?廣州市玉巖中學 廣東省吳和貴名教師工作室 吳和貴

1 引言

數(shù)學核心素養(yǎng)的提出,為高中數(shù)學教學設計和學習方式的轉(zhuǎn)變提供了引領性的支撐,從發(fā)展學生核心素養(yǎng)的角度集中體現(xiàn)了數(shù)學學科的育人價值,是三維目標的提煉和升華.

“函數(shù)的概念”作為函數(shù)大概念下的起始知識,從初中的“變量關系說”到高中的“對應關系說”的轉(zhuǎn)變,既是重點,也是難點,其核心是對函數(shù)的概念(定義)的理解.下面以“函數(shù)的概念(第一課時)”新授課的教學設計為例，談談筆者的一些想法與思考.

2 內(nèi)容解析

2.1 內(nèi)容

本節(jié)內(nèi)容計劃安排兩個課時.本課時為第一課時，該課時主要從函數(shù)定義、函數(shù)符號以及函數(shù)三要素這三個方面對函數(shù)概念進行理解，并與初中所學的函數(shù)定義進行比較.

2.2 所處的地位、作用與意義

“函數(shù)的概念”是人教版普通高中實驗教科書必修一第一章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容，是高考重點考查的內(nèi)容之一，也是中學教材中一個重要的基本概念.在初中階段，學生們已經(jīng)學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，這為過渡到本課題的學習起到了鋪墊的作用.它是對前面已學的集合的鞏固和應用，同時也為即將學習的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容提供知識基礎和工具支撐.它在整個教材中起著承上啟下的作用.函數(shù)概念具有高度的抽象性，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的重要載體.

2.3 教學重、難點

教學重點：通過創(chuàng)設的問題情境，學生從中體悟到在兩個非空集合間所存在的對應關系f，并會使用集合和對應的語言刻畫這一關系，實現(xiàn)對函數(shù)概念的意義建構.

教學難點：理解函數(shù)概念的本質(zhì)，尤其是符號和對應關系含義的理解.

3 學情分析

(1)知識基礎：在初中階段，學生已從“變量關系說”的角度學習了函數(shù)，具有一定的知識基礎；高一又學習了“集合”的相關知識，為接下來用“對應關系說”定義函數(shù)以及對函數(shù)本質(zhì)屬性的揭示提供了知識層面的保障.

(2)思維基礎：高一學生已具備初步的分析、推理、抽象概括能力和理解能力，通過初中的學習，學生能用“變量關系說”來描述函數(shù)的定義，但用新接觸的“對應關系說”來描述函數(shù)的定義尚有一定的困難.

因此，從所創(chuàng)設的問題情境中抽象歸納出函數(shù)概念時，需要讓學生充分地去探索、去體驗方能做到，對學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力有較高的要求.

4 教學目標設置

基于以上分析及課程標準的要求，本節(jié)課的教學目標設置如下：

(1)通過分析所創(chuàng)設的三個問題情境的共同屬性，歸納發(fā)現(xiàn)函數(shù)的本質(zhì)屬性，會用“對應關系說”來描述函數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)；

(2)通過對函數(shù)定義的分析，提取函數(shù)的三要素，并從函數(shù)三要素的角度去判定兩個具體函數(shù)是否是同一個函數(shù)的過程，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)；

(3)通過具體函數(shù)求解的過程，體會對符號y=f(x)和對應關系f含義的理解，培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng).

5 教學策略選擇

教法選擇：本節(jié)課的教學策略要有利于暴露函數(shù)本質(zhì)的過程，從而構建函數(shù)的“對應關系說”定義.

數(shù)學概念教學是一種“重構”活動，是一個“意義”賦予的過程，數(shù)學概念一般經(jīng)歷概念引入、理解、運用等三個階段.

由于本課題是從集合與對應的角度揭示函數(shù)的本質(zhì)，無論難度還是跨度都有質(zhì)的飛躍.依據(jù)高一學生的認知特點和年齡特征，本節(jié)課采取“支架式教學”來組織教學：以問題串為支架，通過對所設置的若干個具體的問題情境(支架)的探究，去發(fā)現(xiàn)兩個變量間都具有的關系，提煉出函數(shù)的本質(zhì)屬性.

學法選擇：本節(jié)課在教師的主導下，學生通過對所創(chuàng)設的問題情境進行觀察、分析、類比、探究、發(fā)現(xiàn)，歸納出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，因此自我探究、思考、總結、歸納，自我感悟，合作交流與對話等是本節(jié)課的主要學習方式.

教學媒體選擇：為增加學生的直觀感知，提高課堂效率，充分發(fā)揮多媒體快捷、生動、形象的特點，本節(jié)課采用黑板板書加PPT與《幾何畫板》等進行教學.

6 教學過程設計

為落實“數(shù)學教學要為思維而教”的教學理念，本節(jié)課共設置7個教學環(huán)節(jié)：復習舊知，引發(fā)沖突；創(chuàng)設情境，意義建構；概念剖析,深化理解；典例研究，遷移應用；鞏固新知，檢測評價；反思總結，提高認識；布置作業(yè)，分層落實.

6.1 復習舊知，引發(fā)沖突

問題1：請舉出初中學過的一些函數(shù).

追問1：能具體說一下初中是如何定義函數(shù)的嗎?

師生活動：師生共同回憶初中所學的運用“變量說關系”定義函數(shù).

設計意圖：對初中函數(shù)定義進行回憶，為接下來將要探究的追問2作鋪墊.

追問2：請問y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？

學生活動:學生經(jīng)過探究、思考、爭論，最終形成兩種觀點.一種觀點認為是函數(shù)，理由是每個x都有唯一的y與之對應；另一種觀點認為不是函數(shù)，因為1不再是變量.爭論不休，無法解決.

教師適時發(fā)聲：看到大家的爭論，我感到非常欣慰，說明大家都在思考.其實，就y=1(x∈R)是否是函數(shù)這樣的爭論在數(shù)學發(fā)展史上也曾發(fā)生過，這個問題數(shù)學家爭論了很多年也困擾了很多年.直到19世紀末德國數(shù)學家康托爾的集合論的誕生，這個困惑才得以消除，以前有關函數(shù)概念的缺陷才得以修正，至此，才真正把y=1(x∈R)這樣的函數(shù)最終納入函數(shù)的大家庭中來.那么數(shù)學家是如何利用集合理論，對函數(shù)的概念進行修正的呢？今天就一起來做進一步的探討.

設計意圖：因認知能力所限，初中所學函數(shù)知識回答不了上述問題，引發(fā)認知沖突和困惑，有助于激發(fā)學生的學習熱情和探究意識，從而引出本節(jié)課的主題(用PPT打出課題：1.2.1函數(shù)的概念).此外，在數(shù)學教學中滲透數(shù)學文化，既可以提高學生的學習興趣，還可以守護數(shù)學歷史，積淀數(shù)學智慧.

6.2 創(chuàng)設情境，意義建構

創(chuàng)設問題情境：(用多媒體依次展示教材中三個對應的實例)

問題情境1：“炮彈飛行時高度與時間的對應關系”以函數(shù)解析式形式給出.(問題情境從略)

問題情境2：“南極臭氧空洞面積與時間的對應關系”以圖象形式給出.(問題情境從略)

問題情境3：“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與年份的對應關系，此問題情境以表格形式給出.(問題情境從略)

并在每一個問題情境后提出：

問題2：①該問題情境涉及到幾個變量？每個變量的范圍如何用集合表示？

②與第一個變量對應的另一個變量的值一定存在嗎？若存在，唯一嗎？

學生活動：觀察三個實例并思考前述問題組，嘗試回答.

設計意圖：由學生自主探究并發(fā)現(xiàn)每個問題情境各自的特點，回答問題，既培養(yǎng)了學生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力，又培養(yǎng)了學生的探究意識和提取信息的能力，進而發(fā)展了學生的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

問題3：這三個問題情境中的兩個變量之間的關系有什么共同特點?

學生活動，歸納發(fā)現(xiàn)共同點：①均存在兩個非空數(shù)集；②都具有一種確定的對應關系；③都具有任意對唯一的特點.

教師活動：在學生回答基礎上介紹符號，具有上述特點的對應可用：f:A→B,x∈A,y∈B來表示.由于y是x經(jīng)過f對應過來的結果，所以也可寫成y=f(x),x∈A,同時指出這樣的對應就是高中所定義的函數(shù).

設計意圖：先由學生自主探究所給的三個問題情境的共同屬性，對所給的三個問題情境，學生通過觀察、分析、比較、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等環(huán)節(jié)，抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)，既培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，又培養(yǎng)了學生的抽象思維素養(yǎng).

問題4：你能用集合與對應的語言來描述函數(shù)嗎？

師生活動：在師生協(xié)同努力的基礎上引入函數(shù)的概念(“對應關系說”定義)(定義從略).

設計意圖：函數(shù)概念教學關鍵點除了讓學生理解其引入的必要性、合理性，就是理解其本質(zhì)屬性.這些實質(zhì)性的內(nèi)容要留給學生探究體驗，這樣的學習才是深度學習.因此，對三個問題情境共同屬性的概括，應由學生以自主探究與合作交流的方式完成，但函數(shù)規(guī)范表述卻不是適合探究的內(nèi)容，因此，函數(shù)規(guī)范表述的給出最好由教師講授，師生協(xié)同完成.

6.3 概念剖析,深化理解

問題5：請找出函數(shù)概念中的關鍵詞，并用簡潔的語言加以說明.

學生之間交流互動給出：

(1)兩個非空的數(shù)集；

(2)任意性與唯一性；

(3)存在確定的對應關系，且對應關系既可以是解析式，也可以是圖象，還可以是表格.

追問3：下列各圖中，不能是函數(shù)f(x)圖象的是( ).

設計意圖：概括出函數(shù)概念后，需對概念的“注意事項”進行辨析，加深學生對概念的理解.如果這些“注意事項”僅就抽象的定義，圍繞“關鍵詞”來講解，學生頭腦中根本就沒有理解這些細節(jié)的背景例證，而剛接觸的定義又極其抽象，如果只是這樣強調(diào)“細節(jié)”，結果只能是令學生越聽越糊涂.

顯然，僅以教材中的“思考：分析歸納以上三個實例中變量之間的關系有什么共同點？”就讓學生概括回答有點不現(xiàn)實.由于問題缺少具體的方向，學生要回答這一“思考”還是有難度的，教師應為學生搭建“支架”，具體做法是把“思考”具體化，分解成切實可行的小問題(見問題5及其追問).

基于以上思考，函數(shù)概念的“注意事項”教學要注意兩點：一是摒棄一步到位的做法，對于函數(shù)概念的教學應采取螺旋式上升的過程去完成，第一課時應圍繞函數(shù)的本質(zhì)屬性，即兩個變量之間的對應關系進行，因為函數(shù)的本質(zhì)屬性才是“重中之重”.二是引導學生通過背景實例充分感知“注意事項”，并在后續(xù)課中螺旋上升認識，而非現(xiàn)在抽象解說.

問題6：基于對函數(shù)概念的理解，你認為函數(shù)由幾個要素構成?

師生活動：函數(shù)由定義域、值域、對應關系這三個要素構成，我們稱之為函數(shù)的三要素.

追問4：回憶初中所學過的函數(shù)，你能舉例說明它們的三要素分別是什么嗎？

追問5：根據(jù)函數(shù)定義，請大家重新思考一下剛才的追問2：y=1(x∈R)是函數(shù)嗎？

學生思考、回答：是一個函數(shù)，因為符合函數(shù)的定義.

追問6：該函數(shù)的定義域、值域和對應關系f是怎樣的？

學生活動略.

追問7：該函數(shù)與函數(shù)y=x0是同一函數(shù)嗎？

師生活動：不是.因為定義域不同，只有當兩個函數(shù)的三要素都相同時，這兩個函數(shù)才是相同的函數(shù).

追問8：下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？

設計意圖：對函數(shù)概念進行辨析之后，還需對函數(shù)的三要素和相同函數(shù)等進行說明，這些都應該在教師的引導下由學生完成.因此，回到一開始爭論的問題，通過不停的追問，不僅實現(xiàn)問題的解決，而且還收獲了新的知識.

6.4 典例研究，遷移應用

變式1：能否利用f以一種更簡潔的方式表示上述結果？

變式2：你能繼續(xù)求出f(2021)的值嗎？

教師引導學生歸納：f(x)就是數(shù)x在對應法則f的作用下所對應的數(shù).

教師告訴學生：這其實也是18世紀瑞士數(shù)學家歐拉當年的函數(shù)記法，可以說我們今天就是在學數(shù)學家歐拉的發(fā)明.

變式4：當a>0時，求f(a),f(a-1)的值.

設計意圖:函數(shù)概念最大的難點在于對抽象符號“f:A→B,y=f(x),x∈A,y∈B”的理解.難，主要體現(xiàn)在兩點：一是對應關系f含義的理解；二是符號f(x)的理解及使用.

教學中應利用具體函數(shù)例證，特別是圖象、表格表示的函數(shù)，使學生逐步體會對應關系f的含義.此外，教學中應向?qū)W生呈現(xiàn)豐富的多種形式的實際問題為背景的函數(shù)問題，使極其抽象的函數(shù)符號f(x)具有與之相對照的實際背景，使學生從中體會到數(shù)集A中任一個數(shù)x在對應關系f的作用下所對應的數(shù)集B中的唯一元素等具體信息.因此，精心設計教材例1的教學，借助具體到抽象、特殊到一般的認知規(guī)律，讓學生學會使用符號，有利于其邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

6.5 鞏固新知，檢測評價

(1) 已知函數(shù)f(x)=3x3+2x,求f(2)+f(-a)的值.

(2)下列各組函數(shù)f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)的是( ).

A.f(x)=1，g(x)=x0

(3)設M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，給出下列4個圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數(shù)關系的是( ).

(4)下列表格中的x與y能構成函數(shù)的是( ).

學生活動:由學生自主完成的同時分別找四個學生在黑板上各完成一題，而后師生共同評價完善.

設計意圖:本環(huán)節(jié)一是進一步深化對函數(shù)概念的理解，二是進行教學效果檢測與評價.

6.6 反思總結，提高認識

問題7：回顧上述學習過程，請從知識和思想方法等方面來談談你的想法和感悟.

設計意圖：對本節(jié)課所學的主要內(nèi)容和所涉及到的思想方法，應先由學生自己去歸納總結，并說出來，而后老師作適當點撥，這樣既深化了學生對所學知識的理解，又培養(yǎng)和鍛煉了學生的概括與語言表達能力等，從而實現(xiàn)深度學習，發(fā)展核心素養(yǎng).

6.7 布置作業(yè)，分層落實

作業(yè)：(1)運用今天所學的知識，請列舉日常生活中函數(shù)的實例(至少列舉三個)，并用集合與對應的語言來描述函數(shù).

(2)①(必做題)教材第24頁第2,4,5,6題.

②(選做題)已知函數(shù)f(x)滿足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，則

設計意圖：分層次要求，分層次作業(yè)，使所有學生鞏固所學知識，使不同層次的學生都能得到提高.根據(jù)因材施教的原則，布置必做題和選做題，必做題要求學生全部完成，選做題要求學有余力者完成即可.

7 教學思考

高中數(shù)學概念教學要樹立以發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為導向的教學意識，著力創(chuàng)設有利于發(fā)展學生核心素養(yǎng)的教學情境，啟發(fā)學生探究，體會其中蘊含的數(shù)學思想，教會學生“數(shù)學地思考”，引導學生把握數(shù)學概念的本質(zhì).上述教學設計基于學生現(xiàn)有認知能力，關注學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以問題引導學生學習，體現(xiàn)的是深度學習，具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

(1)在突出重點、突破難點的過程中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

上述教學過程設計圍繞函數(shù)概念的“對應關系說”定義這一重點和難點，通過三個具體問題情境和5個問題(問題1到問題5)來突出重點，突破難點.其中，引發(fā)認知沖突是概念生成的動力(問題1及其追問)，搭建“支架”是從三個具體問題情境概括出其共同屬性，從而抽象出函數(shù)的本質(zhì)所采取的恰當?shù)慕虒W方式(問題2到問題5)，對抽象符號“f:A→B,y=f(x),x∈A,y∈B”的理解應以實際問題為依托，通過堅實的具體實際背景，使學生更好地體會它所包含的具體信息(例1及其變式).通過對這一系列漸次遞升問題的思考與探究，學生經(jīng)歷圖形語言、文字語言、符號語言等轉(zhuǎn)換過程，體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數(shù)學研究方法，使教學在突出重點、突破難點的過程中培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象等數(shù)學核心素養(yǎng).

(2)在強化概念的理解和運用的過程中發(fā)展學生的核心素養(yǎng).

上述教學過程設計圍繞強化對函數(shù)概念的理解與運用，設計了5道試題、2個問題(問題6到問題7)及其6個追問、1道例題以及4個變式.其中通過背景實例充分感知函數(shù)定義中的“注意事項”，概念的理解呈螺旋上升是恰當?shù)奶幚矸绞?問題5到追問8)，通過總結反思，及時訓練，能夠強化對概念更深層次的理解(4道實例和問題7).通過對這一系列漸次遞升試題、問題及其變式的思考與探究，進一步強化了學生對函數(shù)概念的理解，既深化了對函數(shù)概念的認識，又提高了學生對函數(shù)概念的運用遷移能力，有利于發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)處理等數(shù)學核心素養(yǎng).

(3)在滲透數(shù)學文化提升課堂品質(zhì)的過程中提高學生的核心素養(yǎng).

上述教學過程設計了兩次滲透數(shù)學文化(追問2和例1變式3之后).在數(shù)學教學中適時滲透數(shù)學文化，有助于學生深切感受到數(shù)學與自然及社會的緊密聯(lián)系，促使學生從文化層面理解數(shù)學及其作用，增強學生學好數(shù)學的信心，從而提升學生的數(shù)學與人文素養(yǎng).

總之，上述教學過程設計著力于函數(shù)概念的形成，致力于讓學生經(jīng)歷由以前的“變量關系說”到現(xiàn)在的“對應關系說”的轉(zhuǎn)換過程，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數(shù)學研究方法.使學生在問題情境中、在探究建構中以及在概念運用中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，這充分體現(xiàn)了培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學追求.