黃海賓，臧敬剛

(1. 河北工業(yè)大學(xué) 土木與交通學(xué)院，天津 300401； 2. 河北工業(yè)大學(xué) 河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津 300401)

0 引 言

近年來(lái)，基于振動(dòng)的損傷識(shí)別方法在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域得到了廣泛研究[1-2]。該類方法的基本依據(jù)是：損傷會(huì)引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性(如頻率、振型等模態(tài)參數(shù))的變化，故可將動(dòng)力特性作為結(jié)構(gòu)的損傷特征，并通過(guò)動(dòng)力特性變化判斷其損傷狀態(tài)[3-5]。然而，服役期內(nèi)的運(yùn)營(yíng)環(huán)境(如溫度、濕度、風(fēng)速等因素)變化同樣會(huì)引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的變化，這可能會(huì)掩蓋損傷造成的動(dòng)力特性變化，導(dǎo)致?lián)p傷識(shí)別效果不理想[6-11]。因此，在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，剔除運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化對(duì)損傷特征的影響至關(guān)重要。

從損傷特征中剔除運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化的影響主要有兩類方法[12]：①顯式方法，建立環(huán)境變量與損傷特征之間的關(guān)系模型，進(jìn)而量化運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化的影響并予以剔除；②隱式方法，將環(huán)境變量視作隱藏變量嵌入到損傷特征中，進(jìn)而估計(jì)運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化的影響并予以剔除。隱式方法因無(wú)需測(cè)量環(huán)境變量卻能考慮運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化的影響，進(jìn)而凸顯出了實(shí)用價(jià)值，其中以主成分分析(principal-component analysis, PCA)應(yīng)用最廣。A. M. YAN等[6]將固有頻率作為損傷特征，使用PCA成功剔除了環(huán)境效應(yīng)對(duì)其損傷識(shí)別過(guò)程的影響；G. COMANDUCCI等[7]將PCA應(yīng)用于某懸索橋，有效剔除了風(fēng)速對(duì)固有頻率的影響；F. UBERTINI等[8]提出將PCA與多元線性回歸相結(jié)合，建立統(tǒng)計(jì)模型以剔除運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化的影響，并采用某鐘樓的固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行了有效性驗(yàn)證；A. I. OZDAGLI等[9]使用振型和固有頻率作為損傷特征，結(jié)合PCA剔除了溫度變化的影響，提升了對(duì)某三層框架的損傷識(shí)別能力。

盡管基于PCA的損傷識(shí)別方法應(yīng)用眾多，但其適用范圍僅局限于數(shù)據(jù)近似滿足高斯分布且線性相關(guān)。目前，針對(duì)PCA在非線性問(wèn)題中的局限性，學(xué)界已提出相關(guān)改進(jìn)方法，A. M. YAN等[10]將PCA擴(kuò)展為局部PCA，對(duì)非線性相關(guān)性進(jìn)行分段線性化，剔除了運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化對(duì)固有頻率的非線性影響；E. REYNDERS等[11]針對(duì)變運(yùn)營(yíng)環(huán)境的非線性影響，提出了改進(jìn)的核PCA方法，并采用某預(yù)應(yīng)力混凝土橋的固有頻率數(shù)據(jù)對(duì)其效果進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，非高斯分布在損傷特征數(shù)據(jù)中也普遍存在，趙人達(dá)等[13]和薛剛等[14]分別研究了不同太陽(yáng)輻射強(qiáng)度下的混凝土箱梁溫度場(chǎng)分布特性，結(jié)果表明箱梁底板、腹板和頂板的溫度均呈非高斯分布，這會(huì)進(jìn)一步造成損傷特征數(shù)據(jù)的非高斯分布。在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，綜合考慮數(shù)據(jù)的非高斯分布和非線性相關(guān)十分關(guān)鍵。

為有效處理運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化下?lián)p傷特征數(shù)據(jù)的非高斯分布和非線性相關(guān)等問(wèn)題，筆者提出一種基于混合PCA的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。利用高斯混合模型(gaussian mixture model, GMM)對(duì)存在非高斯分布和非線性相關(guān)的多維損傷特征數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，將其聯(lián)合概率密度函數(shù)表示為多個(gè)局部高斯分量的線性組合，使得每個(gè)局部高斯分量?jī)?nèi)的數(shù)據(jù)之間滿足線性相關(guān)性；然后，對(duì)所有局部高斯分量分別建立相應(yīng)的PCA模型；再計(jì)算所有PCA模型殘差部分的馬氏平方距離和歐氏平方距離，將樣本屬于各高斯分量的后驗(yàn)概率作為權(quán)系數(shù)，對(duì)兩類距離分別進(jìn)行加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化以求得結(jié)構(gòu)的綜合損傷指標(biāo)。最終，通過(guò)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)仿真和木桁架橋試驗(yàn)對(duì)其有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 傳統(tǒng)PCA損傷識(shí)別

作為一種常用的多維數(shù)據(jù)分析方法，PCA可對(duì)由多個(gè)互相關(guān)特征變量構(gòu)成的原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行線性變換以提取主成分，在保留絕大部分原始信息的前提下，降低變換后數(shù)據(jù)集的特征維度。原始數(shù)據(jù)集中各特征變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，PCA的降維效果越顯著。

令X=[x1,x2,…,xN]表示損傷特征矩陣，任意樣本向量x均包含m個(gè)特征變量，共有N個(gè)樣本。采用結(jié)構(gòu)的多階頻率作為損傷特征，且各階頻率間存在相關(guān)性，故可通過(guò)PCA對(duì)特征數(shù)據(jù)集進(jìn)行建模。PCA建模是利用如下特征值分解實(shí)現(xiàn)[15-16]：

∑=E[(x-μ)(x-μ)T]=QΛQT

(1)

式中：μ為數(shù)據(jù)集的均值向量；∑為數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣；Λ=diag(λ1,λ2,…,λm)為所有降序排列特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣；Q=[q1,q2,…,qm]為與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣；E(·)為期望算子。

PCA模型中特征值λi越大，則表明第i個(gè)主成分所包含的原始數(shù)據(jù)信息越多。當(dāng)特征變量間存在強(qiáng)相關(guān)性時(shí)，僅需前面少數(shù)幾個(gè)主成分即可近似重構(gòu)原始數(shù)據(jù)。通常情況下，主成分個(gè)數(shù)d的選取原則如下：

(2)

式中：r為百分率，一般取95%，即主成分貢獻(xiàn)率宜至少達(dá)到95%。當(dāng)已知影響損傷特征的主導(dǎo)環(huán)境因素的個(gè)數(shù)時(shí)，可將d取為主導(dǎo)環(huán)境因素的個(gè)數(shù)。

(3)

(4)

(5)

(6)

當(dāng)數(shù)據(jù)服從或近似服從高斯分布時(shí)，令α表示顯著性水平，指標(biāo)DMah的閾值TMah由下式確定[17]：

(7)

(8)

2 混合PCA損傷識(shí)別

2.1 損傷特征的聯(lián)合概率密度擬合

GMM利用多個(gè)高斯分量的線性組合對(duì)多維數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)進(jìn)行擬合[18]。理論上講，如果高斯分量的數(shù)目足夠多，GMM能夠準(zhǔn)確擬合任意分布數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)。

經(jīng)GMM擬合，多維損傷特征數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)具有如下形式：

(9)

(10)

(11)

進(jìn)一步，可將GMM的最優(yōu)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問(wèn)題：

(12)

采用期望最大(expectation-maximization, EM)算法[19]求解該問(wèn)題，首先設(shè)定GMM的初始參數(shù)為Θ(0)，然后分E步驟和M步驟進(jìn)行迭代計(jì)算。E步驟依據(jù)當(dāng)前參數(shù)Θ(i)，計(jì)算第j個(gè)樣本向量xj屬于第k個(gè)高斯分量的后驗(yàn)概率：

(13)

M步驟迭代更新參數(shù)Θ(i+1)：

(14)

(15)

(16)

重復(fù)E步驟和M步驟，直至收斂，即可得到GMM的最優(yōu)參數(shù)。

在GMM擬合中，確定最佳的高斯分量數(shù)目是關(guān)鍵所在，采用可綜合權(quán)衡模型擬合度與復(fù)雜度的貝葉斯信息準(zhǔn)則對(duì)高斯分量的數(shù)目進(jìn)行選擇。

2.2 混合PCA建模與損傷指標(biāo)計(jì)算

多維損傷特征數(shù)據(jù)經(jīng)GMM擬合后，可獲得所有高斯分量的均值向量和協(xié)方差矩陣，且任一高斯分量中的損傷特征之間存在線性相關(guān)性。由式(1)可知：PCA建模的實(shí)質(zhì)是對(duì)協(xié)方差矩陣的特征值分解，故可依次對(duì)第k個(gè)高斯分量的協(xié)方差矩陣∑k分別進(jìn)行特征值分解，從而得到K個(gè)PCA模型及其對(duì)應(yīng)的用于計(jì)算損傷指標(biāo)的殘差子空間。

由于每個(gè)高斯分量對(duì)應(yīng)的殘差子空間不同，以其計(jì)算而得的損傷指標(biāo)及閾值也會(huì)存在差異，故分別對(duì)馬氏平方距離和歐氏平方距離進(jìn)行加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化，作為混合PCA框架下的損傷指標(biāo)。對(duì)于任意樣本向量x而言，首先計(jì)算第k個(gè)高斯分量對(duì)應(yīng)的損傷指標(biāo)，即馬氏平方距離DMah,k和歐氏平方距離DEuc,k；其次，通過(guò)相應(yīng)的閾值TMah,k和TEuc,k分別對(duì)損傷指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即將損傷指標(biāo)除以其閾值；最后，對(duì)所有標(biāo)準(zhǔn)化后的損傷指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)求和，其權(quán)系數(shù)為該樣本來(lái)自GMM各高斯分量的后驗(yàn)概率p(k|x)。具體表達(dá)式為：

(17)

(18)

由于進(jìn)行了加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化處理，兩個(gè)綜合損傷指標(biāo)的閾值均為1。當(dāng)損傷指標(biāo)大于1時(shí)，判斷結(jié)構(gòu)處于損傷狀態(tài)；反之，則判斷結(jié)構(gòu)處于無(wú)損狀態(tài)。

2.3 損傷識(shí)別步驟

基于混合PCA的損傷識(shí)別方法，其實(shí)施過(guò)程分為離線建模和在線監(jiān)測(cè)兩個(gè)階段。

2.3.1 離線建模

離線建模階段，利用無(wú)損結(jié)構(gòu)的損傷特征數(shù)據(jù)集進(jìn)行混合PCA建模，步驟如下：

1)采用貝葉斯信息準(zhǔn)則確定GMM的最佳高斯分量數(shù)目；

2)通過(guò)GMM對(duì)損傷特征數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)進(jìn)行擬合；

3)分別對(duì)GMM中各高斯分量建立PCA模型并獲得其對(duì)應(yīng)的殘差子空間；

4)計(jì)算GMM中各高斯分量所對(duì)應(yīng)的馬氏平方距離和歐氏平方距離的閾值。

2.3.2 在線監(jiān)測(cè)

在線監(jiān)測(cè)階段，計(jì)算混合PCA框架下當(dāng)前樣本的損傷指標(biāo)以判斷結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)，步驟如下：

1)計(jì)算當(dāng)前樣本對(duì)應(yīng)于GMM中各高斯分量的馬氏平方距離和歐氏平方距離；

2)計(jì)算當(dāng)前樣本來(lái)自于GMM中各高斯分量的后驗(yàn)概率；

3)計(jì)算當(dāng)前樣本的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)馬氏平方距離和加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)歐氏平方距離作為損傷指標(biāo)；

4)判斷損傷狀態(tài)，當(dāng)損傷指標(biāo)大于1時(shí)，判斷結(jié)構(gòu)處于損傷狀態(tài)，反之則判斷結(jié)構(gòu)處于無(wú)損狀態(tài)。

3 數(shù)值仿真

利用四自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)生成仿真數(shù)據(jù)，用以驗(yàn)證所提方法在變運(yùn)營(yíng)環(huán)境下的損傷識(shí)別能力。

質(zhì)量彈簧系統(tǒng)共由4個(gè)質(zhì)量塊和5根彈簧組成，如圖1。質(zhì)量塊的質(zhì)量為：m1=m2=m3=m4=2 kg；彈簧的剛度與溫度呈分段線性關(guān)系：

圖1 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)

(19)

(20)

式中：ki,i=1,2,…,5為彈簧剛度；T為溫度。

在0 ℃兩側(cè)，所有彈簧的剛度隨溫度的線性變化規(guī)律不同；第3根彈簧的剛度隨溫度的線性變化規(guī)律與其它彈簧的變化規(guī)律均不一致，這可用于模擬非線性效應(yīng)。

以某橋梁監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采集的為期1年的空氣溫度數(shù)據(jù)(采樣頻率1 Hz，1 h內(nèi)會(huì)得到多個(gè)樣本，對(duì)這些樣本取平均值，得到8 760個(gè)平均樣本)為基準(zhǔn)，等比例伸縮至[-20 ℃, 40 ℃]區(qū)間，作為數(shù)值仿真的溫度輸入值。通過(guò)無(wú)放回隨機(jī)取樣，首先取出5 400個(gè)溫度樣本輸入質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，計(jì)算全部4階固有頻率即fn1、fn2、fn3和fn4，疊加一定程度的高斯噪聲后，作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集；然后，分7次依次各取出480個(gè)溫度樣本輸入質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，且每次均對(duì)第2根彈簧的剛度進(jìn)行一定程度折減，在模擬運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化和損傷同時(shí)存在情況下，計(jì)算全部4階固有頻率并疊加與訓(xùn)練數(shù)據(jù)集程度相同的高斯噪聲后，作為測(cè)試數(shù)據(jù)集(共計(jì)7種工況)，如表1。

表1 測(cè)試數(shù)據(jù)集工況

該系統(tǒng)損傷前后的固有頻率變化如圖2。經(jīng)對(duì)比分析可知：運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化引起的固有頻率變化會(huì)大部分甚至完全掩蓋損傷引起的固有頻率變化，故僅通過(guò)頻率變化難以識(shí)別運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化下的結(jié)構(gòu)損傷。

圖2 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的固有頻率變化

由貝葉斯信息準(zhǔn)則確定最佳高斯分量數(shù)目為4，利用GMM對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的概率密度函數(shù)進(jìn)行擬合(以fn1和fn2為例)。由圖2可知：無(wú)損狀態(tài)下fn1和fn2的變化幅度較大。圖3(a)和圖3(b)分別為fn1和fn2的頻率直方圖與GMM擬合概率密度函數(shù)間的對(duì)比，可知GMM能有效擬合非高斯分布數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)；圖3(c)為fn1和fn2間的散點(diǎn)圖，其表現(xiàn)出非線性相關(guān)性；圖3(d)為GMM擬合的二維概率密度函數(shù)等高線圖，可知GMM亦能有效處理數(shù)據(jù)中的非線性問(wèn)題。

圖3 頻率fn1、fn2及 fn1與fn2間的GMM擬合效果

圖4 混合PCA的損傷識(shí)別結(jié)果

表2 PCA與混合PCA的損傷識(shí)別率

由表2可知：對(duì)工況Cn0，混合PCA的兩種損傷指標(biāo)對(duì)應(yīng)的虛警率(對(duì)正常結(jié)構(gòu)識(shí)別出損傷)較傳統(tǒng)PCA均略低；對(duì)工況Cn1，混合PCA的識(shí)別效果優(yōu)于傳統(tǒng)PCA，但此時(shí)的微小損傷引起的固有頻率變化不明顯，漏警率(對(duì)損傷結(jié)構(gòu)未識(shí)別出損傷)較高；對(duì)工況Cn2，混合PCA的損傷識(shí)別能力較傳統(tǒng)PCA有了顯著提升；對(duì)工況Cn3～Cn6，混合PCA的損傷識(shí)別率均接近或超過(guò)90%，且均大于傳統(tǒng)PCA的損傷識(shí)別率，足見(jiàn)筆者方法的優(yōu)越性。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

采用由芬蘭的Kullaa課題組所完成的木桁架橋試驗(yàn)[20]進(jìn)一步驗(yàn)證混合PCA的損傷識(shí)別效果。

橋總質(zhì)量為36 kg，采用橡膠支座支撐，如圖5。對(duì)結(jié)構(gòu)施加隨機(jī)白噪聲激勵(lì)，并在不同位置安裝15個(gè)加速度計(jì)，以測(cè)量結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，采樣頻率為256 Hz，每次測(cè)量時(shí)長(zhǎng)為32 s。測(cè)量期間，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度和濕度不斷發(fā)生變化。

圖5 木桁架橋的試驗(yàn)布置

利用隨機(jī)子空間方法對(duì)每次測(cè)量的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，并采用較為可靠的第6、7、8、10、12和13階固有頻率(為后續(xù)方便，將它們依次記為ft1、ft2、ft3、ft4、ft5和ft6)作為損傷特征。在無(wú)損狀態(tài)下，共獲得1 871個(gè)有效的固有頻率樣本，通過(guò)無(wú)放回隨機(jī)取樣，選取1 671個(gè)樣本作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，剩余200個(gè)樣本作為測(cè)試數(shù)據(jù)集的一部分；在距中跨左側(cè)600 mm處的結(jié)構(gòu)頂部附加不同質(zhì)量，以模擬不同的損傷程度，共獲得105個(gè)有效的固有頻率樣本，作為測(cè)試數(shù)據(jù)集的另一部分。因此，測(cè)試數(shù)據(jù)集中共包含6種工況，如表3。

表3 測(cè)試數(shù)據(jù)集工況

木桁架橋在環(huán)境影響下的固有頻率變化如圖6，圖中虛線前為無(wú)損狀態(tài)，虛線后為損傷狀態(tài)。經(jīng)對(duì)比計(jì)算可知：由環(huán)境變化引起的固有頻率變化完全掩蓋了損傷引起的固有頻率變化，故僅通過(guò)頻率變化無(wú)法識(shí)別運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化下的結(jié)構(gòu)損傷。

由貝葉斯信息準(zhǔn)則確定最佳高斯分量數(shù)目為8，利用GMM對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的概率密度函數(shù)進(jìn)行擬合。以ft2和ft6為例，由圖6可知兩頻率在無(wú)損狀態(tài)下的變化幅度較大；圖7(a)和圖7(b)分別為ft2和ft6的頻率直方圖與GMM擬合概率密度函數(shù)間的對(duì)比，可知GMM能有效擬合非高斯分布數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)；圖7(c)為ft2和ft6間的散點(diǎn)圖，其表現(xiàn)出非線性相關(guān)性；圖7(d)為GMM擬合的二維概率密度函數(shù)等高線圖，可知GMM能有效處理數(shù)據(jù)中的非線性問(wèn)題。

圖6 木桁架橋的固有頻率變化

圖7 頻率ft2、ft6及ft2與ft6間的GMM擬合效果

圖8 混合PCA的損傷識(shí)別結(jié)果

表4 PCA與混合PCA的損傷識(shí)別率

由表4可知：傳統(tǒng)PCA中的歐氏平方距離并沒(méi)有識(shí)別出結(jié)構(gòu)損傷；傳統(tǒng)PCA中的馬氏平方距離雖有一定的識(shí)別效果，但并沒(méi)有識(shí)別出工況Ct3的損傷；混合PCA中的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)歐氏平方距離的識(shí)別效果較傳統(tǒng)PCA有了一定改善，但其對(duì)工況Ct3的識(shí)別效果仍不理想；混合PCA中的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)馬氏平方距離對(duì)工況Ct2識(shí)別率達(dá)到了60.87%，對(duì)工況Ct3～Ct5識(shí)別率則均達(dá)到了100%，識(shí)別結(jié)果最好。綜上，由于可有效處理非高斯分布和非線性相關(guān)等問(wèn)題，混合PCA在損傷識(shí)別能力方面較傳統(tǒng)PCA有顯著提升。

7 結(jié) 論

筆者提出了變運(yùn)營(yíng)環(huán)境下基于混合PCA的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，并通過(guò)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)仿真和木桁架橋試驗(yàn)進(jìn)行了有效性驗(yàn)證。得出如下結(jié)論：

1) 運(yùn)營(yíng)環(huán)境變化會(huì)引起結(jié)構(gòu)損傷特征的非高斯分布和非線性相關(guān)等問(wèn)題，致使傳統(tǒng)PCA的損傷識(shí)別效果較差。

2) 在合理的高斯分量數(shù)目下，GMM能準(zhǔn)確擬合多維損傷特征數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，解決非高斯分布和非線性相關(guān)等問(wèn)題。

3) 混合PCA的損傷識(shí)別能力較傳統(tǒng)PCA而言有顯著提升，其中以加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)馬氏平方距離的損傷識(shí)別能力最為優(yōu)異。