朱 華

(南京安廈房屋安全鑒定檢測事務所有限公司 江蘇南京 210029)

GNSS技術在工程測量中被廣泛應用，然而GNSS采用的是大地高，與我國規(guī)定的正常高之間存在高程異常，可以通過高程擬合來實現(xiàn)兩者的轉換。

最小二乘支持向量機(LSSVM)是一種數(shù)據(jù)分類和回歸工具[1]，基于結構風險最小化原則，將最小二乘估計引入支持向量機中，采用等式約束代替不等式約束，訓練過程轉化為求解線性方程組，避開了二次歸化問題，求解速度加快，不需要指定逼近精度[2-3]。

LSSVM參數(shù)的取值在很大程度上決定了模型的學習和泛化能力，目前還沒有切實可行的參數(shù)調節(jié)方法。

本文采用三步搜索法對LSSVM參數(shù)進行優(yōu)化選擇，并用參考文獻[3]的GPS觀測數(shù)據(jù)，對適應度函數(shù)采用學習樣本、測試樣本和總樣本均方誤差的擬合效果進行分析比較。

1 LSSVM機及三步搜索法

1.1 LSSVM

給定M個訓練樣本的集合{xi，yi}(i=1，2，…，M)，xi∈Rn，yi∈R。根據(jù)結構風險最小化原則，回歸問題可表示為約束優(yōu)化問題。

(1)

式中：權矢量w∈Rn，φ(x)是將x從輸入空間映射到高維特征空間的函數(shù)，誤差項ε∈R，C為正則化參數(shù)，b為偏差量，s、t、y是約束條件。

引入Lagrange乘子αi，將式(1)轉化為無約束目標函數(shù)：

(2)

結合式(1)中的約束條件對式(2)進行優(yōu)化，可得

(3)

式中：α=(α1α2…αM)T，Ω=[φ(x1)φ(x2) …φ(xM)]T，Y=(y1y2…yM)T，I=(1 1 … 1)T。

通過引入滿足Mercer條件的核函數(shù)K(x，xi)，代替非線性擬合的ΩΩT內積運算，得到最小二乘支持向量機的回歸函數(shù)：

(4)

1.2 三步搜索法

LSSVM核函數(shù)選擇徑向基核函數(shù)時，正則化參數(shù)C和核函數(shù)寬度σ的取值在很大程度上決定了模型的學習和泛化能力。

確定C和σ的取值范圍，若C和σ的取值點分別有NC和Nσ個，采用完全搜索法則需要計算NC×Nσ次。而相對于完全搜索法，三步搜索法計算簡單，性能良好，能有效降低計算次數(shù)，縮短建模時間。采用三步搜索法首先需要確定步長。在由C和σ構成的二維平面中，通常設定三步的步長之和為平面邊長的一半。三步搜索法的操作步驟如下：

第一步：首先找到中心點及其周圍8個點，然后計算每個點的適應值，選擇適應值最小的點作為新中心點；

第二步：將步長減小一半，計算新中心點周圍8個點的適應值，然后選擇適應值最小的點作為下一個新的中心點；

第三步：重復第二步，直至步長小于一個單位。

若學習精度沒達到所需要求，則返回第一步繼續(xù)尋找；若達到精度要求，則作為選擇的參數(shù)對[5-6]。

2 實例應用

本文采用文獻[3]中的GPS觀測數(shù)據(jù)進行建模分析，對擬合后的結果選用內、外符合精度作為評價指標。

(5)

式中：u1、u2為內、外符合精度，v1、v2為訓練樣本和測試樣本高程異常擬合殘差，n1、n2為訓練樣本和測試樣本個數(shù)。

在進行GPS高程擬合前，為避免所用數(shù)據(jù)的數(shù)值較大對擬合結果產(chǎn)生影響，需要對數(shù)據(jù)進行預處理[7]。LSSVM參數(shù)在尋優(yōu)時，適應度函數(shù)[8]選擇學習樣本均方誤差可能會存在過擬合的情況，使得預測效果不理想。本文采用三步搜索法尋找最優(yōu)參數(shù)組合，適應度函數(shù)分別選擇學習樣本、測試樣本和總樣本均方誤差，并對其擬合效果進行分析比較。

為了計算方便，通過多次試驗確定C和σ的取值范圍分別為[100，1 500]和[0.5，1.9]，則：

第一步：中心點為(800，1.2)，步長為(400,0.4)，計算中心點及其周圍8個點的適應值，選擇適應值最小的點作為新的中心點。

第二步：將步長減小一半為(200，0.2)，計算新中心點周圍8個點的適應值，選擇適應值最小的點作為下一個新的中心點。

第三步：將步長減小為(100，0.1)(步長小于一個單位)，計算新的中心點周圍8個點的適應值，適應值最小的點即為最終選擇的點。

采用三步搜索法最終獲得C和σ的最優(yōu)組合分別為(1 500，0.5)、(1 500，1.2)和(700，0.9)。

圖1是在尋找最優(yōu)參數(shù)時訓練樣本和測試樣本的高程異常擬合殘差圖，表1是選擇的幾種適應度函數(shù)模型的擬合精度。

圖1 訓練樣本和測試樣本的高程異常擬合殘差

表1 幾種適應度函數(shù)模型的擬合精度單位:cmTab.1 Fitting Accuracy of Models in Several Fitness Functions 適應度函數(shù)學習樣本測試樣本總樣本內符合精度0.070.440.36外符合精度1.010.700.74

從圖1和表1可以看出，適應度函數(shù)采用學習樣本均方誤差，訓練樣本可能存在過擬合的情況，測試樣本部分點的高程異常擬合值較大，擬合效果不佳；采用測試樣本和總樣本均方誤差時，訓練樣本和測試樣本的高程異常擬合值都比較穩(wěn)定、一致，擬合效果要優(yōu)于采用學習樣本均方誤差，擬合精度相對更高，能夠達到四等水準測量的精度要求，可以滿足一般的工程測量的要求。

3 結 語

GNSS高程擬合在工程測量中有著廣泛的應用，最小二乘支持向量機在GNSS高程擬合中有著一定的優(yōu)勢。最小二乘支持向量機參數(shù)尋優(yōu)采用三步搜索法，相對于完全搜索，計算簡單，能有效降低計算次數(shù)，縮短建模時間。通過采用GPS數(shù)據(jù)對擬合效果進行比較，適應度函數(shù)選擇測試樣本和總樣本均方誤差的擬合效果要優(yōu)于選擇學習樣本均方誤差。但是如何對最小二乘支持向量機參數(shù)進行優(yōu)化選擇仍需要進一步研究。