賁晨陽(yáng)， 何雪明，2， 劉 超

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 無(wú)錫 214122；2.江南大學(xué) 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 無(wú)錫 214122)

為了能夠讓弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)以更加平穩(wěn)、高效和精度更高的方式運(yùn)行，縮小國(guó)內(nèi)與國(guó)外產(chǎn)品間的差距，弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能越來(lái)越受研究人員的關(guān)注。國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方面進(jìn)行了研究：張三等[1]對(duì)弧面分度凸輪進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，得到分度期內(nèi)工作輪廓曲面和轉(zhuǎn)盤(pán)滾子曲面的動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力分布及其變化規(guī)律；劉言松等[2]結(jié)合多體動(dòng)力學(xué)并運(yùn)用虛擬樣機(jī)對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)方面的研究；馮立艷等[3]通過(guò)模態(tài)分析得到轉(zhuǎn)盤(pán)軸的固有頻率和振型圖，為弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)后續(xù)動(dòng)力學(xué)研究提供重要參考；趙世田等[4]提出基于齊次坐標(biāo)變換的通用圓錐滾子弧面分度凸輪輪廓曲面方程建立方法；M. Chew等[5]和Y.S.Unlusoy等[6]提出了凸輪機(jī)構(gòu)的單自由度和雙自由度模型的綜合理論；Ching-Haun Tseng等[7]建立數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證了凸輪與滾子間的間隙對(duì)角加速度的影響；王其超等[8]建立凸輪機(jī)構(gòu)的單、雙自由度振動(dòng)模型，從而建立動(dòng)態(tài)響應(yīng)方程。

由于機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)具有較高的轉(zhuǎn)速，各構(gòu)件的慣性力不斷增加，導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)響應(yīng)變大。因此，機(jī)構(gòu)中從動(dòng)件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與理論有很大的偏差。所以，對(duì)分度凸輪機(jī)構(gòu)，僅從運(yùn)動(dòng)學(xué)方面考慮已經(jīng)不能解決工程的實(shí)際問(wèn)題，因此需要對(duì)其在動(dòng)力學(xué)方面進(jìn)行深入的研究。

1 設(shè)計(jì)模型

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)三維模型如圖1所示，通過(guò)弧面分度凸輪輪廓面與滾子間的嚙合作用，實(shí)現(xiàn)分度盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的三維模型Figure 1 Three-dimensional model of arcuate indexing cam mechanism

1.1 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型假定

由于弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能受諸多因素的影響，為了深入研究凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能的影響因素，以弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的主要特征為基礎(chǔ)，對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，對(duì)模型做以下假定:

1) 忽略前置裝置對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的影響，假定弧面分度凸輪等速回轉(zhuǎn)[9]；

2) 假定弧面分度凸輪與均勻安裝在分度盤(pán)上的滾子可實(shí)現(xiàn)理想的無(wú)間隙嚙合；

3) 將分度盤(pán)、弧面分度凸輪、載荷盤(pán)和滾子視作剛性體，本身的彈性變形忽略不計(jì)，將輸入軸和輸出軸視為彈性體；

4) 將弧面分度凸輪、載荷盤(pán)和分度盤(pán)視為等效集中質(zhì)量體；

5) 弧面分度凸輪廓面加工精確，無(wú)制造和安裝誤差。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)集中質(zhì)量法，課題組建立多自由度的弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，以解決符合實(shí)際情況的動(dòng)力學(xué)模型建立和求解復(fù)雜的問(wèn)題。

如圖2所示，對(duì)輸入軸系統(tǒng)(包括輸入軸和凸面分度凸輪)進(jìn)行扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析時(shí)，把輸入軸系統(tǒng)看作是以弧面分度凸輪的質(zhì)量為質(zhì)量塊的扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1。在分析輸入軸系統(tǒng)的橫向振動(dòng)時(shí)，將輸入軸系統(tǒng)看作以凸輪的等效質(zhì)量為m1的質(zhì)量塊，研究其中x,z軸方向上的橫向振動(dòng)。

圖2 4自由度的輸入軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Figure 2 Dynamic model of input shaft system with 4 degrees of freedom

圖2中：Cz1為輸入軸沿z軸方向上的阻尼系數(shù)；Kx1,Ky1，Kz1分別為輸入軸沿x軸，y軸，z軸方向上的彎曲剛度；Cx1，Cy1，Cz1分別為輸入軸沿x軸，y軸，z軸方向上的振動(dòng)阻尼系數(shù)；Kx1為輸入軸沿x軸方向上的振動(dòng)剛度；Cθ1為輸入軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Kθ1為輸入軸扭轉(zhuǎn)剛度；θ1為凸輪轉(zhuǎn)角。

在分析輸入軸系統(tǒng)的軸向振動(dòng)時(shí)，將輸入軸系統(tǒng)看做以凸輪的等效質(zhì)量為質(zhì)量塊，研究其在y軸方向上的軸向振動(dòng)。

如圖3所示，對(duì)于輸出軸系統(tǒng)(包括輸出軸、載荷盤(pán)、滾子和分度盤(pán))進(jìn)行分析時(shí)，在分析扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，將其看作以分度盤(pán)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2和載荷盤(pán)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1為質(zhì)量塊的雙質(zhì)量扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)。在分析其橫向振動(dòng)時(shí)，將其看作為各分度盤(pán)的等效質(zhì)量m2與載荷盤(pán)的等效質(zhì)量m3為質(zhì)量塊的簡(jiǎn)支梁，研究其在x，y軸方向上的橫向振動(dòng)。在分析輸出軸系統(tǒng)的軸向振動(dòng)時(shí)，將輸出軸系統(tǒng)看作以me(me=m2+m3)為質(zhì)量塊的軸向振動(dòng)，研究其在輸出軸z方向上的軸向振動(dòng)。

圖3 7自由度的輸出軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Figure 3 Dynamic model of output shaft system with 7 degrees of freedom

其中：m3和J3分別為載荷盤(pán)等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ3為載荷盤(pán)轉(zhuǎn)角；K22，K33分別為分度盤(pán)和載荷盤(pán)在x軸和y軸上的彎曲剛度；K23為分度盤(pán)振動(dòng)對(duì)載荷盤(pán)在x和y軸上彎曲剛度；K32為載荷盤(pán)振動(dòng)對(duì)分度盤(pán)在x和y軸上彎曲剛度；Cθ2為輸出軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Kθ2輸出軸扭轉(zhuǎn)剛度；m2和J2分別為分度盤(pán)等效質(zhì)量和等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ2為分度盤(pán)實(shí)際轉(zhuǎn)角；Cz23為輸出軸在z軸上的振動(dòng)阻尼系數(shù)；Kz23為輸出軸系統(tǒng)在z軸方向上的等效剛度；Cf2為分度盤(pán)的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)。

將輸入軸系統(tǒng)模型與輸出軸系統(tǒng)間耦合，建立11個(gè)自由度的弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 11自由度的弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型Figure 4 Dynamic model of globular indexing cam mechanism with 11 degrees of freedom

圖4中：K12和C12分別為凸輪與滾子間的等效接觸剛度與等效接觸阻尼系數(shù)；Cf1為凸輪的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Cz23為輸出軸系統(tǒng)在z軸方向上的振動(dòng)阻尼系數(shù)。

凸輪與滾子的接觸剛度，主要與凸輪自身的剛度、滾子軸的剛度以及滾子的彎曲剛度等因素有關(guān)。凸輪與滾子間的接觸剛度隨著位置的變化而變化。凸輪與滾子接觸時(shí)可以看作2個(gè)柱體的相互接觸?；诤掌澙碚撨M(jìn)行剛度計(jì)算有：

(1)

式中：P為接觸區(qū)長(zhǎng)度方向上的單位力；H為接觸變形量總和；h1和h2分別為凸輪與滾子的接觸變形量，且有

(2)

(3)

式中：ρ1，ρ2分別為凸輪與滾子在接觸點(diǎn)處的曲率半徑；b為凸輪與滾子的接觸寬度，且

(4)

式中：μ1，μ2分別為凸輪與滾子的泊松比；E1,E2分別為凸輪與滾子的彈性模量；L為接觸區(qū)長(zhǎng)度。

2 動(dòng)力學(xué)方程

2.1 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)系統(tǒng)能量的計(jì)算

考慮弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的橫向、扭轉(zhuǎn)和軸向變形，系統(tǒng)的位移列陣X為：

X=[θ1θ2θ3x1y1z1x2y2x3y3z23]T。

(5)

式中：θ1，θ2，θ3分別為凸輪、分度盤(pán)和載荷盤(pán)的實(shí)際轉(zhuǎn)角；x1，y1，z1為凸輪沿x，y，z軸方向上的線位移；x2，y2為分度盤(pán)沿x，y軸方向上的線位移；x3，y3為載荷盤(pán)沿x，y軸方向上的線位移；z23為輸出軸系統(tǒng)(載荷盤(pán)和分度盤(pán))沿z軸方向上的線位移。

應(yīng)用拉格朗日方程法來(lái)建立弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，該方法以機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)能量守恒為基礎(chǔ)，將機(jī)構(gòu)的動(dòng)能、勢(shì)能和耗散能聯(lián)系起來(lái)[10]。所以，需要對(duì)機(jī)構(gòu)中各個(gè)能量進(jìn)行求解。

1) 機(jī)構(gòu)的動(dòng)能求解

①凸輪的動(dòng)能

(6)

②分度盤(pán)的動(dòng)能

(7)

③載荷盤(pán)的動(dòng)能

(8)

2) 機(jī)構(gòu)的勢(shì)能求解

①凸輪的勢(shì)能

(9)

②分度盤(pán)的勢(shì)能

(10)

③載荷盤(pán)的勢(shì)能

(11)

④載荷盤(pán)與分度盤(pán)彎振耦合勢(shì)能

(12)

(13)

⑤輸出軸與輸入軸系統(tǒng)的耦合勢(shì)能

(14)

3) 機(jī)構(gòu)的耗散能求解

①輸入軸系統(tǒng)的耗散能

(15)

②輸出軸系統(tǒng)的勢(shì)能耗散

(16)

③輸入軸與輸出軸耦合的耗散能

(17)

2.2 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)及線性化

拉格朗日方程式通過(guò)簡(jiǎn)單的形式推導(dǎo)出復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，方程組數(shù)與系統(tǒng)自由度數(shù)相同。第二類(lèi)拉格朗日通用方程式為:

(18)

對(duì)于分度盤(pán)理論轉(zhuǎn)角τ，弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為τ(θ1)，則有:

(19)

(20)

根據(jù)拉格朗日方程推導(dǎo)出的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程，由于模型中考慮軸的扭轉(zhuǎn)彈性變形而出現(xiàn)非線性項(xiàng)。為了便于求解計(jì)算，可將其做線性化處理[11]。

(21)

并將廣義坐標(biāo)θ1,θ2,θ3作變量代換：

q1=θ1-θ;

(22)

q2=θ2-τ(θ);

(23)

q3=θ3-τ(θ)。

(24)

式中：q1為輸入軸在凸輪處的彈性扭轉(zhuǎn)角；q2,q3為輸出軸在分度盤(pán)、載荷盤(pán)處的彈性扭轉(zhuǎn)角；將變量q1,q2,q3分別代入可以得到弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)線性微分方程組。

(25)

3 轉(zhuǎn)速劃分及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)在計(jì)算過(guò)程中需要的參數(shù)如下：

1) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

J1=6.999 600 0×10-2kg·m2；

J2=3.471 193 0×10-3kg·m2；

J3=5.985 588 1×10-2kg·m2。

2) 等效質(zhì)量

m1=18.933 488 48 kg；

m2=6.126 708 82 kg；

m3=6.569 037 00 kg。

3) 等效扭轉(zhuǎn)剛度

Kθ1=1.948 7×105N·m·rad-1；

Kθ2=3.502 1×105N·m·rad-1。

4) 軸向彎曲剛度

Ky1=3.882 1×108N·m；

Kz23=3.975 2×109N·m。

5) 橫向彎曲剛度

Kx1=Kz1=3.185 3×108N·m；

K22=2.931 2×109N·m；

K33=6.388 8×107N·m；

K23=K32=8.467 9×108N·m。

6) 凸輪與滾子等效剛度

K12=1.232 9×106N·m。

威爾遜-θ法是求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一種常用方法。當(dāng)θ≥1.37時(shí)，威爾遜-θ法是無(wú)條件穩(wěn)定的，課題組將θ設(shè)定為1.40，應(yīng)用MATLAB語(yǔ)言編程，對(duì)式(25)所建立的弧面分度凸輪11自由度動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。

3.1 固有頻率及轉(zhuǎn)速劃分

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的固有頻率直接關(guān)系到機(jī)構(gòu)振動(dòng)的特征。在不考慮阻尼的情況下，設(shè)各階固有頻率為ωi,則機(jī)構(gòu)的頻率方程為：

(26)

式中：K為機(jī)構(gòu)的剛度矩陣；ωi為機(jī)構(gòu)的固有頻率；M為機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩陣。

在弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)行過(guò)程中，機(jī)構(gòu)的剛度矩陣隨著弧面凸輪轉(zhuǎn)角位置變化而不斷變化。根據(jù)已得到的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，利用MATLAB軟件計(jì)算得到弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的各階固有頻率?；∶娣侄韧馆啓C(jī)構(gòu)前3階固有頻率變化曲線如圖5所示。

從圖5可以看出，弧面分度凸輪前3階扭轉(zhuǎn)振型的固有頻率與機(jī)構(gòu)處在不同的工作位置有關(guān)。而后8階為橫向振動(dòng)和軸向振動(dòng)對(duì)應(yīng)的振型。一般來(lái)說(shuō)，高階頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響很小，故在求解系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，高階頻率對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響可以忽略不計(jì)。

從圖5可以看出，弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)前3階扭轉(zhuǎn)振型的頻率受凸輪轉(zhuǎn)角變化的影響比較大。圖5(a)所示為系統(tǒng)的1階固有頻率，其隨著隨凸輪轉(zhuǎn)角的變化而變化，其頻率最低為163.91 Hz。

由機(jī)械動(dòng)力學(xué)理論知識(shí)可知，弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的最小頻率(一階固有頻率)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速，為弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的1階臨界轉(zhuǎn)速n1。

n1=60×163.91=9 834.60 r/min。

當(dāng)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速與此轉(zhuǎn)速相等或者接近時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生劇烈的振動(dòng)。所以，在運(yùn)行時(shí)要避開(kāi)這一轉(zhuǎn)速。同時(shí)，可以計(jì)算出弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)低速和中速的臨界值n2、中速和高速的臨界值n3以及低速、中速和高速分別對(duì)應(yīng)的范圍[12]：

當(dāng)λ=15時(shí)，

n2=n1/λ=9 834.60/15=655.64 r/min；

當(dāng)λ=6時(shí)，

n3=n1/λ=9 834.60/6=1 639.10 r/min。

λ為劃分轉(zhuǎn)速區(qū)間的系數(shù)。根據(jù)計(jì)算得出，當(dāng)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速在0～655.64 r/min范圍內(nèi)，為低速狀態(tài)；當(dāng)機(jī)構(gòu)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速在655.64～1 639.10 r/min范圍內(nèi)，為中速狀態(tài)；當(dāng)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速大于1 639.10 r/min，為高速狀態(tài)。

3.2 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)載荷盤(pán)角加速度是反映機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。因此，在分析參數(shù)變化對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響時(shí)，采用載荷盤(pán)角加速度隨機(jī)構(gòu)參數(shù)的變化響應(yīng)情況來(lái)描述機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的變化情況。

由上文對(duì)轉(zhuǎn)速的劃分，分別對(duì)低、中、高速狀態(tài)下載荷盤(pán)角加速度的響應(yīng)進(jìn)行分析。設(shè)定分度角為45°，動(dòng)程角為300°，輸出軸直徑為60 mm，研究輸入軸轉(zhuǎn)速分別為低速、中速和高速狀態(tài)下載荷盤(pán)角加速度的響應(yīng)。

從圖6和圖7中可以看出，載荷盤(pán)的角加速度響應(yīng)隨著輸入軸轉(zhuǎn)速的增加呈逐漸上升的趨勢(shì)。而且，在不同的速度階段，其增長(zhǎng)的速度也有所不同。

圖7 輸入軸轉(zhuǎn)速與載荷盤(pán)角加速度最大值間的變化趨勢(shì)Figure 7 Change trend between input shaft speed and maximum angular acceleration of load plate

在低速階段，載荷盤(pán)角加速度的增加趨勢(shì)比較平緩，從38.9 r/s2到427.5 r/s2；在中速階段，角加速度從427.5 r/s2增加到2 852.4 r/s2，其趨勢(shì)有明顯的增加；而在高速工況下，從2 852.4 r/s2增加到11 255.4 r/s2，其增加的趨勢(shì)已經(jīng)非常顯著了。

4 結(jié)語(yǔ)

為對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析，課題組采用集中質(zhì)量法，建立了11自由度的弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)微分方程組，并以此求解機(jī)構(gòu)的固有頻率，根據(jù)固有頻率劃分轉(zhuǎn)速區(qū)間。課題組研究了輸入軸轉(zhuǎn)速分別為低速、中速和高速狀態(tài)下載荷盤(pán)角加速度的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，結(jié)果顯示：隨著輸入軸轉(zhuǎn)速的不斷提高，載荷盤(pán)的角加速度響應(yīng)的增長(zhǎng)趨勢(shì)趨于顯著。本研究為弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)后續(xù)動(dòng)力學(xué)研究提供了參考。后續(xù)深入研究應(yīng)考慮凸輪本身的彈性變形、分度盤(pán)和載荷盤(pán)在慣性載荷下的彈性變形對(duì)輸出端動(dòng)力學(xué)性能的影響。