?北京市第二十中學 張程艷

1 問題背景

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中指出，“數(shù)學探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程”，數(shù)學探究活動“不僅能夠幫助學生更好地掌握知識技能，更能幫助學生學會數(shù)學的思考和實踐，是學生形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效載體”[1].在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息技術成為學生進行數(shù)學探究活動的重要輔助手段，為學生的學習提供了豐富的資源.借助信息技術可以“更形象直觀地顯示概念的本質屬性和特征”，“揭示數(shù)學變化規(guī)律，進行數(shù)學實驗，猜想命題結論”，“探尋解決問題的途徑”等等[2].可以說，信息技術的引入改變了學生的學習方式，使學生可以更主動、有效地進行數(shù)學學習.因此，教師要注重信息技術與數(shù)學課程的深度融合，開展數(shù)學探究活動，在落實“四基”“四能”的同時，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

在眾多數(shù)學軟件中，GeoGebra作為集代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)表和概率統(tǒng)計等功能于一體的動態(tài)數(shù)學軟件，以其開源免費、功能強大、易于上手等優(yōu)越性成為眾多教師輔助教學的有力工具[3].應用GeoGebra開展數(shù)學探究活動，可以使抽象復雜的數(shù)學問題“可視化”，能夠激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，使學生在動手實踐，親身體驗的過程中發(fā)展數(shù)學思維和創(chuàng)新能力.本研究以解析幾何中的定點問題作為切入點，學生通過操作GeoGebra軟件，在理解基本知識、掌握基本方法的基礎上，充分經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，積累自主探索研究數(shù)學問題的經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的進階發(fā)展.

2 案例分析

2.1教學內(nèi)容分析

在解析幾何單元中，直線與圓錐曲線的位置關系是重點研究內(nèi)容之一，對學生的轉化與化歸能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力等都有較高要求，突出數(shù)學思想方法和數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.其中，解析幾何中的定點問題使學生在化“動”為“定”的過程中，體會“變”與“不變”的關聯(lián)、“幾何”與“代數(shù)”的完美融合，使學生在掌握基本解題策略的同時，挖掘問題背后呈現(xiàn)的規(guī)律，發(fā)展從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題及解決問題的能力.

2.2 學情分析

從學生的知識層面來看，在解析幾何定點問題的第一課時中，學生通過對引例的分析，已經(jīng)基本掌握了定點問題的解決策略.本節(jié)課將在此基礎上設置數(shù)學探究活動，深入研究引例背后所蘊含的一般性規(guī)律.從學生的發(fā)展需求來看，學生更希望跳出解題的層面，探究問題的本質，在發(fā)現(xiàn)問題的基礎上，自主提出問題，提升自身的實踐創(chuàng)新能力.從學生的認知障礙來看，學生即使知道可以通過改變某一變量去研究定點位置的變化，也很難單純通過紙筆運算發(fā)現(xiàn)運動變化背后呈現(xiàn)的規(guī)律.

因此，基于以上教學內(nèi)容和學情的分析，本節(jié)課借助GeoGebra開展數(shù)學探究活動，大大降低探索過程的難度，使抽象的數(shù)學問題更加形象直觀，讓學生充分經(jīng)歷猜想、實驗、探究、交流、反思的過程.

2.3 學習目標

(1)借助GeoGebra軟件自主探究定點問題，透過現(xiàn)象看本質，嘗試根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提出新的數(shù)學問題，提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.

(2)在實驗操作的過程中，體會從特殊到一般研究問題的方法，積累進行科學研究的經(jīng)驗；在自主探究、同伴互助的過程中，發(fā)展自主學習能力，提高實踐創(chuàng)新能力，提升團隊合作意識.

2.4 學習重點難點

重點：借助GeoGebra揭示解析幾何定點問題背后蘊含的一般性規(guī)律.

難點：能夠根據(jù)規(guī)律提出新的數(shù)學問題.

2.5 教學過程

環(huán)節(jié)一：問題初探，設計實驗.

師：上節(jié)課同學們已經(jīng)嚴格證明了直線MN過定點D(1,0)，請大家思考，引例中哪些要素的改變會對定點D的位置產(chǎn)生影響呢？

學生思考片刻，提出猜想，認為改變動點P所在的直線，或者改變橢圓的特征量a和b，或者改變點A,B在橢圓上的位置都會對點D的位置產(chǎn)生影響.

師：請同學們成立實驗小組，設計實驗方案，借助GeoGebra軟件，嘗試探索規(guī)律，并填寫實驗報告.

設計意圖：學生在進行實驗探究之前先分析成因，大膽猜想，明確實驗方案，為后續(xù)進行自主探究做好合理規(guī)劃，同時也能培養(yǎng)學生的數(shù)學直覺.

環(huán)節(jié)二：實驗探究，發(fā)現(xiàn)問題.

在這個環(huán)節(jié)中，學生成立實驗小組，分工協(xié)作，通過操作GeoGebra嘗試發(fā)現(xiàn)問題背后蘊含的一般性規(guī)律，并作成果匯報.

(1)動點P所在的直線影響直線MN所過的定點.

通過在水平方向上拖動點P所在的直線(如圖1，圖2)，使直線與橢圓相離、相切、相交，學生發(fā)現(xiàn)點D的位置隨著直線方程的改變而改變,但只要點P所在的直線方程確定，直線MN就恒過某一個定點.學生進一步探究點P所在直線方程x=t與定點D坐標之間的關系，通過記錄實驗數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)關系，得出如下的數(shù)學結論：

圖1

圖2

(2)橢圓的特征量影響直線所過定點.

①通過拖動滑動條改變短軸的長度(如圖3，圖4)，學生發(fā)現(xiàn)直線MN始終過定點D(1,0)，從而得到結論：橢圓的特征量b不影響直線MN所過的定點.

圖3

圖4

②通過拖動滑動條改變長軸的長度(如圖5，圖6)，學生發(fā)現(xiàn)直線MN所過定點隨著特征量a的改變而改變，但只要將特征量a確定下來，直線MN就會經(jīng)過某一個定點.學生進一步探究特征量a與定點D坐標之間的關系，通過記錄數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)關系，得到如下結論：

圖5

圖6

綜合上述兩組實驗，學生最終能夠提煉出下述數(shù)學結論：

(3)點A,B在橢圓上的位置影響直線所過定點.

學生通過改變點A,B在橢圓上的位置，發(fā)現(xiàn)點A,B位置的改變會影響直線MN所過定點，然而暫時沒能得到類似上述“完美”的結論.不過這個探索過程對學生來說非常寶貴，學生在“試誤”的過程中，不斷修正自己的想法，有利于鍛煉數(shù)學思維，有利于形成積極探索的學習態(tài)度，可以初步感受自主學習和開展研究的一般方法，為形成終身學習的習慣奠定基礎.

設計意圖：本環(huán)節(jié)學生借助GeoGebra進行“可視化”實驗探究，讓靜態(tài)數(shù)學“活”起來，激發(fā)學習興趣和探究欲望.學生通過操作軟件觀察問題背后呈現(xiàn)的規(guī)律，大膽猜想數(shù)學結論，進行合情推理，經(jīng)歷由特殊到一般發(fā)現(xiàn)問題的過程.整個探究活動以自主思考和同伴互助的形式展開，既有獨立學習的過程，又有群體學習的過程，既培養(yǎng)學生的自主探究意識，也培養(yǎng)學生的合作交流意識.本環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)學生的主體性、實踐性，學生在具體的情境中思考、探索，積累科學研究的經(jīng)驗.

環(huán)節(jié)三：發(fā)散思維，提出問題.

思考：根據(jù)上述實驗探究發(fā)現(xiàn)的結論，你能嘗試從其他角度提出新的解析幾何問題嗎？

在本環(huán)節(jié)中，學生根據(jù)探索發(fā)現(xiàn)結論，小組合作探討，設計出了很多精彩的問題，現(xiàn)舉例如下：

設計意圖:學生根據(jù)實驗探究得到結論“xDxP=a2”，自然地由定點問題生成定值問題.本環(huán)節(jié)旨在給學生創(chuàng)造機會，站在命題人的角度設計新的問題，培養(yǎng)從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.在提出問題的過程中，培養(yǎng)學生的高階思維能力和創(chuàng)新精神，提高學生的數(shù)學學習水平.

環(huán)節(jié)四：課堂小結，拓展提升.

小結：請談談在本次探究活動中你的收獲有哪些？還有哪些困惑？

思考：(1)請在上述設計的問題中自主選擇1～2個進行嚴格代數(shù)推理；

(2)如果將引例中點P所在的直線x=4換成y=4或者更一般的直線y=kx+b，借助GeoGebra，你能得到類似上述的結論嗎？請自主設計方案，完成實驗探究；

(3)對于雙曲線、拋物線，你能得到類似的定點定值嗎？借助GeoGebra，自主設計實驗方案，完成實驗探究.

設計意圖：總結本節(jié)課的實驗過程，幫助學生積累研究數(shù)學問題的基本思路和方法，為后續(xù)自主探究奠定基礎.

3 結束語

(1)應用GeoGebra開展數(shù)學探究活動，可以使抽象的數(shù)學知識更加生動形象，使復雜問題“可視化”.例如，在函數(shù)專題利用GeoGebra探究三次函數(shù)的切線問題等；在立體幾何專題利用GeoGebra探究正方體的截面圖等；在解析幾何利用GeoGebra探究圓錐曲線中運動變化問題等；在概率統(tǒng)計專題利用GeoGebra進行數(shù)據(jù)分析等.

(2)應用GeoGebra開展數(shù)學探究活動，有助于活躍課堂氛圍，提高學生參與課堂的積極性，構建以學生為主體的深度學習環(huán)境.學生可以經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，訓練思維的深度和廣度，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和能力.同時，可以縮短學生自主探究的時間，降低探究難度，切實提高自主學習能力和效果.

(3)應用GeoGebra開展數(shù)學探究活動，從教師的層面要創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，引導學生合理使用信息技術，把握數(shù)學探究的自主度.如果教師給了學生探究的機會，卻采取高度控制的方式，學生將只能做一些低級思維的操作性活動；而自主度適當?shù)幕顒訉W生會更主動地調動頭腦中的知識和經(jīng)驗，建立知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)有意義的學習，涵育核心素養(yǎng)[4].