邵慧敏，劉蒙蒙，宋方應(yīng)

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

考慮水平夾板中處在重力場下的靜止流體，其下層比上層熱. 當(dāng)上下層的溫差相對于流體黏性及熱導(dǎo)系數(shù)適當(dāng)大時，該靜止?fàn)顟B(tài)將會不穩(wěn)定，即對該狀態(tài)進(jìn)行微小擾動，則擾動會進(jìn)一步放大. 特別地，下層輕的熱流體向上運動，上層重的冷流體向下運動，形成熱對流現(xiàn)象. 目前熱對流不穩(wěn)定性問題(也稱Rayleigh-Bénard問題)已被廣泛研究，本研究主要討論磁流體中的熱對流問題.

1951年，Thompson[1]首次研究外加磁場對磁流體中熱不穩(wěn)定性的影響. 后來Chandr-asekhar[2]理論上發(fā)現(xiàn)磁場具有抑制熱不穩(wěn)定性的作用. 該理論結(jié)果被Nakagawa[3]在物理實驗上驗證. 1985年，Galdi[4]則通過有磁耗散的磁Boussinesq方程數(shù)學(xué)上嚴(yán)格驗證了該抑制現(xiàn)象. 最近，Jiang等[5]進(jìn)一步給出無磁耗散情形的數(shù)學(xué)證明. 本研究則在文獻(xiàn)[5]的研究基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮旋轉(zhuǎn)下的無磁耗散的磁Rayleigh-Bénard問題，其中數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

下面簡要介紹上述模型中的數(shù)學(xué)符號.

由于考慮上述模型的解是水平周期運動的，因此引入如下有限高且水平方向上是周期的區(qū)域：Ωh:={(xh,x3)∈R3|xh:=(x1,x2)∈T, 00，2πL2>0是水平兩個方向的周期長度.該區(qū)域的邊界記為?Ωh:=T×{0,h}.

(2)

現(xiàn)在，沿式(1)的平衡態(tài)進(jìn)行微擾，則有如下擾動量表示：

則擾動量(v,θ,N,β)滿足如下擾動方程組:

(3)

給予如下初邊值條件：

(v,θ,N)cct=0=(v0,θ0,N0)， (v,θ)|?Ωh=0

(4)

結(jié)果，旋轉(zhuǎn)下磁Rayleigh-Bénard問題的穩(wěn)定性問題可歸結(jié)為初邊值問題(3)～(4)是否存在穩(wěn)定性解.

1 拉格朗日坐標(biāo)變換

由于直接研究初邊值問題(3)～(4)的穩(wěn)定性是很困難的，將該問題轉(zhuǎn)化到拉格朗日坐標(biāo)系下. 為此，定義可逆映射ζ0:=ζ0(y):Ωh→Ωh，其滿足?Ωh=ζ0(?Ωh)，det?ζ0=1.并定義流映射ζ為初始值問題ζt(y,t)=v(ζ(y,t),t)和ζ(y, 0)=ζ0的解.

(5)

(6)

(7)

(η, ?,u)|t=0=(η0, ?0,u0)，(η, ?,u)|?Ω=0

(8)

結(jié)果，初邊值問題(3)～(4)是否存在穩(wěn)定性解可歸結(jié)為變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)～(8)是否存在穩(wěn)定性解.

2 主要結(jié)果

主要建立起變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)～(8)的穩(wěn)定性條件，并在該條件下給出變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)～(8)存在穩(wěn)定性解. 在給出主要結(jié)果之前，需要介紹一些簡化符號.

現(xiàn)在給出本研究的主要結(jié)果.

2)ζ0:=y+η0滿足?Ωh=ζ0(?Ωh)和det?ζ0=1;

(9)

注2由于穩(wěn)定性條件與角速度a無關(guān)，因此定理1的結(jié)果表明旋轉(zhuǎn)應(yīng)該不具有促進(jìn)磁流體中的熱不穩(wěn)定性產(chǎn)生的作用.

注3當(dāng)δ>0充分小時，有ζ:=η+y:Ω→Ω是微分同胚映射，因此可通過無量綱處理的逆過程，以及拉格朗日坐標(biāo)逆變換得到初邊值問題(3)～(4)的穩(wěn)定性解，且該解關(guān)于時間代數(shù)衰減.

3 定理1的證明

類似于文[6]中的線性迭代方法，很容易建立起變換磁Rayleigh-Bénard問題(7)～(8) 的關(guān)于時間局部解存在性結(jié)果，因此為了得到定理1的全局存在性結(jié)果及穩(wěn)定性估計(9)，只需建立起先驗穩(wěn)定性估計(9)即可. 為此，令(η,u, ?)及q為問題(7)～(8)的古典解，并且對于任意給定的T>0，滿足：

(10)

det(I+?η0)=1

(11)

其中，δ是充分小的，只依賴于已知的物理參數(shù). 則通過類似于文[5]的標(biāo)準(zhǔn)能量方法，很容易得到下列低階、高階和最高階能量不等式.

(12)

(13)

(14)

結(jié)果可知：

(15)

從而

(16)

對式(13)的t進(jìn)行積分，可得：

(17)

(18)

則可從式(16)～(17)推出：

從而

(19)

(20)