付雅婷，朱虹燕，楊輝

(1.華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.江西省先進(jìn)控制與優(yōu)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013)

重載列車(chē)在鐵路貨物運(yùn)輸中起著重要作用，高牽引性能能使列車(chē)更好地運(yùn)行，重載列車(chē)的牽引力由車(chē)輪和軌道之間的黏著力實(shí)現(xiàn)，黏著力由輪軌之間的黏著系數(shù)決定[1]。當(dāng)軌面條件不好時(shí)，車(chē)輪的牽引轉(zhuǎn)矩超過(guò)輪軌可提供的最大黏著力，會(huì)發(fā)生滑動(dòng)或者空轉(zhuǎn)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象會(huì)造成輪軌磨損、列車(chē)牽引性能下降等不良影響，所以對(duì)重載列車(chē)的黏著優(yōu)化控制研究具有重要的實(shí)際意義[2]。當(dāng)前重載列車(chē)黏著控制主要分為2個(gè)方向，分別是再黏著控制和黏著優(yōu)化控制，再黏著控制指的是在列車(chē)空轉(zhuǎn)之后，使輪軌重回黏著狀態(tài)的控制方法。傳統(tǒng)的再黏著控制的主要方法是校正法，校正型系統(tǒng)的閾值設(shè)定要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)研究，若參數(shù)調(diào)定不正確會(huì)影響機(jī)車(chē)牽引性能的發(fā)揮[3]。針對(duì)空轉(zhuǎn)之后再黏著的問(wèn)題，KONDO[4]提出了一種基于蠕滑加速度的再黏著牽引轉(zhuǎn)矩指令生成方法，通過(guò)仿真計(jì)算驗(yàn)證了該黏著控制系統(tǒng)性能；PICHLIK等[5]利用無(wú)跡卡爾曼濾波估計(jì)黏著系數(shù)后再使用PI控制器實(shí)現(xiàn)再黏著控制。黏著優(yōu)化控制則是以黏著特性曲線(xiàn)峰值點(diǎn)為目標(biāo)，同時(shí)保持輪軌工作點(diǎn)始終位于黏著特性曲線(xiàn)的穩(wěn)定區(qū)，其克服了校正法的不足，獲得了相對(duì)更高的黏著利用率。近年來(lái)，關(guān)于黏著優(yōu)化的控制策略取得了一定的成果。趙凱輝等[6]利用滑模極值搜索算法搜索得到黏著系數(shù)最優(yōu)點(diǎn)，并設(shè)計(jì)超螺旋控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)列車(chē)最優(yōu)黏著控制；ZHAO等[7]設(shè)計(jì)基于對(duì)稱(chēng)障礙李雅普諾夫函數(shù)的控制器對(duì)最優(yōu)蠕滑速度進(jìn)行跟蹤控制實(shí)現(xiàn)最優(yōu)黏著控制；李寧洲等[8]采用動(dòng)態(tài)多子群GSA-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)重載列車(chē)進(jìn)行黏著智能優(yōu)化控制；WEN等[9]提出基于分布式模型預(yù)測(cè)控制的黏著優(yōu)化控制。離散滑模變結(jié)構(gòu)控制因?yàn)閷?duì)系統(tǒng)的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，所以在計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制和工程上得到了較好的應(yīng)用。但是離散滑模系統(tǒng)未進(jìn)入滑模動(dòng)態(tài)前，穩(wěn)定性無(wú)法保證，針對(duì)此問(wèn)題，提出將積分項(xiàng)引入離散滑?？刂疲淠軌蛟谙到y(tǒng)開(kāi)始運(yùn)行時(shí)就抵消未知干擾的影響，增強(qiáng)了控制律的魯棒性。段文杰等[10]將離散積分滑模容錯(cuò)控制用于含多故障的衛(wèi)星控制系統(tǒng)中；鄭長(zhǎng)明等[11]針對(duì)永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的不確定性和容易受到擾動(dòng)影響的問(wèn)題，提出離散比例-積分滑?？刂疲朔€(wěn)態(tài)誤差并實(shí)現(xiàn)了全程魯棒性，得到了較好的效果。鑒于此，本研究針對(duì)重載列車(chē)安全平穩(wěn)行車(chē)、提高牽引利用率的需求，提出基于離散積分滑?？刂品椒?，對(duì)最優(yōu)蠕滑速度進(jìn)行跟蹤控制，同時(shí)采用一步延遲估計(jì)方法對(duì)系統(tǒng)不確定性估計(jì)以此提高控制器的精確性。通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證，所設(shè)計(jì)的跟蹤控制器能夠?qū)ψ顑?yōu)蠕滑速度進(jìn)行精確快速的跟蹤。

1 重載列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型和黏著特性

1.1 重載列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型

重載列車(chē)牽引系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為重載機(jī)車(chē)輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型和機(jī)車(chē)車(chē)體運(yùn)動(dòng)方程2部分。

忽略阻尼系數(shù)，牽引電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為[6]：

上述各式中，Tm為牽引電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，N·m；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，N·m；ωm為電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度，rad/s；ωd為輪對(duì)角速度，rad/s；r為輪對(duì)半徑，m；vd為輪對(duì)線(xiàn)速度，m/s，vt為列車(chē)前進(jìn)速度，m/s；vs為列車(chē)蠕滑速度；Jm為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；Fμ為輪軌間的黏著力，N；Rg為齒輪箱轉(zhuǎn)速傳遞比；M為列車(chē)質(zhì)量，kg；Fμi為第i軸牽引電機(jī)產(chǎn)生的牽引力，N；Fd為列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中的阻力，N，與車(chē)體速度vt相關(guān)；Wg為列車(chē)單軸軸重，kg；l，m和n為經(jīng)驗(yàn)阻力系數(shù)，均為正常數(shù)。

1.2 輪軌黏著特性分析

列車(chē)在牽引過(guò)程中，輪對(duì)速度vd大于機(jī)車(chē)前進(jìn)速度vt，定義蠕滑速度為輪對(duì)速度vd與機(jī)車(chē)速度vt之間的速度差，公式如下 ：

式中：a,b,c和d為軌面條件參數(shù)，均為正常數(shù)。

圖1所示為3種不同軌面下的黏著特性曲線(xiàn)。由圖1可知，不同軌面下的黏著系數(shù)是不同的，但在不同路況下都存在最大值，且隨著蠕滑速度的增大黏著系數(shù)都呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。峰值點(diǎn)左側(cè)是黏著區(qū)，峰值點(diǎn)右側(cè)是滑動(dòng)區(qū)。在黏著區(qū)dμ/dvs>0，在滑動(dòng)區(qū)dμ/dvs<0，在最大值處dμ/dvs=0。

圖1 黏著特性曲線(xiàn)Fig.1 Adhesion characteristic curves

2 最優(yōu)蠕滑速度參考值設(shè)定

2.1 觀測(cè)黏著系數(shù)

輪軌表面的黏著系數(shù)無(wú)法直接測(cè)量，因此提出一種串聯(lián)滑模觀測(cè)器來(lái)觀察黏著系數(shù)，在重載列車(chē)實(shí)際運(yùn)行中，牽引電機(jī)的角速度ωm和轉(zhuǎn)角θm是可測(cè)的，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL不可測(cè)。通過(guò)對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的測(cè)量可以得到黏著系數(shù)的觀測(cè)值[14]。

選擇狀態(tài)變量x1=θm,x2=ωm,x3=TL，根據(jù)式(1)，可以得到:

串聯(lián)觀測(cè)器公式如下：

2.2 黏著特性曲線(xiàn)斜率估計(jì)

黏著特性曲線(xiàn)斜率估計(jì)值?μ采用帶有遺忘因子的最小二乘法(IRLS)進(jìn)行估計(jì)，IRLS算法的更新規(guī)則可以表示為[15].

在式(16)中，γ為指數(shù)加權(quán)因子，P為誤差協(xié)方差，λ為遺忘因子，φ(k)=dvs/dt，為了實(shí)時(shí)反映蠕滑速度的變化，需要對(duì)遺忘因子進(jìn)行合適的設(shè)置，然后得到黏著特性曲線(xiàn)斜率的估計(jì)值

2.3 最優(yōu)蠕滑速度搜索

使用梯度下降法自動(dòng)迭代搜索蠕滑速度，得到最優(yōu)蠕滑速度參考值。

其中：α(n)是設(shè)計(jì)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)步長(zhǎng)函數(shù)；α0為初始學(xué)習(xí)步長(zhǎng)；A,B,ρ和α0都是需要設(shè)置的參數(shù)。

當(dāng)黏著峰值點(diǎn)在黏著特性曲線(xiàn)左側(cè)黏著區(qū)時(shí)，斜率?μ為正值，根據(jù)式(17)，此時(shí)vs會(huì)逐漸增加接近峰值點(diǎn)，當(dāng)在滑動(dòng)區(qū)時(shí)，由于斜率?為負(fù)值，vs會(huì)逐漸減小，當(dāng)斜率?μ=0時(shí)，搜索到最優(yōu)蠕滑速度vs(n+1)=vs(n)。

3 最優(yōu)蠕滑速度離散積分滑模跟蹤控制器

3.1 重載列車(chē)最優(yōu)黏著控制結(jié)構(gòu)

重載列車(chē)最優(yōu)黏著控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2包括串聯(lián)滑模觀測(cè)器、帶遺忘因子的最小二乘算法、最優(yōu)蠕滑速度搜索和離散積分滑模控制器4部分，首先牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子角度θm輸入串聯(lián)滑模觀測(cè)器再經(jīng)過(guò)式(7)得到實(shí)時(shí)黏著系數(shù)觀測(cè)值，然后帶遺忘因子的最小二乘法估計(jì)得到黏著特性曲線(xiàn)斜率?μ，再使用變步長(zhǎng)搜索算法對(duì)進(jìn)行判斷并搜索得到期望蠕滑速度v*s，最后離散積分滑模控制器根據(jù)實(shí)際蠕滑速度vs與給定期望蠕滑速度v*s之間的誤差來(lái)計(jì)算控制輸出牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩T*m，從而達(dá)到重載列車(chē)最優(yōu)黏著控制實(shí)現(xiàn)的目的。

圖2 最優(yōu)黏著系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Control block diagram of optimal adhesion system

3.2 對(duì)系統(tǒng)不確定性估計(jì)的離散積分滑模跟蹤控制律設(shè)計(jì)

根據(jù)式(4)和式(5)，令x=vd-vt=vs，則重載列車(chē)模型可以轉(zhuǎn)換為：

假設(shè)采樣時(shí)間為T(mén)，利用前向歐拉法離散化式(19)描述的輪軌動(dòng)態(tài)方程：

令u(k)=Tm(k)，將建模未考慮到的因素和離散化產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為系統(tǒng)不確定性?(k)，則式(20)可以整理為：

首先，定義重載列車(chē)的離散蠕滑速度跟蹤誤差

式中：v*s(k)，vs(k)和e(k)分別為期望蠕滑速度、實(shí)際蠕滑速度及跟蹤誤差。

根據(jù)式(24)，定義離散積分滑模面[16-17]

式中：ε(0)=0。

由式(25)可得

即系統(tǒng)狀態(tài)從一開(kāi)始就位于滑模面上，消除了滑?？刂频内吔\(yùn)動(dòng)。

針對(duì)離散系統(tǒng)(21)，趨近律選擇式(27)所示的離散指數(shù)趨近律。

其中：0<β1<1，β2>0。

考慮式(25)滑模面，設(shè)計(jì)蠕滑速度離散積分滑模跟蹤控制律為

式中：β1和β2為大于0的控制律設(shè)計(jì)參數(shù)。

證明 將式(21)代入式(25)，可得

對(duì)于離散系統(tǒng)(21)，如果式(33)在所有時(shí)刻都成立，且β3>0，則由控制律(27)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定于期望蠕滑速度的附近。

式中：β3>0為不確定性誤差上確界。

根據(jù)式(32)，滑模面可分為以下幾種情況。

當(dāng)s(k)≥β2+β3時(shí)，可得

當(dāng)s(k)≤-β2-β3時(shí)，可得

當(dāng)采樣時(shí)間T趨近于0時(shí)，系統(tǒng)不確定性誤差上確界β3非常小，同時(shí)，由β3<β2可取β2為極小值。所以根據(jù)式(47)可以得知，控制律(28)構(gòu)造的控制器能夠使蠕滑速度漸進(jìn)穩(wěn)定在一個(gè)很小的區(qū)域，從而保證跟蹤控制器的跟蹤精度。

為了抑制式(28)中符號(hào)函數(shù)產(chǎn)生的抖振，采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，則式(28)進(jìn)一步修正為

式(49)中：τ為邊界層厚度。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所提出的帶有估計(jì)模塊的離散積分滑?？刂品椒ǖ挠行裕竟?jié)對(duì)所提出的重載列車(chē)最優(yōu)蠕滑速度跟蹤控制策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并將其分別與經(jīng)典離散滑模方法和無(wú)估計(jì)模塊的離散積分滑模方法對(duì)最優(yōu)蠕滑速度的跟蹤效果進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)更好地體現(xiàn)了本文控制方法的優(yōu)勢(shì)。部分仿真參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 仿真參數(shù)Tible 1 Simulation parameters

為了模擬軌面突變的情況，軌面狀況采用圖1所示的干燥、潮濕和雨雪3種狀態(tài)，3種軌面黏著特性參數(shù)值如表2所示，首先重載列車(chē)運(yùn)行在干燥軌面，于30 s時(shí)切換到潮濕的軌面狀態(tài)，60 s時(shí)切換到雨雪的軌面狀態(tài)，列車(chē)的阻力系數(shù)l=0.5，m=0.004 1，n=0.002 2，整個(gè)仿真時(shí)間為90 s，系統(tǒng)的采樣和控制周期為0.1 s。

表2 黏著特性曲線(xiàn)參數(shù)值Table 2 Adhesion characteristic curve parameter value

串聯(lián)滑模觀測(cè)器觀測(cè)黏著系數(shù)仿真結(jié)果如圖3所示，紅色和藍(lán)色實(shí)線(xiàn)分別代表實(shí)際黏著系數(shù)和觀測(cè)黏著系數(shù)，仿真結(jié)果表明觀測(cè)器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)實(shí)際值進(jìn)行快速準(zhǔn)確的估計(jì)。

圖3 黏著系數(shù)實(shí)際值與觀測(cè)值Fig.3 Actual value and observed value of adhesion coefficient slip velocity tracking control

本文采用的帶不確定性估計(jì)的離散積分滑?？刂品椒ㄅc采取經(jīng)典離散滑模方法對(duì)期望蠕滑速度的跟蹤效果對(duì)比如圖4所示。由仿真對(duì)比結(jié)果表明：本文所提出的跟蹤方法能夠更精確地跟蹤目標(biāo)蠕滑速度，并且在變換路況的時(shí)候更加平穩(wěn)。

圖4 帶不確定性估計(jì)的離散積分滑模與經(jīng)典離散滑模蠕滑速度跟蹤控制Fig.4 Discrete-time integral sliding-mode with uncertainty estimation and discrete-time sliding-mode

為了驗(yàn)證帶系統(tǒng)不確定性估計(jì)的離散積分滑模方法的優(yōu)越性，將其與無(wú)不確定性估計(jì)模塊的離散積分滑模方法進(jìn)行了對(duì)比，仿真圖如圖5所示。從圖5可以看出，由于最優(yōu)蠕滑速度搜索算法的作用，每個(gè)路況下都搜索得到最優(yōu)值，在30 s時(shí)干燥路面轉(zhuǎn)變?yōu)槌睗衤访妫顑?yōu)蠕滑速度從0.2 m/s降到0.085 m/s，在60 s時(shí)潮濕路面轉(zhuǎn)變?yōu)橛暄┞访妫顑?yōu)蠕滑速度從0.085 m/s增至0.153 m/s，無(wú)論離散積分滑?？刂破鲙Ч烙?jì)模塊還是無(wú)估計(jì)模塊，都能夠穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)蠕滑速度，但對(duì)系統(tǒng)不確定性進(jìn)行估計(jì)的跟蹤控制器具有更高的跟蹤精度，跟蹤誤差如圖6所示。同時(shí)根據(jù)圖7顯示的控制牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩仿真情況，對(duì)不確定性進(jìn)行估計(jì)的控制牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩在轉(zhuǎn)換路況時(shí)更加平滑，其具有更好的牽引平穩(wěn)性。

圖5 帶不確定性估計(jì)與無(wú)不確定性估計(jì)的離散積分滑模蠕滑速度跟蹤控制Fig.5 Discrete-time integral sliding-mode with or without estimation tracking slip velocity

圖6 帶不確定性估計(jì)與無(wú)不確定性估計(jì)的離散積分滑模蠕滑速度跟蹤誤差Fig.6 Discrete-time integral sliding-mode with or without estimation tracking slip velocity error

根據(jù)圖7牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果和圖1黏著特性曲線(xiàn)，可以看出牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm和黏著系數(shù)μ隨軌面狀態(tài)變化的趨勢(shì)總體一致，在0～30 s控制轉(zhuǎn)矩Tm穩(wěn)定于8 400 N·m，黏著系數(shù)觀測(cè)值μ?穩(wěn)定在0.291附近,其與黏著系數(shù)實(shí)際值誤差很?。辉?0～60 s牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm穩(wěn)定在4 400 N·m，黏著系數(shù)觀測(cè)值?穩(wěn)定在0.263附近，在60～90 s牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm穩(wěn)定在2 300 N·m，黏著系數(shù)觀測(cè)值μ?穩(wěn)定在0.095附近。仿真結(jié)果表明，即使改變2次路面狀況，控制器也能及時(shí)調(diào)整牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩跟蹤上期望蠕滑速度，實(shí)現(xiàn)重載列車(chē)的最優(yōu)黏著控制。

圖7 帶不確定性估計(jì)與無(wú)不確定性估計(jì)的離散積分滑模牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Fig.7 Comparison of traction motor torque discrete-time integral sliding-mode with or without estimation

5 結(jié)論

1)針對(duì)未知路面狀況下的最優(yōu)蠕滑速度參考值的選定問(wèn)題，提出帶遺忘因子的最小二乘算法和梯度下降法搜索得到最優(yōu)蠕滑速度。設(shè)計(jì)離散積分滑?？刂破鞲櫰谕浠俣龋沽熊?chē)在軌面狀態(tài)發(fā)生變化的情況下也能在較短時(shí)間內(nèi)搜索到并穩(wěn)定工作在最佳蠕滑速度下。

2)為了抑制抖振現(xiàn)象和提高控制系統(tǒng)精確性，設(shè)計(jì)一步延遲估計(jì)方法對(duì)系統(tǒng)不確定性進(jìn)行補(bǔ)償和估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，所提出對(duì)系統(tǒng)不確定性進(jìn)行估計(jì)的離散積分滑?？刂破髂艽_保較高的跟蹤速度和精度，達(dá)到對(duì)重載列車(chē)最優(yōu)黏著控制的要求。