周月娥， 劉泰玉， 嚴(yán)鵬

(廣西民族大學(xué)建筑工程學(xué)院， 南寧 530006)

箱型梁具有良好的結(jié)構(gòu)性能，在工程中有著廣泛的應(yīng)用。箱型梁進(jìn)行隨機(jī)分析和可靠度分析在實(shí)踐中需要考慮一些不確定因素。可以對(duì)箱型梁進(jìn)行隨機(jī)分析的方法有蒙特卡洛有限元法[1]、響應(yīng)面法[2]和隨機(jī)有限元等方法。蒙特卡洛有限元法在抽樣模擬次數(shù)增加的條件下，計(jì)算結(jié)果接近實(shí)際解，因此常作為其它結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析方法的比較基準(zhǔn)。但是，需用大量的計(jì)算時(shí)間來(lái)獲得一個(gè)有效的計(jì)算分析結(jié)果。響應(yīng)面法分析時(shí)所需樣本點(diǎn)少、計(jì)算量適中、與確定性結(jié)構(gòu)分析解耦。然而，由于事先不可預(yù)知驗(yàn)算點(diǎn)，需要每次迭代得到樣本點(diǎn)來(lái)保證響應(yīng)面與真實(shí)極限狀態(tài)曲面在驗(yàn)算點(diǎn)附近較為接近。攝動(dòng)隨機(jī)有限元法[3]不用樣本實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，對(duì)隨機(jī)場(chǎng)的信息處理技術(shù)要求比較低，只需知道隨機(jī)參數(shù)的前兩階矩就可以得到比較好的結(jié)果。現(xiàn)有的薄壁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究分析中可用的是一次二階矩法[4]，對(duì)其進(jìn)行可靠度計(jì)算的數(shù)值分析方法較少，在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)存在一些困難?？紤]了工程中的不確定因素后，通過(guò)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中尋找最近原點(diǎn)，可以間接得到結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)[5]。尋找這個(gè)點(diǎn)的計(jì)算方法是一個(gè)不斷迭代程序[6]，需要通過(guò)計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)值和它在每一步相對(duì)于基本隨機(jī)變量的梯度，求解梯度可以選擇使用隨機(jī)有限元法[7]或者有限差分法[8]。

現(xiàn)有的箱型梁確定性元分析中梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移中都含有剪力滯函數(shù)[9-11]，并且沒有考慮箱梁參數(shù)的隨機(jī)性。文獻(xiàn)[12-13]建立的箱型梁剪力滯效應(yīng)分析方法中，用附加撓度及其一階導(dǎo)數(shù)代替剪力滯函數(shù)，克服了采用剪力滯函數(shù)所建立方法的缺陷。為此，結(jié)合基于附加撓度建立的箱型梁有限元分析方法和攝動(dòng)隨機(jī)有限元法建立一種可以對(duì)箱梁結(jié)構(gòu)求解可靠度指標(biāo)的迭代求解方法，主要是通過(guò)處理可以尋找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中離坐標(biāo)原點(diǎn)最近點(diǎn)時(shí)極限狀態(tài)函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的梯度。選取原變量空間中的均值點(diǎn)為初始迭代點(diǎn)，分別基于驗(yàn)算點(diǎn)和均值點(diǎn)迭代求解極限狀態(tài)函數(shù)的梯度，即可得到結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)。通過(guò)兩種方法對(duì)箱型梁進(jìn)行分析，可以考慮參數(shù)隨機(jī)性對(duì)箱梁可靠度計(jì)算的影響，也可以對(duì)比分析兩種方法的適用范圍。

1 箱型梁隨機(jī)分析的攝動(dòng)隨機(jī)有限元法

圖1、圖2所示的左端固定右端自由的箱型梁，翼緣橫截面的縱向位移函數(shù)u(x,y)由箱梁撓度w(x)和附加撓度wa(x)確定[12]。

圖1 承受外荷載作用的箱型梁簡(jiǎn)圖

圖2 箱型梁橫截面尺寸

(1)

式(1)中：h為翼板到箱型梁截面形心的距離；b可取b1、b2和b3，分別為箱梁截面兩腹板之間上、下翼板寬度1/2及懸出翼板的寬度；I為箱梁整個(gè)截面的模量；Is為箱梁上下翼板的模量,且有

I=Is+Iw

(2)

(3)

式(3)中：m2=b2/b1;m3=b3/b1。

在分布荷載q(x)作用下，利用式(1)定義的位移函數(shù)，建立箱梁的總勢(shì)能泛函，可表示為[12]

(4)

式(4)中：l為箱型梁的長(zhǎng)度；E為彈性模量；G為剪切模量。

當(dāng)箱型梁邊界條件不同時(shí),式(4)定義的箱型梁總勢(shì)能泛函中有關(guān)撓度w(x)和附加撓度wa(x)的表達(dá)式是不同的。根據(jù)箱型梁的一維離散有限元法[13]，總勢(shì)能泛函用矩陣形式表示為

(5)

式(5)中：

(6)

式(6)中:μ為材料的泊松比。

考慮材料和外荷載的隨機(jī)性，式(5)中的D、T、Π、χ、d都為隨機(jī)量，按照二階泰勒級(jí)數(shù)展開為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

把式(7)～式(11)代入式(5)中，可得總勢(shì)能泛函Π的二階展式為

(12)

基于攝動(dòng)隨機(jī)變分原理[3]，直接得到總勢(shì)能泛函二階展開式的一階變分，并考慮式(13)、式(14)。

(13)

(14)

可得

(15)

(16)

(17)

完成式 (15)～式(17)的整理分析的基礎(chǔ)上，得到控制方程為

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

2 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)及其梯度優(yōu)化迭代算法

2.1 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)

把對(duì)箱梁結(jié)構(gòu)有影響的基本隨機(jī)變量X作為自變量時(shí)，可得描述極限狀態(tài)的功能函數(shù)Z為

Z=g(X)

(24)

結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)為

(25)

2.2 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的求解

(26)

式(26)中：G為功能函數(shù)；min表示取最小值。

采用迭代公式[式(26)][5]計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)x(k+1)，其計(jì)算公式為

(27)

3 基于攝動(dòng)隨機(jī)有限元法的可靠指標(biāo)求解

3.1 功能函數(shù)

用局部平均法[14]離散箱型梁隨機(jī)場(chǎng)，得到隨機(jī)變量X，其功能函數(shù)為

g(X)=u*-u(X)

(28)

式(28)中：u*對(duì)應(yīng)于控制截面的最大容許撓度；u(X)為對(duì)應(yīng)于箱梁正常使用極限狀態(tài)的撓度響應(yīng)。

3.2 功能函數(shù)的梯度

2.2節(jié)利用式(27)迭代尋找驗(yàn)算點(diǎn)的關(guān)鍵是確定梯度向量gradG(x)。一般這種情況下，原變量空間中的功能函數(shù)g(X)可以得到，求梯度向量gradG(x)可轉(zhuǎn)化為求gradg(X)，可表示為

(29)

式(29)中：函數(shù)g(X)不能用隨機(jī)變量顯式表示，可表示為

g(X)=g(R,S)

(30)

式(30)中：R和S分別為結(jié)構(gòu)抗力和作用效應(yīng)。

則有

gradg(X)=JRgR+JSgS

(31)

式(31)中，gR、gS分別為函數(shù)g(X)對(duì)R和S的梯度向量；JR、JS分別為R、S的雅克比矩陣。

由式(31)可以看出，求出雅克比矩陣JR、JS及梯度向量gR、gS是關(guān)鍵問(wèn)題。一般情況下，JR、gR和gS容易獲得。由于結(jié)構(gòu)的隨機(jī)效應(yīng)S不易用X顯式表達(dá)，所以難以用解析法求解雅克比矩陣JS。

3.3 攝動(dòng)隨機(jī)有限元法求梯度向量

如3.1節(jié)所述，可以選取一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移a作為箱梁極限狀態(tài)方程中控制截面的響應(yīng)量。求解1節(jié)中控制方程，可以求得ai。雅克比矩陣JS第i行的轉(zhuǎn)置是響應(yīng)S的一階偏導(dǎo)數(shù)，有

Si=ai，i=1,2,…,n

(32)

ai可根據(jù)式(18)、式(19)求得

(33)

即而可以確定JS為

JS=[ai]T,i=1,2,…,n

(34)

進(jìn)而由式(31)求出梯度向量gradg(X)。

3.4 正態(tài)相關(guān)隨機(jī)變量的處理

如果得到了相關(guān)正態(tài)隨機(jī)變量X，需要把X轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量x。

首先，通過(guò)正交變換得到不相關(guān)的正態(tài)隨機(jī)變量Y，可表示為

Y=ATX

=[Y1,Y2,…,Yn]T

(35)

式(35)中：A為與隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣CX的特征值λi(i=1,2,…,n)相應(yīng)的n個(gè)正交規(guī)范化特征向量形成的矩陣。

然后，標(biāo)準(zhǔn)化Y，得到不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量xi為

(36)

式(36)用矩陣表示為

(37)

式(37)中：T為特征值矩陣。

結(jié)合式(36)可得

(38)

將3.3節(jié)推導(dǎo)得到的gradg(X)和式(38)代入式(29)就可以得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量空間中功能函數(shù)的梯度gradG(x)。然后，由式(27)可以用優(yōu)化迭代算法得到驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)，即而得到可靠指標(biāo)。

3.5 簡(jiǎn)化迭代分析

(39)

(40)

4 算例分析

(41)

當(dāng)箱型梁兩端為固定端，分別取兩種工況考慮箱梁的隨機(jī)性，利用基于驗(yàn)算點(diǎn)的攝動(dòng)隨機(jī)有限元可靠度算法(計(jì)算結(jié)果標(biāo)記為PSFEM1)及其簡(jiǎn)化迭代計(jì)算方法(計(jì)算結(jié)果標(biāo)記為PSFEM2)計(jì)算在不同變異系數(shù)情況下箱型梁的可靠指標(biāo)。以蒙特卡洛有限元法(計(jì)算結(jié)果標(biāo)記為MCS)可靠度計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，分析PSFEM1和PSFEM2的誤差。

從圖3可以看出，在不同變異系數(shù)下，PSFEM1和PSFEM2的計(jì)算結(jié)果比較相近，兩者之間誤差在工況一和工況二情況下分別不超過(guò)1.83%和0.48%，與文獻(xiàn)[15]結(jié)論較為一致。可以看出，當(dāng)變異系數(shù)增大時(shí)，兩種方法的計(jì)算誤差都增大。變異系數(shù)不超過(guò)0.15時(shí)，PSFEM1在兩種工況下與MCS的誤差分別小于4.66%和4.09%，PSFEM2在兩種工況下與MCS的誤差分別小于6.28%和4.52%。對(duì)比之下，在不同變異系數(shù)下，在工況一情況下較多采用PSFEM1，在工況二情況下可以用PSFEM2代替PSFEM1。

圖3 不同工況下比較PSFEM1和PSFEM2的計(jì)算結(jié)果

將工況一情況下PSFEM1和MCS的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，比較結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以看出，隨著變異系數(shù)的增大，兩種方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)都減小，從而說(shuō)明隨著隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)的增大，箱梁的可靠度降低。當(dāng)隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)小于0.15時(shí)，PSFEM1和MCS的計(jì)算結(jié)果非常相近。當(dāng)隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)大于0.15時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果逐漸偏離，變異系數(shù)為0.20、0.25和0.30時(shí)的偏離誤差分別為7.75%、12.20%和17.57%。以上說(shuō)明只有隨機(jī)參數(shù)小變異時(shí)，PSFEM1具有較好的計(jì)算精度。

圖4 工況一下比較PSFEM1和MCS的計(jì)算結(jié)果

在工況一下，采用基于驗(yàn)算點(diǎn)的可靠度算法(記為PSFEM-1)；在工況二下，采用簡(jiǎn)化迭代算法(記為PSFEM-2)。計(jì)算箱梁中點(diǎn)的可靠指標(biāo)及其與隨機(jī)場(chǎng)變異系數(shù)的關(guān)系，并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 比較PSFEM-1和PSFEM-2的計(jì)算結(jié)果

從圖5可以看出，隨著隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)的增大，兩種不同工況下計(jì)算的可靠指標(biāo)都逐漸減小，說(shuō)明隨機(jī)參數(shù)的變異性對(duì)箱梁結(jié)構(gòu)的可靠度是不可忽視的影響因素。在同一變異系數(shù)下，PSFEM-1的計(jì)算的結(jié)果大于PSFEM-2的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明在彈性模量具有隨機(jī)性的基礎(chǔ)上，荷載具有隨機(jī)性時(shí)，箱型梁的可靠度也會(huì)相應(yīng)降低。

5 結(jié)論

基于箱梁附加撓度建立了箱梁可靠度分析的攝動(dòng)隨機(jī)有限元法，研究對(duì)比了基于驗(yàn)算點(diǎn)和簡(jiǎn)化迭代算法，得出如下結(jié)論。

(1)在彈性模量隨機(jī)和彈性模量荷載隨機(jī)兩種工況下，基于驗(yàn)算點(diǎn)的迭代算法結(jié)果與其簡(jiǎn)化迭代算法的結(jié)果比較接近，誤差分別小于1.83%和0.48%。

(2)在彈性模量隨機(jī)情況下，在隨機(jī)參數(shù)小于0.15時(shí)，基于驗(yàn)算點(diǎn)的迭代算法結(jié)果具有良好的計(jì)算精度，與基于蒙特卡洛有限元算法的結(jié)果誤差不超過(guò)4.66%，其簡(jiǎn)化迭代算法計(jì)算結(jié)果誤差是6.28%；在彈性模量荷載隨機(jī)情況下，在隨機(jī)參數(shù)小于0.15時(shí)，基于驗(yàn)算點(diǎn)的迭代算法及其簡(jiǎn)化迭代算法的結(jié)果都具有良好的計(jì)算精度，與基于蒙特卡洛有限元算法的結(jié)果誤差不超過(guò)4.09%和4.52%。

(3)基本變量的隨機(jī)性對(duì)箱型梁的可靠度有明顯影響，參數(shù)變異性越大，可靠指標(biāo)下降越大；在彈性模量具有隨機(jī)性的基礎(chǔ)上，荷載具有隨機(jī)性時(shí)，箱型梁的可靠度也會(huì)相應(yīng)降低。因此，分析和設(shè)計(jì)箱梁結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性的影響不容忽視。