)

根據三角函數(shù)的基本性質，式(23)可近似為以下形式

(24)

式(24)即為系統(tǒng)產生Smale馬蹄變換意義下混沌的必要條件，經整理得到系統(tǒng)產生混沌的必要參數(shù)條件為

≤F

(25)

3 混沌必要條件的數(shù)值驗證

為了驗證解析得到的混沌必要條件，本節(jié)采用數(shù)值仿真方法進行驗證。選取系統(tǒng)的基本參數(shù)為：k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

根據第2章得到的混沌必要條件的解析結果，即式(25)，得到隨分數(shù)階階次p變化的混沌必要條件的臨界線，如圖1所示，臨界線上各點即為系統(tǒng)產生混沌必要條件的最小激勵振幅Fmin。由圖1可以看出，臨界線將F-p平面分為兩部分，分別為周期運動和非周期運動。當F-p平面上的點處于臨界線下方及臨界線上的區(qū)域時，系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)；當F-p平面上的點處于臨界線上方的區(qū)域時，系統(tǒng)可能產生馬蹄意義上的混沌，即同宿軌發(fā)生了橫截相交，系統(tǒng)處于非周期運動狀態(tài)。為了驗證上述結果，下面分別選取F-p平面上的點進行數(shù)值仿真，包括位于周期區(qū)域內臨界線上的點①和點⑥、周期區(qū)域內位于臨界線下方的點③和點⑤，以及非周期區(qū)域內位于臨界線上方的點②和點④，逐一繪制這六個點的相圖、時間歷程圖和龐卡萊圖進行驗證，分別如圖2～圖7所示。

圖1 混沌臨界曲線及驗證點Fig.1 Chaotic critical curves and verification points

(1) 點①是臨界線上的點，分數(shù)階階次p=0.6，激勵振幅F=0.9，系統(tǒng)的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖2所示，此時系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運動，由圖2可知系統(tǒng)正處于單周期的運動狀態(tài)。

(2) 點②位于非周期運動區(qū)域，分數(shù)階階次p=0.6，激勵振幅F=1.15，系統(tǒng)的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖3所示，此時系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。

(3) 點③位于周期運動區(qū)域，分數(shù)階階次p=1，激勵振幅F=1.5，系統(tǒng)的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖4所示，此時系統(tǒng)也處于單周期運動狀態(tài)。

(4) 點④位于非周期運動區(qū)域，分數(shù)階階次p=1，激勵振幅F=1.7，系統(tǒng)的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖5所示，此時系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。

(5) 點⑤位于周期運動區(qū)域，分數(shù)階階次p=1.2，激勵振幅F=1.55，系統(tǒng)的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖6所示，此時系統(tǒng)正處于周期五運動狀態(tài)。

(6) 點⑥也是臨界線上的點，位于周期運動區(qū)域，分數(shù)階階次p=1.2，激勵振幅F=1.848，系統(tǒng)的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖7所示，此時系統(tǒng)正處于周期二運動狀態(tài)。

圖8～圖10分別為分數(shù)階階次p=0.6、1和1.2時的系統(tǒng)分岔圖。由圖8的系統(tǒng)分岔圖可以看出，當分數(shù)階階次p=0.6時，系統(tǒng)產生混沌的激勵振幅Fmin為1.130；由圖9的系統(tǒng)分岔圖可以看出，當分數(shù)階階次p=1時，系統(tǒng)產生混沌的激勵振幅Fmin為1.685；由圖8的系統(tǒng)分岔圖可以看出，當分數(shù)階階次p=1.2時，系統(tǒng)產生混沌的激勵振幅Fmin為1.855。而由Melnikov解析方法得到的混沌必要條件如圖1臨界線所示，對應于p=0.6、1和1.2混沌必要條件的激勵振幅Fmin分別為0.900、1.620和1.848，可以看出由仿真得到的數(shù)值結果和由解析得到的結果存在一定誤差，這是由于使用Melnikov函數(shù)只是近似結果，同時分數(shù)階微分也是采用的近似等價結果，因此解析結果與數(shù)值計算存在一定的誤差。由于誤差在可接受范圍內，因此把系統(tǒng)中的分數(shù)階系統(tǒng)變換成等價的整數(shù)階系統(tǒng)這種方法是可行的。

圖8 p=0.6時系統(tǒng)分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=0.6,K=0.6,ω=0.8)Fig.8 System bifurcation diagram when p=0.6

圖9 p=1時系統(tǒng)分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1,K=0.6,ω=0.8)Fig.9 System bifurcation diagram when p=1

圖10 p=1.2時系統(tǒng)分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1.2,K=0.6,ω=0.8)Fig.10 System bifurcation diagram when p=1.2

4 主要參數(shù)對混沌必要條件的影響

由式(25)可知，所選參數(shù)不同，系統(tǒng)產生混沌的必要條件也不同。為了更好地了解各項參數(shù)對分段非線性振子混沌必要條件的影響，下面采用數(shù)值仿真的方法進行分析。所選基本參數(shù)為k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

4.1 線性剛度和線性阻尼系數(shù)對混沌必要條件的影響

本節(jié)分析系統(tǒng)線性剛度系數(shù)k和線性阻尼系數(shù)c對系統(tǒng)混沌必要條件的影響。圖11和圖12分別為線性剛度系數(shù)k和阻尼系數(shù)c變化時，由式(25)得到混沌必要條件的臨界線。

圖11 線性剛度系數(shù)k對混沌必要條件的影響Fig.11 Influence of linear stiffness coefficient k on necessary conditions of chaos

圖12 阻尼系數(shù)c對混沌必要條件的影響Fig.12 Influence of damping coefficient c on necessary conditions of chaos

由圖11可以看出，隨著系統(tǒng)線性剛度系數(shù)逐漸增大，系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin也隨之不斷增大，臨界線斜率也逐漸變大。同樣，由圖12可以看出，隨著系統(tǒng)線性阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin值也隨之不斷增大。這是因為阻尼的增大會使系統(tǒng)消耗更多的能量，意味著系統(tǒng)同宿軌產生橫截相交發(fā)生混沌所需要的Fmin就越大。因此，增大線性剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)均可以減小系統(tǒng)非周期運動的區(qū)域，能夠在一定程度起到抑制混沌的作用。

4.2 分數(shù)階階次和分數(shù)階系數(shù)對混沌必要條件的影響

首先分析系統(tǒng)分數(shù)階階次p對系統(tǒng)混沌必要條件的影響。圖13為分數(shù)階階次變化時，由式(25)獲得的系統(tǒng)產生混沌必要條件的臨界線曲線圖。由圖13可以明顯看出，隨著分數(shù)階階次p的增大，系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵幅值Fmin先升高后降低，最大門檻值Fmin出現(xiàn)在p=1.2附近。

圖13 分數(shù)階系數(shù)kp對混沌必要條件的影響Fig.13 Influence of fractional coefficient kp on necessary conditions of chaos

由式(5)分數(shù)階項引起的等效阻尼表達式可以看出，當分數(shù)階階次p由0逐漸增加到2時，等效阻尼先增大后減小，而同樣由式(5)分數(shù)階項引起的等效剛度表達式可以看出，分數(shù)階階次p由0逐漸增加到2時，等效剛度一直是逐漸減小。由4.1節(jié)可知，系統(tǒng)線性阻尼的增大會使系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin增大，而等效阻尼減小則會使系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin減小，因此當p由0逐漸增加到2時，由等效阻尼部分引起的混沌必要條件激勵振幅Fmin先增大后減??；同樣，由4.1節(jié)得知，等效剛度的減小會使系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin減小。又由圖11和圖12可知當系統(tǒng)線性阻尼和線性剛度較小時，線性阻尼對系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin的影響更大，因此，當分數(shù)階階次p由1增加到2時，系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin隨之先增大后減小。

其次分析分數(shù)階系數(shù)kp對系統(tǒng)產生混沌的必要條件的影響。保持基本參數(shù)不變，分數(shù)階系數(shù)kp分別為0.2、0.4、0.6、0.8和1.0時，相應的混沌必要條件臨界線如圖13所示，它們分別采用不同類型的曲線表示。

從圖13中曲線的變化情況可以看出，分數(shù)階階次p取較小值p

由圖13可以看出，隨著分數(shù)階階次p繼續(xù)增大(pmin1時，由于分數(shù)階等效剛度kp的變號，系統(tǒng)剛度K變?yōu)殡S著kp的增大而增大，而系統(tǒng)線性剛度K的增大會導致混沌必要條件的Fmin增大， 因此，在p>1時，隨著kp的增大，系統(tǒng)混沌必要條件的激勵振幅Fmin也隨之增大。綜上可知，在p較大時(pmin

4.3 分段非線性剛度系數(shù)對混沌必要條件的影響

分析分段非線性剛度系數(shù)比值s=α1/α2對系統(tǒng)發(fā)生混沌必要條件的影響。同樣保持其他參數(shù)不變，選取α2=0.1，0.5和0.9時，得到隨著s變化的混沌必要條件臨界線如圖14所示。由圖可以看出同樣的s下，α2越小，系統(tǒng)產生混沌的必要條件的激勵振幅值Fmin越大，可見s一定時，選取較小的α2會抑制分數(shù)階分段非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。同樣由圖14還可以看出，當α2不變時，隨著s增大，產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin先迅速減小，到s=1附近時激勵振幅Fmin的降幅逐漸變緩，而后繼續(xù)緩慢減小，s越大的地方，F(xiàn)min的變化越平緩。

圖14 分段非線性剛度系數(shù)比值s對混沌必要條件的影響Fig.14 Influence of piecewise nonlinear stiffness coefficient ratio s on necessary conditions of chaos

由混沌必要條件式(25)可知，分段非線性系數(shù)α1和α2對混沌必要條件的影響是一致的，因此可以得到：隨著α1或者α2的減小，系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin越大，而對于任意選定的α1或者α2，應盡可能選取較小的α2或者α1，這樣會使系統(tǒng)產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin越大，系統(tǒng)非周期運動區(qū)域越小，越不易產生混沌。

5 結 論

本章對含有分數(shù)階微分的分段Duffing系統(tǒng)的混沌閾值進行了研究。

(1) 基于Melnikov方法，得到了系統(tǒng)產生Smale意義下混沌的必要條件。建立了各參數(shù)之間的關系，通過混沌必要條件得到了系統(tǒng)產生混沌的周期運動區(qū)域和非周期運動區(qū)域。

(2) 通過數(shù)值模擬相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖以及系統(tǒng)分岔圖對混沌必要條件進行了驗證，并詳細分析了系統(tǒng)參數(shù)對混沌必要條件的影響，得出系統(tǒng)的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、分數(shù)階參數(shù)以及分段非線性參數(shù)均對系統(tǒng)產生混沌的必要條件有著重要影響，通過改變這些參數(shù)可以改變系統(tǒng)的周期運動和非周期運動區(qū)域，研究結果對類似系統(tǒng)的混沌抑制有一定意義。