高娜娜， 楊剛

蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 蘭州 730070

文獻(xiàn)[1]在研究交換Noether環(huán)上的有限生成模的概念時(shí)， 引入了G-維數(shù)為0的模， 并由此給出了Gorenstein局部環(huán)的等價(jià)刻畫． 受文獻(xiàn)[1]思想的啟發(fā)， 文獻(xiàn)[2]引入了任意環(huán)上的Gorenstein投射模、 Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模的概念． 之后許多學(xué)者對(duì)這3類模做了深入研究和推廣． 文獻(xiàn)[3]證明了在任意環(huán)R上， Gorenstein投射(Gorenstein內(nèi)射)模類是投射(內(nèi)射)可解類， 在凝聚環(huán)R上， Gorenstein平坦模類是投射可解類， 并由此進(jìn)一步研究了Gorenstein投射、 Gorenstein內(nèi)射和Gorenstein平坦維數(shù)． 為了研究所有Gorenstein投射模都是Gorenstein平坦模， 文獻(xiàn)[4]引入了投射余可解Gorenstein平坦模的概念．

環(huán)與模的擴(kuò)張是環(huán)與模范疇中的主要研究內(nèi)容． Frobenius擴(kuò)張作為一種特殊的環(huán)擴(kuò)張首先由文獻(xiàn)[5]引入． 之后， 文獻(xiàn)[6-7]對(duì)Frobenius擴(kuò)張進(jìn)行了進(jìn)一步的研究． 文獻(xiàn)[8]研究了Frobenius擴(kuò)張上Gorenstein投射模的性質(zhì)． 受此啟發(fā)， 本文主要討論Frobenius擴(kuò)張上投射余可解Gorenstein平坦模的性質(zhì)．

本文中R均指有單位元的結(jié)合環(huán)． 除非特別聲明， 本文中的R-模均指左R-模． P (R)表示投射模類．

1 投射余可解Gorenstein平坦模

定義1[4]如果存在投射R-模的正合列

使得

且對(duì)任意內(nèi)射Rop-模I， 有I?RP正合， 則稱R-模M是投射余可解Gorenstein平坦模．

以下將投射余可解Gorenstein平坦模簡記為PGF模， 以PGF(R)表示投射余可解Gorenstein平坦模類．

引理1[3]如果P (R)?X， 且對(duì)任意短正合列

其中X″∈X， 則X′∈X當(dāng)且僅當(dāng)X∈X， 稱X是投射可解類．

引理2[1，4]投射余可解Gorenstein平坦模類關(guān)于直和、 直和項(xiàng)、 擴(kuò)張封閉． 投射余可解Gorenstein平坦模類是投射可解類．

命題1若M是投射余可解Gorenstein平坦模， 則存在正合列

其中P是投射R-模，G是投射余可解Gorenstein平坦模．

證由投射余可解Gorenstein平坦模的定義可得．

定義2[9]如果下列等價(jià)條件之一成立：

(a) 函子A?R-和HomR(A， -)是自然等價(jià)的；

(b) 函子- ?RA和HomRop(A， -)是自然等價(jià)的；

(c)RA是有限生成投射模， 并且AAR?(RAA)*=HomR(RAA，R)；

(d)AR是有限生成投射模， 并且RAA?(AAR)*=HomRop(AAR，R)；

則稱環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張．

以下關(guān)于Frobenius擴(kuò)張的例子參見文獻(xiàn)[9]．

例1(i)對(duì)有限群G， Z?ZG是Frobenius擴(kuò)張；

(ii) 設(shè)H是群G的子群， 并且H在G中具有有限的指標(biāo)n， 其左陪集代表系為g1=e，g2，…，gn，Z是整數(shù)環(huán)，A=Z[G]是整群代數(shù)，R=Z[H]是A=Z[G]的子代數(shù)， 則R?A是Frobenius擴(kuò)張．

引理3[10]設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張，M是A-模． 則：

(i) 若M是投射A-模， 則M是投射R-模；

(ii) 若M是內(nèi)射A-模， 則M是內(nèi)射R-模；

(iii) 若M是投射R-模， 則A?RM是投射A-模．

對(duì)于投射余可解Gorenstein平坦模， 我們有如下結(jié)論：

命題2設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張，M是A-模． 若M是PGFA-模， 則M是PGFR-模．

證設(shè)M是PGFA-模． 則存在投射A-模的正合列

使得

且對(duì)任意內(nèi)射Rop-模I， 有I?RP正合． 注意到Pi是投射A-模， 則Pi是投射R-模， 故P也是投射R-模的正合列．

令I(lǐng)是內(nèi)射Rop-模． 則I?RA?HomRop(A，I)是內(nèi)射右A-模， 故有HomRop(A，I) ?AP正合． 由

I?RP?(I?RA)?AP?HomRop(A，I)?AP

有I?RP正合． 因此，M是PGFR-模．

命題3設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張，M是R-模． 則M是PGFR-模當(dāng)且僅當(dāng)A?RM(HomR(A，M))是PGFA-模．

證充分性 設(shè)A?RM是PGFA-模． 由命題2知A?RM是PGFR-模． 注意到RM是A?RM的直和項(xiàng)， 因此M是PGFR-模．

必要性 若M是PGFR-模， 則存在投射R-模的正合列

使得

且對(duì)任意內(nèi)射Rop-模I， 有I?RP正合． 因?yàn)镻i是投射R-模， 所以A?RPi是投射A-模． 因此，A?RP是投射A-模的正合列， 且

設(shè)I是內(nèi)射右A-模． 則由引理3知，I是內(nèi)射Rop-模． 又由

I?RP?(I?AA) ?RP?I?A(A?RP)

易得I?A(A?RP)正合． 故A?RM是PGFA-模．

2 投射余可解Gorenstein平坦維數(shù)

定義3定義R-模M的投射余可解Gorenstein平坦維數(shù)記為PGfdRM，

其中Pi∈PGF(R)}

若不存在正合序列

其中Pi∈PGF(R)， 則記PGfdRM=∞．

引理4令M是R-模， 則以下結(jié)論等價(jià)：

(i)PGfdRM≤n；

證注意到投射余可解Gorenstein平坦模類是投射可解類， 類似于文獻(xiàn)[3]的命題2.7， 引理4可證．

以下結(jié)論類似于文獻(xiàn)[3]的命題2.19：

引理5設(shè)R是環(huán)， {Mi}i∈I是一簇R-模． 則PGfdR(?i∈IMi)=sup{PGfdRMi：i∈I}．

證由投射余可解Gorenstein平坦模類關(guān)于直和封閉， 顯然

PGfdR(?i∈IMi)≤sup{PGfdRMi：i∈I}

要證

PGfdR(?i∈IMi)≥sup{PGfdRMi：i∈I}

只要證： 若Mi是M的直和項(xiàng)， 則

PGfdRMi≤PGfdRM

當(dāng)PGfdRM=∞時(shí)， 結(jié)論顯然成立． 設(shè)

PGfdRM=n<∞

由歸納假設(shè)， 當(dāng)n=0時(shí)， 由PGF(R)關(guān)于直和項(xiàng)封閉， 若M是PGFR-模， 則Mi是PGFR-模， 故PGfdRMi= 0． 假設(shè)當(dāng)PGfdRM=n-1時(shí)成立， 即

PGfdRMi≤n-1=PGfdRM

下證結(jié)論對(duì)n成立． 設(shè)M=M1?M2， 并且PGfdRM=n， 取M1，M2的投射分解， 有正合列

其中P1，P2是投射模， 做直和

其中P1?P2是投射R-模， 故

PGfdR(K1?K2)=PGfdRM-1=n-1

由假設(shè)知

PGfdRKi≤n-1

則

PGfdRMi≤n=PGfdRM

結(jié)論得證．

證設(shè)

分別是M′和M″的投射分解． 由馬掌引理有以下行和列正合的交換圖：

如果記

那么由以上交換圖可得序列

正合， 其中

若PGfdRM″<∞，PGfdRM<∞． 不妨設(shè)PGfdRM″≤m， 且PGfdRM≤m． 則由引理4知，Km和K″m均是投射余可解Gorenstein平坦模． 從而由正合序列

可得K′m是投射余可解Gorenstein平坦模． 由引理4知，PGfdRM′≤m．

若PGfdRM′<∞，PGfdRM″<∞． 不妨設(shè)PGfdRM′≤m， 且PGfdRM″≤m． 則由引理4知，K′m和K″m均是投射余可解Gorenstein平坦模． 從而由正合序列

可得Km是投射余可解Gorenstein平坦模． 由引理4知，PGfdRM≤m．

若PGfdRM′<∞，PGfdRM<∞． 不妨設(shè)PGfdRM′≤m， 且PGfdRM≤m． 則由引理4知，K′m和Km均是投射余可解Gorenstein平坦模． 從而由正合序列

可得PGfdRKm≤1． 由引理4知，PGfdRM≤m+1．

綜上所述， 命題4得證．

命題5設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張，M是R-模． 則PGfdR(A?RM)=PGfdA(A?RM)=PGfdRM．

證由命題2， 有

PGfdR(A?RM)≤PGfdA(A?RM)

由命題3， 有

PGfdA(A?RM)≤PGfdRM

故

PGfdR(A?RM)≤PGfdA(A?RM)≤PGfdRM

因?yàn)镽M是A?RM的直和項(xiàng)， 故由引理5得

PGfdRM≤PGfdR(A?RM)

即PGfdRM=PGfdR(A?RM)， 從而有

PGfdR(A?RM)=PGfdA(A?RM)=PGfdRM

定義4[8]如果滿足：

(a) 環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張；

則稱環(huán)擴(kuò)張R?A是可分Frobenius擴(kuò)張．

以下關(guān)于可分Frobenius擴(kuò)張的例子參見文獻(xiàn)[8-9]：

例2(i) 令F是域，A=M4(F)． 設(shè)R是A的子代數(shù)， 其F-基由下列冪等元和矩陣的單位元構(gòu)成：e1=e11+e44，e2=e22+e33，e21，e31，e41，e42，e43， 則R?A是可分Frobenius擴(kuò)張；

(ii) 對(duì)有限群G， Z?ZG是可分Frobenius擴(kuò)張．

定理1設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是可分Frobenius擴(kuò)張，M是A-模． 則M是PGFA-模當(dāng)且僅當(dāng)M是PGFR-模．

證必要性 由命題2可得．

充分性M是PGFR-模， 則存在R-模正合列

對(duì)任意I是A-模，I也是R-模， 有I?A(A?RP)?I?RP， 故I?A(A?RP)正合， 即A?RM是PGFA-模． 由環(huán)擴(kuò)張R?A是可分?jǐn)U張， 有AM是A?RM的直和項(xiàng)， 因此M是PGFA-模．

命題6令環(huán)擴(kuò)張R?A是可分Frobenius擴(kuò)張，M是A-模， 則PGfdAM=PGfdRM．

證由命題2， 若M是PGFA-模， 則M是PGFR-模， 故PGfdRM≤PGfdAM． 設(shè)

PGfdRM=m<∞

則存在R-模正合列

其中Gi是PGFR-模． 由命題3知，A?RGi是PGFA-模(i=1，2，…，m)， 則存在正合列

那么PGfdA(A?RM)≤m． 由環(huán)擴(kuò)張R?A是可分?jǐn)U張知AM是A?RM的直和項(xiàng)， 故由引理5知

PGfdAM≤PGfdA(A?RM)≤PGfdRM

結(jié)論得證．

推論1設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是可分Frobenius擴(kuò)張，M是A-模， 那么M是PGFA-模當(dāng)且僅當(dāng)A?RM(HomR(A，M))是PGFA-模．

證由命題3和定理1可得．

定義5定義R的左整體PGF維數(shù)記為lPGFD(R)，

lPGFD(R)=sup{PGfdRX：X是任意左R-模}

命題7設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是可分Frobenius擴(kuò)張． 則lPGFD(R)=lPGFD(A)．

證對(duì)于任意左R-模M， 由命題5知

PGfdA(A?RM)=PGfdRM

因此有

lPGFD(R)≤lPGFD(A)

下證lPGFD(R)≥lPGFD(A)． 任意A-模N， 由命題6知PGfdAN=PGfdRN． 故有

lPGFD(R)≥lPGFD(A)

綜合可得

lPGFD(R)=lPGFD(A)