張順芹,朱雪格,劉曉薇

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250301

近年來(lái),外來(lái)物種入侵逐漸成為人們熱議的話題,同樣也引起了許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注,為此他們建立了競(jìng)爭(zhēng)模型[1]從生物數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行了研究。隨著研究的深入,發(fā)現(xiàn)在有界的特定區(qū)域上建立的競(jìng)爭(zhēng)模型具有一定的理論缺陷,因此數(shù)學(xué)家們引入了自由邊界來(lái)避開(kāi)這些缺陷,自由邊界的生態(tài)背景可參考[2]。

目前帶自由邊界條件的競(jìng)爭(zhēng)模型已經(jīng)有了廣泛的研究。例如,王明新和趙景服[3-4]考慮了帶Dirichlet和Neumann邊界條件的一維空間反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)模型,證明了在強(qiáng)-弱、弱-強(qiáng)兩種情形下入侵物種擴(kuò)張和消失二擇一性質(zhì)成立,并且給出了物種擴(kuò)張時(shí)自由邊界漸近擴(kuò)張速度的一個(gè)估計(jì)。郭忠勝等[5]研究了帶Neumann邊界條件的強(qiáng)-弱情形,證明了兩個(gè)物種擴(kuò)張時(shí),存在一個(gè)臨界值,使得當(dāng)其領(lǐng)地范圍大小高于該值時(shí),優(yōu)勢(shì)競(jìng)爭(zhēng)物種總是能夠成功擴(kuò)張。杜一宏等[6]提出了具有Neumann邊界條件的高維空間反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)模型來(lái)描述入侵物種的傳播,討論了強(qiáng)-弱、弱-強(qiáng)兩種情形,并給出了u發(fā)生擴(kuò)張時(shí)擴(kuò)張速度的一個(gè)粗略估計(jì)。

上述研究都是針對(duì)于Dirichlet和Neumann邊界條件,而關(guān)于Robin 邊界條件的研究卻極少,因?yàn)閹obin邊界的競(jìng)爭(zhēng)模型更符合某些實(shí)際情況中的物種傳播過(guò)程,具有理論意義和實(shí)際意義[7-9],所以本文我們主要考慮以下帶Robin自由邊界的Lotka-Volterra模型:

其中x=h(t)是待確定的移動(dòng)邊界,h0,μ,di,ai,bi,ci(i=1,2)是給定的正常數(shù),初始函數(shù)u0,v0滿足

本文主要討論了u是劣勢(shì)競(jìng)爭(zhēng)者的情形,即

1 初步結(jié)果

類似參考文獻(xiàn)[6]的方法,我們得到(H1)解的全局存在性,即:

引理1.1對(duì)于滿足(H2)的(u0,v0)和任意的α∈(0,1),存在一個(gè)T>0,L>0使得當(dāng)u(a1-b1u-c1v)≤L(u+v),v(a2-b2u-c2v)≤L(u+v)時(shí),對(duì)任意t>0,問(wèn)題(H1)有唯一有界解:

(u,v,h)∈C(1+α)/2,1+α(DT)×C(1+α)/2,1+α(DT)×C1+α/2([0,T]);

且‖u‖C(1+α)/2,1+α(DT)+‖v‖C(1+α)/2,1+α(DT)+‖h‖C1+α/2([0,T])≤C,

其中DT:={(t,x)∈R2:t∈[0,T],x∈[0,h(t)]},C和T只取決于h0,α,‖u0‖C2([0,h0])和‖v0‖C2([0,h0])。

令(u,v,h)是(H1)的唯一有界解,則

利用引理1.2,易知下列定理成立。

引理1.3 問(wèn)題(H1)有唯一的一致有界解(u,v,h),即在t>0上都有解,存在常數(shù)M1和M2使得

0

0

并且存在一個(gè)常數(shù)M3使得

0

而且(H1)沒(méi)有任何無(wú)界解。

2 解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為

證明:當(dāng)t>0,x∈[0,h(t)]時(shí),由比較原理得u(t,x)≤u*(t),其中

是問(wèn)題

的解

令v*是下列問(wèn)題

現(xiàn)在(u,v)滿足

證明:首先根據(jù)比較原則

當(dāng)t>0,0≤x<∞時(shí),有v(t,x)≥δe(-b2M1-c2M2)t。

然后考慮下列問(wèn)題:

根據(jù)比較原理u(t,x)≤z(t),v(t,x)≥w(t),t≥t1,0≤x≤∞。在假設(shè)條件

直接計(jì)算可得

在[T*,t]上積分得

因?yàn)?a1-b1u(t,x)-c1v(t,x))≤0,t≥T*,0≤x<∞,我們有

則h∞<∞。

定理2.2表明劣勢(shì)競(jìng)爭(zhēng)者不可能深入到一個(gè)建立良好的本地物種棲息地,它在入侵的鋒線到達(dá)一定的有限限制位置之前就滅絕了。

定理2.3 如果(H3)成立,則對(duì)于所有的μ>0有h∞<∞。