何各燚，劉占芳，2，段連龍

（1. 重慶大學 航空航天學院，重慶 400044；2. 非均質(zhì)材料力學重慶市重點實驗室，重慶 400044）

1 引言

PBX 材料中占極大體積分數(shù)的單質(zhì)炸藥顆粒（通?？蛇_90%以上）與高聚物黏結(jié)劑之間存在相互作用，力學響應較為復雜，從宏觀角度準確描述PBX 材料的性質(zhì)和力學行為特征較為困難，因此采用細觀結(jié)構(gòu)表征技術以及與宏觀力學性能相關聯(lián)的研究方法是非常有效的研究手段［1］。PBX 所具有的含能敏感特性給力學性能的實驗研究帶來了困難，通過數(shù)值模擬方法來研究炸藥的力學性能越來越受到人們的重視，如何建立符合實際PBX 材料的細觀結(jié)構(gòu)模型是進行數(shù)值模擬的關鍵。

國內(nèi)外對PBX 細觀結(jié)構(gòu)的幾何建模研究主要是通過建立以材料細觀結(jié)構(gòu)為基礎的數(shù)值模型［2-3］，證明二維代表體積元方法的有效性［4-5］，這在一定程度上較好地預測了炸藥顆粒的性質(zhì)、體積分數(shù)、形狀和級配以及黏結(jié)劑的性質(zhì)等對有效彈性模量的影響［6-7］。為了建立合適的PBX 細觀模型，許多研究者通過數(shù)字圖像處理技術手動建立材料模型。Arora 等［8］通過對顯微電子圖像中不同相的識別建立了PBX 細觀結(jié)構(gòu)模型，Manner 等［9］利用X 射線對HMX-HTPB 基的PBX 炸藥進行掃描，并在此基礎上建立了PBX 細觀結(jié)構(gòu)模型，但此方法需要昂貴的設備和時間成本。韋興文等［10］嘗試利用隨機投放方法建立PBX 隨機圓形顆粒模型，然而這種方法很難使炸藥顆粒體積分數(shù)達到85%及以上。戴開達等［6］為了提高PBX 細觀模型中炸藥顆粒的體積分數(shù)，以規(guī)則的多邊形炸藥顆粒來替代圓形的炸藥顆粒，但顆粒的不規(guī)則性以及隨機分布性卻無法保證。Guo 等［11-13］采用Voronoi 方法建立了PBX 細觀模型，此時Thiessen 多邊形顆粒能夠保證隨機分布和體積分數(shù)的要求，但生成的顆粒尺寸過于均勻?？蹈璧龋?4-17］利用隨機模擬方法，在給定區(qū)域隨機生成多種類型的圓形顆粒，再由各圓心生成Voronoi 圖建立PBX 細觀模型，該模型不僅能夠反映級配，且能達到較高的顆粒體積分數(shù)，然而由大圓周圍的小圓生成有規(guī)律的條狀散射形狀的Thiessen 多邊形，以及由大圓生成的Thiessen 多邊形面積明顯變小，因此仍需要對模型進行修正。

大量的實驗結(jié)果表明，在拉伸載荷作用下，PBX 的主要損傷形式為界面脫粘［19］，PBX 在拉伸下的斷裂行為受到晶體間界面性質(zhì)的顯著影響［20］，但是界面屬性很難描述。大多數(shù)研究是基于牽引力和開口位移之間關系為線性這一假設［21-22］，其中Tan［23］使用數(shù)字圖像相關方法獲得內(nèi)聚力規(guī)律，并提出了三階段黏結(jié)界面本構(gòu)關系。

相較于三維模型，對二維模型進行數(shù)值模擬能夠得到更加直觀的結(jié)果并減少大量的計算量，得到的結(jié)果也具有一定的可靠性。用二維的平面模型來表征三維的實體結(jié)構(gòu)時，通常是參考三維實體的截面幾何分布，但值得注意的是二維截面并不一定是三維顆粒的最大截面，即截面中的顆粒面積大小并不能表征顆粒體積的大小。因此本研究將通過隨機生成三級配圓，并采用大級配最大化方法，以達到所有圓面積總和最大化的目的，這與PBX 壓制工藝中采用級配以增加顆粒體積比的思想相一致。本研究基于Voronoi 方法，對于PBX 細觀幾何結(jié)構(gòu)上的建模進行改進，建立更加符合實際的不同級配下晶粒分布的二維幾何模型。在此基礎上建立二維代表體積元，采用三階段黏結(jié)界面損傷本構(gòu)關系，對含有細觀結(jié)構(gòu)的PBX-9501 進行靜態(tài)拉伸下的界面脫粘數(shù)值模擬，研究靜態(tài)拉伸下顆粒與黏結(jié)劑界面力學行為。

2 具有細觀結(jié)構(gòu)特征的PBX 幾何建模

2.1 PBX 幾何建模布種

運用隨機模擬方法，在給定區(qū)域生成3 種類型的圓形顆粒，將所有圓稱為種子，圓半徑稱為種子大小。每個種子除了位置坐標信息外，還有種子大小的信息。

運用Matlab 軟件，首先在S=1 mm×1 mm 區(qū)域內(nèi)隨機產(chǎn)生N=106個點，由隨機產(chǎn)生的點為圓心，以半徑為r1=50 μm 依次作圓，后產(chǎn)生的圓與之前的圓不能相交，且與之前產(chǎn)生的圓中至少存在一個滿足（1）式關系：

式中，L為兩圓之間的距離，r為存在的圓的半徑，δ1為控制參數(shù)，本研究中取值為2，遍歷所有的隨機點。同理逐次產(chǎn)生r2=12.5 μm，r3=3 μm 的圓（控制參數(shù)同樣取2），分別在S區(qū)域內(nèi)生成大種子79 個，中種子379個，小種子3534 個，如圖1 所示。

圖1 三級配顆粒逐步布種Fig.1 Seed distribution of three graded particles gradually

2.2 生成Voronoi 模型

由種子位置信息生成Voronoi 圖，在Matlab 軟件中生成CAD 命令流文件，并將每一個Thiessen 多邊形縮放形成黏結(jié)劑層，縮放為向內(nèi)偏移m/2=0.5 μm，生成黏結(jié)劑厚度m=1 μm 的模型，如圖2 所示。由于顆粒采用的是三級配，而且Voronoi 方法生成的模型只用到了種子的位置信息，所以明顯可觀測到由大種子生成的Thiessen 多邊形面積偏小，由大種子周圍的小種子生成Thiessen 多邊形成條狀的散射狀。

2.3 改進的幾何模型

Thiessen 多邊形的每個頂點對應Delaunay 三角形的外心［18］，是由3 個種子的位置信息確定。如圖3所示，圖3a 中O點為修改前的頂點位置，圖3b 中O點為修改后的頂點位置，將每個頂點的位置進行修改，加入種子大小的信息，為了保證所得頂點仍然在三角形內(nèi)部，并且頂點位置更加偏向小種子，采用面積加權(quán)來重新確定多邊形的頂點位置O，使得頂點與三角形組成的3 個三角形的面積之間滿足（2）式：

圖3 在Delaunay 三角形中重新生成多邊形頂點Fig.3 Regenerating polygon points in Delaunay triangles

則可得頂點坐標為：

由修改后的多邊形同樣縮放形成黏結(jié)劑層，縮放為向內(nèi)偏移m/2=0.5 μm，生成黏結(jié)劑厚度m=1 μm的模型，如圖4 所示，模型顆粒面積分數(shù)為90.5%，黏結(jié)劑面積分數(shù)為9.5%。改進后的模型與種子的契合度明顯提升，顆粒為三級配時比Voronoi 圖模型更加符合PBX 實際細觀結(jié)構(gòu)，但仍存在大顆粒多邊形趨于圓形的缺點。模型的顆粒分布如圖5 所示，其中圖5a為不同面積顆粒數(shù)量分布，圖5b 為不同面積的顆粒面積分布，從中可以得出模型具有小顆粒數(shù)量多、大顆粒與小顆粒面積占比相當、中顆粒面積占比最少的特征。

圖4 改進后的模型Fig.4 Improved model

圖5 模型中的顆粒分布Fig.5 Particle distribution in model

3 PBX-9501 靜態(tài)拉伸下的界面脫粘數(shù)值模擬

3.1 有限元單元劃分

采用有限元方法模擬PBX-9501 在準靜態(tài)拉伸下的斷裂行為，所有仿真均在Abaqus 軟件中實現(xiàn)。選取模型中區(qū)域0.2 mm×0.2 mm（圖4 中的紅色區(qū)域），生成草圖導入Abaqus 建立幾何模型，并作為PBX-9501周期性邊界條件代表體積元，如圖6 所示。

圖6 在Abaqus 中建立模型Fig.6 Modeling in Abaqus

網(wǎng)格和加載邊界如圖7 所示。顆粒與黏結(jié)劑實體均采用三角形平面應變單元，約有11000 個。在黏結(jié)劑內(nèi)部及顆粒與黏結(jié)劑界面插入黏結(jié)面單元，約有7000 個。左邊界固定x方向位移，下邊界固定y方向位移，在上邊界加載y方向位移。

圖7 約束與載荷邊界條件及網(wǎng)格劃分Fig.7 Boundary conditions and meshing

3.2 顆粒與黏結(jié)劑界面的本構(gòu)模型

大量實驗結(jié)果表明，在拉伸載荷作用下，PBX 的主要損傷形式為界面脫粘。PBX-9501 在拉伸下的細觀裂紋路徑如圖8 所示。由圖8 可見，在拉伸載荷作用下PBX-9501 明顯存在一條主裂紋路徑，裂紋主要沿顆粒的邊緣擴展［19］。

圖8 拉伸載荷下PBX-9501 的微觀裂紋路徑［19］Fig.8 The microscopic crack path of PBX-9501 under tensile loading［19］

PBX 在拉伸下的斷裂行為受到晶體間界面性質(zhì)的顯著影響［20］，但是界面屬性很難描述。大多數(shù)研究假設牽引力和開口位移之間的關系是線性的［21-22］，Tan［23］使用數(shù)字圖像相關方法獲得內(nèi)聚力規(guī)律，并提出了一個解析表達式。該表達式有3 個參數(shù)：黏合強度最大值、剛度和退化剛度

式中，σint為界面法線應力，ur為開口位移。如圖9 所示，該關系由3 個線性階段組成。

圖9 界面法向力與張開位移的關系Fig.9 The relationship between the normal stress and the opening displacement of interface

在數(shù)值模擬中，由彈性實體單元與黏結(jié)面單元共同描述黏結(jié)劑力學行為，其中彈性實體單元描述第一階段，黏結(jié)面單元描述第二、三階段，如圖10 所示。

圖10 黏結(jié)劑層本構(gòu)關系示意圖Fig.10 Diagram of the constitutive of the binder layer

切向應力與切向位移的關系與法向關系相同。參考文獻［24］中的參數(shù)選取，界面黏結(jié)強度為1.66 MPa，剛度為1.55 GPa·μm-1，退化剛度為17 MPa·mm-1；黏結(jié)劑假定為線彈性，彈性模量為1 MPa，泊松比為0.499；晶體顆粒假定為線彈性，彈性模量為30 GPa，泊松比為0.322。

4 結(jié)果與討論

本研究通過隨機生成三級配圓，并采用大級配最大化方法，建立了不同級配下晶粒分布的二維幾何模型，采用三階段黏結(jié)界面損傷本構(gòu)關系及有限元方法模擬了PBX-9501 在準靜態(tài)拉伸條件下無初始損傷模型的斷裂過程。為了驗證模擬的有效性，將模擬得到的拉應力應變關系結(jié)果在圖11 中用實線表示，將文獻［25］中PBX-9501 巴西圓盤實驗數(shù)據(jù)在圖11 中用虛線表示，對比表明：在數(shù)值模擬與實驗中具有幾乎相同的拉伸強度和初始剛度，但在數(shù)值模擬中明顯存在一個較大的剛度退化階段，而實驗結(jié)果的剛度退化不明顯；在數(shù)值模擬結(jié)果中曲線末端出現(xiàn)波動，但實驗曲線只有上升階段而無下降階段。分析產(chǎn)生差異的原因：一是因為數(shù)值模擬的對象為代表性體積單元，尺寸小，單個微裂紋的產(chǎn)生對整個材料影響大，而實驗對象的尺寸很大，單個微裂紋的產(chǎn)生對整個材料影響小，所以在數(shù)值模擬中出現(xiàn)波動，而實驗中波動不明顯；二是采用靜態(tài)加載方式，數(shù)值模擬出現(xiàn)下降段是因為在該階段有靜態(tài)穩(wěn)定解，實驗無下降段是因為在該階段無靜態(tài)穩(wěn)定解，裂紋產(chǎn)生過程的靜態(tài)穩(wěn)定性與對象尺寸相關，所以實驗中只有上升階段而無下降段，而數(shù)值模擬中有下降段。

圖11 拉應力應變關系的數(shù)值模擬與實驗數(shù)據(jù)［25］結(jié)果對比Fig.11 Comparison of the stress-strain relationsip of simulation with the experimental data［25］

圖12 為模擬中PBX-9501 主要裂紋的形成過程，其 中a、b、c 分 別 為y方 向 應 變 為0.0015、0.0025、0.0027 時的微裂紋的形成及分布。由于PBX-9501 顆粒的剛度遠遠大于黏結(jié)劑剛度，在數(shù)值模擬中接近剛性體的變形行為。從圖12 可以看出，界面剛度退化以及微裂紋的產(chǎn)生是由于PBX-9501 整體變形的協(xié)調(diào)性與嚴重的局部剛度不均勻之間的矛盾所引起的。過大的局部剛度需要釋放，整體上主裂紋方向垂直于應變加載方向，并沿大顆粒邊界擴展；局部裂紋的產(chǎn)生與顆粒間相對位移相關。圖13 為圖12c 中a、b、c 3 個區(qū)域放大圖，模擬中微裂紋產(chǎn)生的結(jié)果由圖13 可見，其中a為相鄰顆粒的相對錯開而產(chǎn)生的微裂紋，b 為相領顆粒相對張開而產(chǎn)的微裂紋，c 為相鄰顆粒的相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的微裂紋。

圖12 拉伸載荷下模型的斷裂過程Fig.12 Fracture process under tension

圖13 協(xié)調(diào)變形中微裂紋產(chǎn)生的3 種情況Fig.13 Three cases of microcracks in coordinated deformation

在圖11 中數(shù)值模擬與實驗結(jié)果存在的差異有以下原因。一是數(shù)值模擬的模型過于理想化，實際上PBX 內(nèi)部包含著大量不規(guī)則、跨尺度的孔隙［26-28］，以及PBX 在制備與存儲過程中在各種復雜載荷作用下使得部分界面產(chǎn)生剛度退化甚至產(chǎn)生微裂紋，會使得數(shù)值模擬的初始剛度偏高。 二是巴西圓盤實驗中PBX-9501 的應變與應力關系是在一定的假設下通過間接測量而得出，表現(xiàn)為當應力達到斷裂強度時PBX-9501 就產(chǎn)生宏觀裂紋。三是數(shù)值模擬結(jié)果與代表體積元的尺寸密切相關，存在尺寸效應。從應變和能量兩個角度分析收斂性，如圖14 所示。

圖14 從兩種角度分析收斂性Fig.14 Analysis of convergence from two perspectives

從應變的角度來看，如圖14a，其中εmax為最大應力時對應的應變，δ為界面斷裂時的張開位移，在達到最大拉伸強度前，應變幾乎均勻產(chǎn)生于代表體積元，而達到最大拉伸強度之后應變的產(chǎn)生主要來源于斷裂面之間的位移，代表體積元的尺寸越小則數(shù)值模擬的應變與應力關系中的剛度退化階段就越大。而當代表體積元的尺寸L足夠大，則無剛度退化階段。用數(shù)學公式可表達為

界面斷裂所需位移完全能夠由代表體積元應變減小而產(chǎn)生的位移提供，則數(shù)值模擬的應變與應力關系中剛度退化階段將不存在，達到最大應力時主裂紋產(chǎn)生過程不可能靜態(tài)平衡，是一個失穩(wěn)的過程，采用靜力隱式分析難以收斂。

從能量的角度分析，如圖14b，其中E為彈性能，U為斷裂能，代表體積元在最大應力時的彈性能正比于代表體積元尺寸的平方L2，而斷裂面所需能量正比于代表體積元的尺寸L。隨著L的增大，當彈性能大于斷裂能時裂紋的擴展不需要外界能量，主裂紋產(chǎn)生是一個失穩(wěn)的過程。用數(shù)學公式可表達為

盡管實際斷裂過程中所需的斷裂能與斷裂面相對位移并非簡單的線性關系，但同樣可以得出隨著代表體積元尺寸的增加進行有限元靜力隱式分析時收斂性越差的結(jié)論。

5 結(jié)論

考慮由到Voronoi 方法得到的模型的局限性，本研究首先通過隨機生成三級配圓，并采用大級配最大化方法，在Voronoi 方法的基礎上進行改進，建立了更加符合實際的不同級配下晶粒分布的二維幾何模型。改進后的模型中組分含量可通過黏結(jié)劑厚度調(diào)節(jié)，顆粒分布隨機，相對于單純的Voronoi方法得到的模型更加符合實際PBX 的細觀結(jié)構(gòu)。由改進后的模型建立二維代表體積元，采用三階段黏結(jié)界面損傷本構(gòu)關系，對含有細觀結(jié)構(gòu)的PBX-9501 進行靜態(tài)拉伸下的界面脫粘進行了數(shù)值模擬，研究了靜態(tài)拉伸下顆粒與黏結(jié)劑界面力學行為。結(jié)果表明，本研究建立的模型所模擬的應力-應變曲線與實驗數(shù)據(jù)對比存在較小的差異。本研究從PBX-9501 細觀結(jié)構(gòu)、實驗與數(shù)值模擬3 個方面分析了產(chǎn)生差異的來源，得出進行有限元隱式靜力分析界面脫粘行為時代表體積元的尺寸越大則收斂性越差的結(jié)論。