劉 顥，白 震，李志強(qiáng)，李世強(qiáng)

（1. 太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所，山西 太原 030024；2. 太原理工大學(xué)材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024；3. 山西省檢驗(yàn)監(jiān)測(cè)中心（山西省標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量技術(shù)研究院），山西 太原 030024）

多孔夾芯結(jié)構(gòu)作為一種具有高比剛度/比強(qiáng)度、輕質(zhì)、抗沖擊、吸能等功能特性的多功能一體化結(jié)構(gòu)，在航空航天、交通運(yùn)輸、工程結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域都有著很好的應(yīng)用前景。高孔隙率的多孔金屬（泡沫、蜂窩、波紋板、 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等）由于其具有良好的聲、熱、電磁屏蔽等功能，優(yōu)異的比強(qiáng)度/比剛度，良好的吸能緩沖特性，豐富多變的胞孔細(xì)觀構(gòu)型，作為夾芯結(jié)構(gòu)芯層，可滿(mǎn)足各種服役環(huán)境下的材料和結(jié)構(gòu)一體化多功能協(xié)同設(shè)計(jì)需求。有關(guān)這類(lèi)結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下動(dòng)力響應(yīng)的研究大部分集中在性能探索、應(yīng)用開(kāi)發(fā)和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，對(duì)于設(shè)計(jì)空間更大的結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)，還缺乏深入的研究。究其原因：首先，材料細(xì)觀拓?fù)錁?gòu)型對(duì)宏觀結(jié)構(gòu)的影響機(jī)理復(fù)雜，缺乏針對(duì)性、專(zhuān)門(mén)性的設(shè)計(jì)目標(biāo)；其次，優(yōu)化過(guò)程中需要綜合考慮載荷歷程和結(jié)構(gòu)彈塑性響應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的影響，涉及載荷的時(shí)空非線性和材料/結(jié)構(gòu)的慣性效應(yīng)、應(yīng)變率效應(yīng)，導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜，敏度分析困難；最后，制備具有專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)且拓?fù)錁?gòu)型復(fù)雜的多孔材料難度較大。隨著結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)和3D 打印技術(shù)的日漸成熟，沖擊載荷下結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)與性能測(cè)試、評(píng)估受到越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。

拓?fù)鋬?yōu)化的主要思想是在給定的約束條件下，通過(guò)改變結(jié)構(gòu)和材料的構(gòu)型和分布，來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)和材料性能的提高。常用到的拓?fù)鋬?yōu)化方法有變密度法、均勻化法和漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（evolutionary structural optimization, ESO）。Querin 等對(duì)漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法進(jìn)行了改進(jìn)與延伸，提出了雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（bi-directional evolutionary structural optimization，BESO），在優(yōu)化過(guò)程中可以增添和刪除單元。之后，Huang 等針對(duì)結(jié)構(gòu)剛度優(yōu)化，提出了一種基于靈敏度分析的改進(jìn)BESO 法，該方法解決很多拓?fù)鋬?yōu)化中常見(jiàn)的問(wèn)題，如棋盤(pán)格、優(yōu)化收斂性等。

目前，拓?fù)鋬?yōu)化大多集中在靜態(tài)載荷優(yōu)化，而工程應(yīng)用中常見(jiàn)的是動(dòng)態(tài)載荷。針對(duì)動(dòng)載優(yōu)化中出現(xiàn)的收斂困難、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等問(wèn)題，Choi 等和Park 等提出了等效靜態(tài)載荷法（equivalent static loads optimization, ESLO），建立雙層拓?fù)鋬?yōu)化流程，在外層中對(duì)動(dòng)態(tài)載荷工況下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行分析，并將動(dòng)態(tài)載荷等效為具有相同位移響應(yīng)的靜態(tài)載荷，在內(nèi)層中對(duì)等效靜態(tài)載荷下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。藍(lán)萌等針對(duì)等效靜態(tài)載荷法計(jì)算效率低、優(yōu)化流程復(fù)雜的問(wèn)題，將雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法作為優(yōu)化方法，對(duì)動(dòng)態(tài)載荷優(yōu)化流程進(jìn)行了改進(jìn)，提高了優(yōu)化效率。王憲杰等引入基于懲罰指數(shù)的材料插值方案，對(duì)傳統(tǒng)BESO 法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算方面的改進(jìn)，并分別對(duì)宏觀結(jié)構(gòu)、微觀結(jié)構(gòu)、材料/結(jié)構(gòu)一體化等問(wèn)題進(jìn)行了多尺度、多相復(fù)合材料布局以及拓?fù)鋬?yōu)化。閆琨和Yan 等結(jié)合各類(lèi)算法的優(yōu)點(diǎn)，在線彈性范圍內(nèi)，提出了一種考慮初始載荷激勵(lì)和時(shí)間效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量影響的靈敏度分析計(jì)算方法，利用該方法研究了殘余振動(dòng)最小化結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題和結(jié)構(gòu)耐撞性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

本文中，基于BESO 法，將傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)載荷優(yōu)化法中的內(nèi)外層迭代引入到ABAQUS-MATLAB 平臺(tái)集成優(yōu)化中，改進(jìn)動(dòng)態(tài)載荷拓?fù)鋬?yōu)化流程，對(duì)子彈沖擊下的夾芯拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，并與傳統(tǒng)泡沫鋁夾芯拱和實(shí)體拱進(jìn)行對(duì)比。

1 ABAQUS-MATLAB 平臺(tái)集成優(yōu)化

利用BESO 方法進(jìn)行ABAQUS-MATLAB平臺(tái)集成優(yōu)化流程如圖1 所示，包括以下5 個(gè)步驟。

圖1 ABAQUS-MATLAB 平臺(tái)集成優(yōu)化流程Fig. 1 ABAQUS-MATLAB platform integration optimization process

(1)在ABAQUS 中進(jìn)行初始建模和網(wǎng)格劃分，導(dǎo)出inp 文件作為優(yōu)化目標(biāo)文件。

(2)在MATLAB 中設(shè)置模型的優(yōu)化參數(shù)：結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)、體積進(jìn)化率和過(guò)濾半徑等。

(3)算法中調(diào)用ABAQUS 進(jìn)行有限元分析，讀取結(jié)果fil 文件，并根據(jù)結(jié)果計(jì)算單元應(yīng)變能靈敏度。

(4) 將更新后的結(jié)構(gòu)信息寫(xiě)入inp 文件中，完成inp 文件的更新，用于下一次的有限元分析。

(5)重復(fù)上述步驟(3)～(4)，直至優(yōu)化結(jié)果同時(shí)滿(mǎn)足目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)和收斂條件。

以最小柔度為目標(biāo)函數(shù)、結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)為約束條件，將設(shè)計(jì)域內(nèi)的連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元。將每個(gè)單元的相對(duì)密度x（或1）設(shè)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，低效單元相對(duì)密度為，其他單元相對(duì)密度為1。利用有限元分析，計(jì)算得出低效的單元，并將其移除。通過(guò)設(shè)置刪除率，并一步步刪除設(shè)計(jì)域中的低效單元，來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化。其數(shù)學(xué)模型如下：

式中：為目標(biāo)函數(shù)，即最小柔度值；和分別為結(jié)構(gòu)的力和位移，=，為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；為當(dāng)前結(jié)構(gòu)總體積；Vi 為第i 個(gè)單元的體積；n 為結(jié)構(gòu)單元數(shù)；x為設(shè)計(jì)變量，是每個(gè)單元的相對(duì)密度；為相對(duì)密度的極小值；當(dāng)x=時(shí)，第個(gè)單元為低效待刪單元；當(dāng)x=1 時(shí)，第個(gè)單元為實(shí)體單元。

2 等效靜態(tài)載荷法

2.1 原理

在動(dòng)態(tài)載荷的位移響應(yīng)-時(shí)間圖中，把時(shí)間分割成有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)，將每個(gè)時(shí)間點(diǎn)與動(dòng)態(tài)載荷產(chǎn)生相同位移的一組載荷集定義為等效靜態(tài)載荷，如圖2 所示。

從圖2 可以看出，動(dòng)載荷下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)-可以與等效靜載荷在每個(gè)時(shí)間段上的位移響應(yīng)完全一致。動(dòng)態(tài)載荷響應(yīng)分析方程為：

圖2 靜態(tài)載荷等效過(guò)程Fig. 2 Static load equivalent process

對(duì)式(2)進(jìn)行變換，有：

再對(duì)式(3)進(jìn)行變換，將式(3)中的連續(xù)時(shí)間變量等效為等效靜態(tài)載荷中個(gè)工況，可得：

式中：f和分別為第個(gè)時(shí)間點(diǎn)的等效靜態(tài)載荷和位移。式(4)將非線性動(dòng)力分析等效變換為個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的線性靜載優(yōu)化。

2.2 基于BESO 法的等效靜態(tài)載荷法

將建立的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型與等效靜態(tài)載荷法結(jié)合，式(1)可改寫(xiě)為：

將上述優(yōu)化模型應(yīng)用于ABAQUS-MATLAB平臺(tái)集成，圖3 為等效靜載的BESO 方法優(yōu)化流程圖。

圖3 優(yōu)化流程Fig. 3 Optimized process

(1)先給定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量以及優(yōu)化參數(shù)：目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)、進(jìn)化率和懲罰指數(shù)等。

(2)建立2 個(gè)相同的有限元初始模型：模型1為動(dòng)態(tài)載荷工況，用于在ABAQUS 中進(jìn)行非線性分析；模型2 為等效靜載荷工況，用于MATLAB中進(jìn)行雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。采用雙有限元模型雖然增加了平臺(tái)之間的信息交互流程，但可以充分利用商業(yè)有限元軟件強(qiáng)大的計(jì)算和前后處理能力，提高了計(jì)算精度，對(duì)幾何結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的模型有更好的適用性。

(3)對(duì)模型1 在沖擊載荷工況下進(jìn)行非線性響應(yīng)分析，并提取不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的結(jié)構(gòu)響應(yīng)（接觸力、加速度、速度)，構(gòu)造與沖擊載荷有相同位移場(chǎng)的等效靜載荷f,=1,2,···,；由于結(jié)構(gòu)受子彈沖擊時(shí)，其外部動(dòng)載荷未知，所以在獲得等效靜載荷之前，需要將子彈沖擊載荷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如將其轉(zhuǎn)化為接觸力、子彈質(zhì)量與其加速度乘積或者接觸面初速度等，在MATLAB 與ABAQUS 信息交互中提取接觸力數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為外部動(dòng)載。

(4)將得到的等效靜載荷作為模型2 的外載荷，在MATLAB 中利用雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，并在MATLAB 中進(jìn)行內(nèi)層優(yōu)化迭代，直至完成每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的靜態(tài)載荷工況。

(5)更新設(shè)計(jì)變量，將優(yōu)化結(jié)果寫(xiě)入模型1，檢測(cè)是否滿(mǎn)足優(yōu)化目標(biāo)以及收斂條件。若滿(mǎn)足，則結(jié)束；若不滿(mǎn)足，則返回至步驟(3)。收斂條件為：

式中：ε為相對(duì)誤差值，這里取0.01；為當(dāng)前迭代次數(shù)；為自然數(shù)，通常取5。則式(6)表示過(guò)去10 步迭代中柔度的改變量應(yīng)不超過(guò)0.01。

3 沖擊載荷下夾芯拱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和響應(yīng)分析

3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)

沖擊載荷是工程實(shí)際中較常見(jiàn)的外載荷。圖4 為兩端固支的拱形二維夾芯梁結(jié)構(gòu)，在上面板中心處受到初速度=100 m/s 的子彈沖擊，子彈寬度=5 mm。設(shè)計(jì)域是×=120 mm×20 mm的中間拱芯層，拱半徑=185 mm；上、下面板為非設(shè)計(jì)域，面板厚度=1 mm；將中間設(shè)計(jì)域劃分為122×20 個(gè)四邊形單元，單元邊長(zhǎng)為1 mm。BESO 方法中通過(guò)敏度過(guò)濾技術(shù)來(lái)對(duì)過(guò)濾半徑內(nèi)其他單元的敏度值進(jìn)行加權(quán)平均，以修正中心單元的靈敏度，減少網(wǎng)格依賴(lài)性，可以有效避免因網(wǎng)格尺寸不同導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果的差異。

圖4 沖擊載荷下夾芯拱模型Fig. 4 The sandwich arch model under impact load

夾芯拱結(jié)構(gòu)中間芯層和上、下面板材料都選擇鋁，其主要的力學(xué)性能參數(shù)：密度為2.7 g/cm，彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3，屈服強(qiáng)度為80 MPa，剪切模量為700 MPa；子彈為密度為7.9 g/cm的剛體。整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中不考慮材料的失效和破壞。

主要優(yōu)化參數(shù)：目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)為0.5；刪除率為0.03；過(guò)濾半徑為3。

采用雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法中的軟殺法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，為了避免剛度矩陣奇異化，用較小的相對(duì)密度來(lái)表示靈敏度數(shù)值低的待刪除單元的相對(duì)密度，如取=10作為待刪除單元的相對(duì)密度，同時(shí)在優(yōu)化過(guò)程中賦予這些單元較小的彈性模量。在后續(xù)的有限元分析中，為避免這些待刪單元出現(xiàn)畸變，優(yōu)化結(jié)束后在HyperMesh 中刪去相對(duì)密度較小的單元。

最終的優(yōu)化結(jié)果如圖5 所示。芯層結(jié)構(gòu)主要可分為3 個(gè)部分：中間區(qū)域A，主要呈現(xiàn)出類(lèi)似三角點(diǎn)陣夾芯結(jié)構(gòu)的構(gòu)型；過(guò)渡區(qū)域B，主要呈現(xiàn)出Y 形構(gòu)型；邊界區(qū)域C，主要呈現(xiàn)C 形構(gòu)型。優(yōu)化后的夾芯拱結(jié)構(gòu)體積為其初始結(jié)構(gòu)體積的50%，降低了用料成本，減輕了自重，而且優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，在主要承受載荷的位置材料分布較密集，受力合理，也較美觀。將優(yōu)化結(jié)果稱(chēng)為模型O。

圖5 芯層結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Fig. 5 Optimization result of a sandwich structure

圖6 為夾芯拱結(jié)構(gòu)優(yōu)化歷程，夾芯拱結(jié)構(gòu)經(jīng)歷25 步外層迭代后收斂完成，即進(jìn)行了25 次非線性動(dòng)力學(xué)分析，每次非線性沖擊載荷被等效為25 次線性靜載，整體優(yōu)化過(guò)程較穩(wěn)定。

圖6 夾芯拱結(jié)構(gòu)優(yōu)化歷程Fig. 6 The process of sandwich arch structure optimization

3.2 最終的優(yōu)化結(jié)果在沖擊載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

如圖7 所示為沖擊載荷下，夾芯結(jié)構(gòu)根據(jù)上、下面板的速度特征，將芯層分為了2 種類(lèi)型。圖7(a)所示為硬芯層夾芯結(jié)構(gòu)，其主要特征為：上面板速度隨時(shí)間不斷減小，下面板速度隨時(shí)間不斷增大，芯層在這一階段持續(xù)壓縮，當(dāng)=時(shí)上、下面板速度達(dá)到一致，芯層不再壓縮，上、下面板速度以相同頻率減小。圖7(b)所示為軟芯層夾芯結(jié)構(gòu)，其主要特征為：面板速度隨時(shí)間不斷減小，下面板速度隨時(shí)間先增大，當(dāng)=時(shí)下面板速度開(kāi)始減小，當(dāng)=時(shí)上、下面板速度達(dá)到一致，芯層不再壓縮，上、下面板速度以相同頻率減小。

圖7 不同類(lèi)型芯層夾芯結(jié)構(gòu)上、下面板速度時(shí)程曲線Fig. 7 Velocity versus time histories of the mid-span of the top and bottom panels for two types of sandwich response[34]

圖8 為初速度=100 m/s、寬度=5 mm 的子彈沖擊時(shí)，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)上、下面板速度時(shí)程曲線。從圖8 可以看出，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的夾芯結(jié)構(gòu)上、下面板的速度特征與圖7(a)的芯層特征較接近，說(shuō)明經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的芯層就有較高的剛度。但同時(shí)可以看出，在上、下面板以共同的速度運(yùn)動(dòng)之前，速度曲線出現(xiàn)多次相交，這是由于芯層材料分布不均勻，由圖5 可知，區(qū)域A 及與區(qū)域B 連接處材料分布較多，質(zhì)量較大，受到慣性作用與彈性能釋放的影響，下面板受到芯層的沖擊作用較大。

圖8 經(jīng)優(yōu)化后的夾芯拱上、下面板速度時(shí)程曲線Fig. 8 Velocity-time curves of top and bottom panels of the optimized sandwich arch

優(yōu)化結(jié)構(gòu)的變形響應(yīng)過(guò)程如圖9 所示。當(dāng)=0 ms 時(shí)，子彈開(kāi)始作用于上面板；當(dāng)=0.06 ms 時(shí)，子彈作用區(qū)域處面板出現(xiàn)明顯的凹陷變形，結(jié)合圖9 以及圖5 可以看出，芯層中間區(qū)域A 承受較大壓縮變形（圖9 中藍(lán)色區(qū)域），由于芯層的特殊結(jié)構(gòu)，芯層的變形主要以區(qū)域A 上部凹陷，下部支撐受壓向兩側(cè)擴(kuò)展為主，此時(shí)下面板并未發(fā)生明顯的變形。當(dāng)=0.10 ms 時(shí)，壓縮變形從A 區(qū)域下部支撐向結(jié)構(gòu)邊界兩側(cè)傳播，A 區(qū)域下部橫梁受拉開(kāi)始變形，導(dǎo)致芯層區(qū)域B 發(fā)生以拉彎聯(lián)合作用的為主的旋轉(zhuǎn)變形模式，B 區(qū)域上面板向中部擠壓，下面板向邊界處擠壓，均呈現(xiàn)出向上隆起的變形。當(dāng)=0.12 ms 時(shí)，下面板的速度與上面板的相等。當(dāng)=0.14 ms 時(shí)，下面板的速度達(dá)到最大值，此時(shí)下面板的速度高于前面板的。當(dāng)=≈0.25 ms 時(shí)，區(qū)域B 處上、下面板隆起變形進(jìn)一步增加，芯層C 區(qū)域上端出現(xiàn)拉伸變形，下端出現(xiàn)壓縮屈曲變形模式，之后上、下面板以相同的速度運(yùn)動(dòng)；當(dāng)=0.58 ms 時(shí)，上、下面板速度減小為0 m/s，上、下面板出現(xiàn)輕微的彈性回彈，結(jié)構(gòu)整體在平衡位置（殘余撓度）振動(dòng)。

圖9 經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在v0=100 m/s 子彈沖擊下的響應(yīng)過(guò)程Fig. 9 Response process of the optimized structure under the impact of a projectile with the initial velocity of 100 m/s

3.3 相同工況下優(yōu)化結(jié)構(gòu)與對(duì)照結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析

為了驗(yàn)證最終優(yōu)化結(jié)果的抗沖擊性能的優(yōu)異性，對(duì)照模型A 選擇Voronoi 泡沫鋁夾芯拱模型，對(duì)照模型B 選擇等質(zhì)量的實(shí)體拱模型，如圖10 所示。模型A 芯層泡沫鋁的厚度為0.6 mm，泡沫鋁體積為芯層總體積的50%，芯層與上、下面板之間定義為T(mén)ie 接觸；為了研究對(duì)比芯層的吸能占比情況，在模型B 的實(shí)體拱中也分別對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)了上、下面板，面板與實(shí)體芯層之間也采用Tie 接觸的方式連接。2 種對(duì)照模型均選用與前述優(yōu)化模型相同的材料屬性，均不考慮材料的破壞與失效。

圖10 所示的2 種對(duì)照模型，拱半徑=185 mm，跨度=120 mm，上、下面板厚度=1 mm，子彈寬度=5 mm，初速度=100 m/s。模型A 泡沫鋁芯層厚度=20 mm；模型B 實(shí)體芯層厚度=10 mm。2 種對(duì)照模型均采用四邊形單元，單元邊長(zhǎng)為1 mm。

圖10 2 種不同芯層等質(zhì)量對(duì)照模型Fig. 10 Two different core models with equal mass

2 個(gè)對(duì)照模型上、下面板速度時(shí)程曲線如圖11 所示，模型A 在==0.17 ms 時(shí)，上、下面板中心處的速度達(dá)到一致，面板與芯層開(kāi)始以相同的速度向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)=0.58 ms 時(shí)，上、下面板的速度降低為0 m/s，上、下面板出現(xiàn)輕微的彈性回彈；而對(duì)于實(shí)體拱模型B，當(dāng)==0.04 ms 時(shí)，上、下面板中心處的速度便達(dá)到一致，芯層幾乎無(wú)壓縮，在=0.60 ms 時(shí)上、下面板速度降低為0 m/s，上、下面板開(kāi)始輕微地彈性回彈。2 個(gè)對(duì)照模型的響應(yīng)完全符合圖7(a)的芯層特征。

圖11 兩模型上、下面板速度時(shí)程曲線Fig. 11 Velocity-time curves of the top and bottom panels of two models

由于人體或者被保護(hù)的主體結(jié)構(gòu)一般位于夾芯結(jié)構(gòu)下（后）方，夾芯結(jié)構(gòu)作為防護(hù)附層結(jié)構(gòu)，一般可通過(guò)考察夾芯結(jié)構(gòu)下面板的撓度和芯層的吸能來(lái)判斷夾芯結(jié)構(gòu)抗沖擊性能優(yōu)劣，圖12 所示為最終優(yōu)化結(jié)果與2 種對(duì)照模型在相同沖擊載荷下上面板中心處的撓度隨時(shí)間的變化曲線，從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)上面板撓度最小，2 種對(duì)照模型上面板撓度幾乎相同，上面板撓度達(dá)到峰值以后，會(huì)發(fā)生小幅的彈性回彈，從圖11 變形模式可以看出，對(duì)照模型B 整體變形較大，而對(duì)照模型A 由于子彈壓入芯層，造成上面板中心處位移較大。圖13 為3 種結(jié)構(gòu)下面板撓度-時(shí)程曲線。由圖13(a)可知，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)下面板撓度最小，而對(duì)照模型B 下面板位移最大。圖13(b)為0～20 μs 內(nèi)，下面板中心處的撓度-時(shí)間曲線，由圖可知，模型B 由于實(shí)體芯層，芯層無(wú)壓縮，上、下面板中心處幾乎同時(shí)開(kāi)始產(chǎn)生位移，模型A 下面板中心處開(kāi)始產(chǎn)生位移的時(shí)間為=11 μs，而經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)下面板開(kāi)始發(fā)生變形的時(shí)間最晚，為=15 μs。芯層壓縮變形時(shí)間的增加，更有利于減小后面板受到的沖擊作用，提高結(jié)構(gòu)的能量吸收能力。

圖12 上面板撓度-時(shí)間曲線Fig. 12 Deflection-time curves of top panles

圖13 下面板撓度-時(shí)間曲線Fig. 13 Deflection-time curves of bottom panels

由前面的分析可知，當(dāng)初始沖擊速度為100 m/s 時(shí)，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的夾芯拱具有較好的抗沖擊性能，但在實(shí)際工程中的沖擊載荷可能是多樣的，針對(duì)單一工況的優(yōu)化是否能滿(mǎn)足不同工況的需求，必須經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的驗(yàn)證。為此，圖14 對(duì)比了3 種模型在初速度=20，50，80，100 m/s 的子彈沖擊下的下面板的撓度和芯層的能量吸收。圖14(a)為3 種模型下面板中心處的撓度對(duì)比，從圖中可以看出：經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在不同初速度的子彈沖擊下，下面板撓度均為最小。14(b)為在不同初速度的子彈沖擊下，芯層的比吸能（=/，為芯層塑性耗散能，為芯層質(zhì)量）情況，可以看到經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)芯層比吸能均高于模型A 和模型B 的芯層比吸能。由于子彈剛性較大、沖擊速度較高，可以忽略彈性段能量，芯層能量耗散直接采用其塑性耗散能量。

圖14 3 種模型在不同速度沖擊下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 14 Dynamic response of the three models at different impact velocities

由圖14(c)可知：不同初速度的子彈沖擊下，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)芯層吸能占比（芯層塑性能量耗散與總塑性能量耗散之比，即/）分別為84.6%、85.3%、84.5%和83.9%，模型A 的芯層吸能占比分別為74.9%、74.6%、73.6%和74.9%，模型B 的芯層吸能占比分別為66.6%、67.9%、69.8%和70.1%。對(duì)比以上各組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)抗沖擊性能最優(yōu)，而對(duì)照模型A（Voronoi 泡沫鋁夾芯拱模型）抗沖擊性能次之，對(duì)照模型B（等質(zhì)量實(shí)體拱模型）抗沖擊性能最差。在相同的體積約束和載荷條件下，刪除低效的單元而添加或保留高效的單元，有效地提高了材料的利用率，使得芯層每個(gè)部位都充分發(fā)揮作用；而對(duì)照組的結(jié)構(gòu)中材料均勻分布，必然會(huì)導(dǎo)致某些部分的材料不能被充分利用，未起到抵抗變形的作用，材料合理分配使結(jié)構(gòu)具有較好的抗沖擊性能。在低速?zèng)_擊下，幾種結(jié)構(gòu)的變形較小，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)均未超過(guò)變形閾值，芯層結(jié)構(gòu)受拉壓彎扭轉(zhuǎn)作用較小，一些部位未能充分發(fā)揮作用，所以?xún)?yōu)化后的結(jié)構(gòu)抗沖性能優(yōu)勢(shì)并不明顯；高速?zèng)_擊下，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)能夠充分發(fā)揮材料的性能，在本文研究的沖擊載荷范圍內(nèi)，沖擊速度越高，這種優(yōu)勢(shì)越明顯。

較低的峰值沖擊力和較高的平臺(tái)力，代表了結(jié)構(gòu)具有較好的吸能緩沖特性，也是評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)抗沖擊性能的一類(lèi)指標(biāo)。圖14(d)為3 種模型在初速度=100 m/s 的子彈沖擊下的力-位移曲線，從圖中可以看出：當(dāng)結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊時(shí)，在較短的行程內(nèi)，沖擊接觸力迅速升高至峰值，隨后下降至平臺(tái)階段，當(dāng)子彈反彈后沖擊接觸力降為零。與隨機(jī)泡沫鋁夾芯拱（模型 A）相比，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的沖擊接觸力峰值和平臺(tái)階段都較接近；與實(shí)體拱（模型 B）相比，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)的沖擊接觸力峰值下降約17.96%，同時(shí)平臺(tái)階段沖擊接觸力水平較高。

3.4 非對(duì)稱(chēng)載荷下優(yōu)化結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

圖15 為在初速度=100 m/s 的非對(duì)稱(chēng)載荷下的夾芯拱模型，子彈的偏移量=5 mm（與對(duì)稱(chēng)載荷相比，沖擊點(diǎn)位置偏差 δ =/=1），其他模型尺寸與圖4 模型相同。

圖15 非對(duì)稱(chēng)載荷下夾芯拱模型Fig. 15 The sandwich arch model under asymmetric load

圖16 所示為在非對(duì)稱(chēng)載荷下夾芯拱模型的優(yōu)化結(jié)果，與圖5 所示的優(yōu)化結(jié)果相比，最大的區(qū)別在于結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱(chēng)，由于載荷作用部位偏向右側(cè)，芯層左側(cè)所受的拉壓彎扭作用較小，低效單元較多，必然導(dǎo)致在芯層右側(cè)單元分布較為密集；中心孔洞向左側(cè)偏移，但結(jié)構(gòu)仍然保持前者的一些基本特征，即過(guò)渡區(qū)域主要呈現(xiàn)C 形構(gòu)型，左側(cè)邊界處也相應(yīng)增加了桿件，以提高結(jié)構(gòu)承載能力。

圖16 非對(duì)稱(chēng)載荷下優(yōu)化結(jié)果Fig. 16 Optimization result under asymmetric load

將非對(duì)稱(chēng)載荷下的優(yōu)化模型稱(chēng)為模型N，將原對(duì)稱(chēng)載荷下的優(yōu)化模型稱(chēng)為模型O，分析對(duì)比2 種優(yōu)化結(jié)構(gòu)與2 種等質(zhì)量對(duì)照模型（模型A、模型B）在相同工況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。圖17 為在初速度=100 m/s 的子彈無(wú)偏移的沖擊載荷下，4 種模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比。圖17(a)為4 種模型上面板跨中處撓度時(shí)間曲線，從圖中可以看出非對(duì)稱(chēng)載荷下的優(yōu)化模型N 在子彈無(wú)偏差沖擊下，上面板撓度大于優(yōu)化模型O 而小于2 種對(duì)照模型，且有小幅彈性回彈；圖17(b)所示為下面板跨中處撓度隨時(shí)間變化曲線，可以看出2 種優(yōu)化結(jié)構(gòu)下面板撓度幾乎相同，模型O 下面板最終撓度為14.19 mm，模型N 下面板最終撓度為14.28 mm，分析可知：在子彈沖擊點(diǎn)位置偏差δ=1 時(shí)，在相同的對(duì)稱(chēng)沖擊載荷下，優(yōu)化模型N 的下面板撓度比模型O 下面板撓度僅增大0.6%；圖17(c)所示4 種模型芯層比吸能對(duì)比，分析數(shù)據(jù)可知：在子彈無(wú)偏移沖擊時(shí)，模型N 的比吸能僅比模型O 減小0.7%。

圖17 4 種模型在子彈偏移量w=0 mm (δ=0）下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 17 Dynamic response of the four models under w=0 mm (δ=0) of a projectile

圖18(a)與(b)所示為在子彈初速度=100 m/s，偏移量=5 mm 時(shí)，4 種模型上、下面板跨中處的撓度隨時(shí)間變化曲線以及最終的響應(yīng)結(jié)果，從圖中可以看出：隨著時(shí)間的變化，2 個(gè)模型上、下面板撓度不斷增大，撓度達(dá)到峰值后都有輕微的彈性回彈，且模型O 的上、下面板跨中處撓度比模型N 面板跨中處撓度僅分別增大了4.4%和2.2%。圖18(c)所示為4 種模型在子彈初速度=100 m/s，偏移量=5 mm 時(shí)芯層的比吸能情況對(duì)比，由圖中數(shù)據(jù)分析可知：優(yōu)化模型N 的芯層吸能占比略?xún)?yōu)于優(yōu)化模型O，且優(yōu)于2 種對(duì)照模型。由以上各組數(shù)據(jù)可得：在子彈偏移量=0 mm 時(shí)，優(yōu)化模型O 的抗沖擊性能、芯層吸能等略?xún)?yōu)于優(yōu)化模型N，且2 種優(yōu)化模型均優(yōu)于對(duì)照模型；在子彈偏移量=5 mm 時(shí)，優(yōu)化模型N 的以上性能略?xún)?yōu)于優(yōu)化模型O，且均優(yōu)于對(duì)照模型。從而表明：不同載荷工況下，最終的優(yōu)化結(jié)果雖然稍有不同，每種工況下得到的優(yōu)化結(jié)果在相應(yīng)工況下所展現(xiàn)的力學(xué)性能也優(yōu)于其他優(yōu)化結(jié)構(gòu)，并且對(duì)稱(chēng)優(yōu)化結(jié)果在非對(duì)稱(chēng)載荷作用下，力學(xué)性能也優(yōu)于等質(zhì)量對(duì)照模型。

圖18 4 種模型在子彈偏移量w=5 mm（δ=1）下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 18 Dynamic response of the four models under w=5 mm (δ=1) of projectile

以上分析充分說(shuō)明，雖然結(jié)構(gòu)在非對(duì)稱(chēng)沖擊下，優(yōu)化結(jié)果有差異，但在相同沖擊載荷下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性與抗沖擊性能相差較小，通過(guò)對(duì)稱(chēng)載荷對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，具有一定的普適性，其結(jié)果在工程中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 論

將等效靜態(tài)載荷優(yōu)化思想引入雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法中，基于雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，改進(jìn)了動(dòng)態(tài)載荷拓?fù)鋬?yōu)化流程，針對(duì)未知外部動(dòng)載荷，在優(yōu)化過(guò)程中對(duì)載荷進(jìn)行了變換處理，增加了MATLAB 與ABAQUS 的信息交互過(guò)程，充分利用了商業(yè)有限元軟件強(qiáng)大的計(jì)算和前后處理能力，提高了計(jì)算精度，對(duì)幾何結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的模型有更好的適用性。以?shī)A芯拱芯層剛度最大化為目標(biāo)，獲得了沖擊載荷下夾芯拱的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型，并與相同質(zhì)量的Voronoi 泡沫鋁夾芯拱、實(shí)體拱的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了對(duì)比。

經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的夾芯拱芯層可分為3 個(gè)對(duì)稱(chēng)的部分：跨中類(lèi)三角點(diǎn)陣桁架結(jié)構(gòu)區(qū)域、邊界C 形結(jié)構(gòu)區(qū)域以及跨中和邊界之間的Y 形結(jié)構(gòu)過(guò)渡區(qū)域。與等質(zhì)量的Voronoi 泡沫鋁夾芯拱、實(shí)體拱相比，在相同的沖擊速度下，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)撓度最小，芯層比吸能最高；當(dāng)沖擊速度較低時(shí)，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)均未超過(guò)變形閾值，芯層結(jié)構(gòu)受拉壓彎扭轉(zhuǎn)作用較小，一些部位未能充分發(fā)揮作，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能優(yōu)勢(shì)并不明顯；在所研究的沖擊速度范圍內(nèi)，沖擊速度越高，經(jīng)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能越好。

對(duì)初速度=100m/s、子彈偏移量δ=1 子彈沖擊下的夾芯拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對(duì)比了對(duì)稱(chēng)沖擊與非對(duì)稱(chēng)沖擊下2 種優(yōu)化模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到對(duì)稱(chēng)沖擊載荷時(shí)，在對(duì)稱(chēng)沖擊載荷下獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能、芯層吸能等略?xún)?yōu)于在非對(duì)稱(chēng)載荷下獲得的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到非對(duì)稱(chēng)沖擊載荷時(shí)，在非對(duì)稱(chēng)載荷下獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能略?xún)?yōu)于在對(duì)稱(chēng)沖擊載荷下獲得優(yōu)化結(jié)構(gòu)的。但在2 種沖擊載荷下，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后所得結(jié)構(gòu)的性能均優(yōu)于對(duì)照模型。從而表明：不同載荷工況下，最終的優(yōu)化結(jié)果雖有所不同，每種工況下得到的優(yōu)化結(jié)果在相應(yīng)工況下所展現(xiàn)的力學(xué)性能也優(yōu)于其他結(jié)構(gòu)，但在相同沖擊載荷下，2 種優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性和抗沖擊性能相差較??；通過(guò)對(duì)稱(chēng)載荷對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，具有一定的普適性。