匡開(kāi)鋒

（中國(guó)船舶集團(tuán)公司第七一五研究所，浙江 杭州 310023）

0 引言

共形陣列能夠同物體外形保持一致，其低剖面特性使得天線對(duì)運(yùn)動(dòng)載體氣動(dòng)特性的影響較小，亦能有效地減小天線體積、節(jié)省安裝空間。將共形陣列貼合載體安裝進(jìn)行無(wú)線電測(cè)向，是其重要應(yīng)用之一[1]。然而，其特殊的陣列結(jié)構(gòu)和復(fù)雜的電磁環(huán)境，使得經(jīng)典的基于標(biāo)量陣列的算法難以直接應(yīng)用。陣列流形內(nèi)插、波束空間變換等方法可以將不規(guī)則陣列映射成虛擬的均勻陣列。FRIEDLANDER等人提出了利用陣列流形內(nèi)插技術(shù)將任意陣列結(jié)構(gòu)變換為虛擬的均勻陣列的方法[2]，GERSHMAN等人研究了不依賴于陣列幾何的信號(hào)波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）快速估計(jì)方法[3]，并提出了用于任意陣形的Fourier Domain MUSIC 方法[4]。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]引入子陣劃分方法，分別結(jié)合MUSIC 和ESPRINT 算法實(shí)現(xiàn)了基于共形陣列的信號(hào)DOA估計(jì)，但是估計(jì)精度受內(nèi)插誤差的影響。BELLONI 等提出的流形分離技術(shù)[7]，可將任意陣列的導(dǎo)向矢量分解表示成采樣矩陣與具有范德蒙結(jié)構(gòu)的矢量的乘積，進(jìn)而可將適用于線陣的信號(hào)DOA估計(jì)方法拓展到任意陣列。

利用信號(hào)的非圓特性可增加獲取信息的維度。數(shù)據(jù)信息越充分，對(duì)于增加信源分辨?zhèn)€數(shù)和提高測(cè)向精度的作用越明顯。共形陣列在機(jī)載雷達(dá)、艦載通信終端等平臺(tái)的應(yīng)用日益廣泛，然而利用信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性提升其探測(cè)性能的研究并不多見(jiàn)[8]。本文基于拋物面共形陣列，針對(duì)非圓信號(hào)入射的情形，結(jié)合流形分離技術(shù)和多項(xiàng)式求根方法，實(shí)現(xiàn)共形陣列非圓信號(hào)DOA 的快速估計(jì)，并利用仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

1 共形陣列非圓信號(hào)數(shù)據(jù)接收模型

1.1 非圓信號(hào)的定義

信號(hào)s和其旋轉(zhuǎn)任意相位的信號(hào)得到的sejθ，若滿足E{sejθ}=E{s}，E{sejθ(sejθ)*}=E{ss*}，E{sejθ·sejθ}=E{ss}，即兩者的一階和二階統(tǒng)計(jì)特性符合旋轉(zhuǎn)不變，則稱s為圓信號(hào)。若不符合，則稱s為非圓信號(hào)。對(duì)于信號(hào)s，有：

式中：非負(fù)實(shí)數(shù)ρ∈[0,1]叫做信號(hào)非圓率，φ代表信號(hào)非圓相位，σs2是信號(hào)功率。當(dāng)0＜ρ≤1，信號(hào)是非圓的，ρ為1 的信號(hào)稱為完全非圓信號(hào)。完全非圓信號(hào)可由實(shí)信號(hào)移相得到。本文基于完全非圓信號(hào)進(jìn)行研究，其信號(hào)矢量s可寫(xiě)成：

1.2 陣列接收模型

圖1 所示為一拋物面共形陣列，假設(shè)陣元數(shù)為M，遠(yuǎn)場(chǎng)P個(gè)窄帶信號(hào)以角度(θi,φi)入射到該陣列上。

圖1 拋物面共形天線陣列

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，暫不考慮互耦和極化的影響。此時(shí)陣列輸出信號(hào)矢量可以表示為：

式中：F=[f(φ1)，f(φ2)，…，f(φp)]表示陣列方向圖矩陣，其第m列矢量f(φp)對(duì)應(yīng)于第p個(gè)信號(hào)的響應(yīng)矢量，s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sP(t)]T是P維信號(hào)的信號(hào)矢量；n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T表示陣列的噪聲矢量，其中nk(t)為第k個(gè)接收通道的加性測(cè)量噪 聲，k=1,2,…,M；A=[a(φ1)，a(φ2)，…，a(φM)] 是陣列空間相位矩陣，其列矢量aφm的第m個(gè)元素可以表示為：

式中：k=2π/λ，λ為信號(hào)波長(zhǎng)，(xi,yi)對(duì)應(yīng)于陣元中心的位置坐標(biāo)。實(shí)際應(yīng)用中需利用陣列觀測(cè)進(jìn)行估計(jì)，可獲得輸出矢量x(t)的K次快拍數(shù)據(jù)。陣列輸出的協(xié)方差矩陣為：

2 流形分離技術(shù)

流形分離技術(shù)可將導(dǎo)向矢量分解成采樣矩陣與范德蒙結(jié)構(gòu)向量的乘積。其中，采樣矩陣描述陣列自身的信息，而范德蒙結(jié)構(gòu)矢量只與信號(hào)有關(guān)，反映了角度特征，從而使得標(biāo)量陣列免搜索算法得以應(yīng)用。

在極坐標(biāo)系下，陣列導(dǎo)向矢量可表示為：

式中：(rm,γm)為第n個(gè)陣元的極坐標(biāo)，fm(φp)表示第m個(gè)陣元對(duì)應(yīng)于第p個(gè)信號(hào)的響應(yīng)。利用Jacobi-Anger 將式（6）展開(kāi)：

式中：Jh(·)為h階第一類Bessel 函數(shù)，fm(φp)是φp的周期函數(shù)，可以用傅里葉系數(shù)表示為：

將式（8）代入式（7）可得：

式中：[Gs]mn為采樣矩陣中Gs的第(m,n)個(gè)元素。采樣矩陣Gs只與陣列自身信息有關(guān)，而與入射信號(hào)無(wú)關(guān)。

令d(φp)=e-jnφp，n=…,-2,-1,0,1,2,…，則式（9）可改寫(xiě)為：

實(shí)際中，采樣矩陣可通過(guò)陣列測(cè)量數(shù)據(jù)獲取。令角度測(cè)量的集合為表示測(cè)量點(diǎn)數(shù)。將信源在方位角φ∈[-π,π)上移動(dòng)，測(cè)得陣列在遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射時(shí)相應(yīng)的流形矢量矩陣，記為A＇=[a＇(φ1),…,a＇(φQ)]∈CM×Q，對(duì)每行數(shù)據(jù)進(jìn)行Q點(diǎn)的離散傅里葉逆變換（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT），則第m行可以表示為：

式中：g=Qt-n，p=Qt+n，第一項(xiàng)為采樣矩陣的元素，而第二項(xiàng)是由于角度域的采樣產(chǎn)生的Q點(diǎn)的周期平移。由Bessel 函數(shù)的性質(zhì)可知，采樣矩陣Gs的幅度關(guān)于n對(duì)稱分布，且隨著|n|增大衰減越快，忽略較大|n|對(duì)應(yīng)的模式可得截?cái)嗟挠行Э讖椒植己瘮?shù)矩陣為：

ε(Qe,Q) 表示混疊及截?cái)嘁鸬恼`差，Qe=2Me+1。因此，在忽略模式截?cái)鄮?lái)誤差的條件下，綜合式（6）和式（13）可得：

3 共形陣列一維波達(dá)方向快速估計(jì)方法

考慮完全非圓信號(hào)入射的情形，利用信號(hào)的非圓特征對(duì)陣列輸出進(jìn)行擴(kuò)展，此時(shí)有：

非圓信號(hào)陣列輸出共軛矩非零，可得擴(kuò)展的陣列輸出協(xié)方差矩陣：

對(duì)擴(kuò)展協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解為：

矩陣B與Es張成的信號(hào)子空間相同，利用其與噪聲子空間的正交性可得共形陣列非圓信號(hào)MUSIC 空間譜表達(dá)式為：

式中：J(φ,φ)=b(φ,φ)HEnEnHb(φ,φ)，J(φ,φ)可以改寫(xiě)為：

En1，E2為兩個(gè)維數(shù)相同的子陣，且有：

由于d(φ)矢量具有范德蒙特性，可利用多項(xiàng)式求根方法來(lái)加快求解過(guò)程。令z=ejφ，此時(shí)d(φ)可以表示為信號(hào)DOA估計(jì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求根方且有：

式中m11，m12，m21具有如式（25）所示的形式。

式中：m11為關(guān)于z的多項(xiàng)式，其第l項(xiàng)的系數(shù)為矩陣GHEn1En1HG第l個(gè)對(duì)角線元素之和。其中，l=-Me+1 表示主對(duì)角線之下的最低對(duì)角元素，l=Me-1 表示主對(duì)角線之上的最高對(duì)角元素。令為多項(xiàng)式系數(shù)組成的列矢量，此時(shí)有：

同理，定義u為矩陣GHEn1En1HG*的反對(duì)角線元素之和對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)組成的列矢量，則有：

此時(shí)，式（24）可以改寫(xiě)為：

多項(xiàng)式det{M}的根可以通過(guò)方程求解得到。由于該多項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱性，所以這些根關(guān)于單位圓共軛成對(duì)出現(xiàn)。此處選取單位圓以內(nèi)最接近單位圓的根zd來(lái)進(jìn)行信號(hào)DOA 估計(jì)：

4 計(jì)算機(jī)仿真

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)一

拋物面陣列陣元如圖1 所示進(jìn)行放置，表面陣元位置分布函數(shù)為x=-0.2y2，陣元方向圖為f(φ)=(1+cosφ)/2。陣元個(gè)數(shù)為11，EADF 矩陣的第一行幅度隨模式數(shù)變化的曲線如圖2 所示。實(shí)驗(yàn)中取模式數(shù)Qe=31，入射信號(hào)的方位角為[10，20]，固定快拍數(shù)為100，進(jìn)行200 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。角度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化的曲線如圖3所示?？梢钥闯?，本文所提算法的角度估計(jì)均方根誤差隨著信噪比的增大而逐漸變小，信號(hào)非圓特征得到利用，使得接收數(shù)據(jù)信息更為充分。所提算法在低信噪比、短快拍下的估計(jì)結(jié)果優(yōu)于常規(guī)root-MUSIC算法。

圖2 EADF 矩陣幅度隨模式數(shù)變換曲線圖

圖3 角度估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化曲線

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)二

仿真實(shí)驗(yàn)二討論快拍數(shù)對(duì)算法估計(jì)性能的影響。實(shí)驗(yàn)中取模式數(shù)Qe=31，入射信號(hào)的方位角為[10，20]，固定信噪比為5 dB，進(jìn)行200 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。快拍數(shù)從50 到500 變化時(shí)，角度估計(jì)均方根誤差的變化曲線如圖4 所示?？梢钥闯觯S著快拍數(shù)增大，本文所提算法的估計(jì)效果逐漸變好，且估計(jì)精度較高。

圖4 角度估計(jì)均方根誤差隨快拍數(shù)變換曲線

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)復(fù)雜載體共形陣列，通過(guò)對(duì)陣列導(dǎo)向矢量進(jìn)行分解，建立其與范德蒙結(jié)構(gòu)矢量的聯(lián)系，能夠使得標(biāo)量陣列的免搜索方法得以應(yīng)用。針對(duì)非圓信號(hào)入射的情形，結(jié)合流形分離技術(shù)和求根MUSIC方法，本文提出了一種任意曲面共形陣列非圓信號(hào)閉式DOA 估計(jì)方法。所提方法用多項(xiàng)式求根替代了譜峰搜索過(guò)程，降低了運(yùn)算量，非圓孔徑的擴(kuò)展也使得估計(jì)精度也得到提升。該方法在短快拍、低信噪比環(huán)境下具有較好的估計(jì)效果，數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證了算法的優(yōu)良性能。