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        圖基BCJ關(guān)系的弦論導(dǎo)出

        2022-07-09 11:12:34柳景沛杜一劍
        關(guān)鍵詞:排序

        柳景沛,杜一劍

        武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北武漢430072

        0 引言

        近年來研究表明,楊-米爾斯理論樹級色排序散射振幅滿足非平庸的Bern-Carrasco-Johansson(BCJ)關(guān)系[1],這與早期發(fā)現(xiàn)的Kleiss-Kuij(f KK)關(guān)系[2]一起對樹級色排序振幅的計算起到化簡作用。近期對愛因斯坦-楊-米爾斯理論振幅遞推展開公式[3~5]的研究引出了楊-米爾斯理論樹級色排序振幅的圖基BCJ關(guān)系。由于已有的KK和BCJ關(guān)系可以由弦論振幅關(guān)系的場論極限給出[6],而場論中的圖基BCJ關(guān)系是已有BCJ關(guān)系的組合[7],因此我們期望通過適當(dāng)組合弦論散射振幅,導(dǎo)出場論中的圖基BCJ關(guān)系。

        本文從具體例子出發(fā),借助弦論中的KK和BCJ關(guān)系,找到弦論振幅滿足的圖基關(guān)系。這一關(guān)系在場論極限下給出了楊-米爾斯場振幅的圖基BCJ關(guān)系以及與其伴隨的圖基KK關(guān)系。

        1 已知的弦論與場論散射振幅關(guān)系

        樹級色排序楊-米爾斯場散射振幅滿足以下的KK關(guān)系[2]

        其中,A(1,σ,n)表示給定排序(1,σ,n)下的楊-米爾斯場散射振幅;α,β是給定的粒子排序;βT表示β中粒子排序的逆序;符號表示兩個有序集的有序并集,在這個并集中每個有序集中元素保持原來的相對順序。楊-米爾斯場樹級色排序振幅還滿足以下BCJ關(guān)系

        (2)式左邊定義為

        在弦論中,開弦樹級散射振幅滿足如下關(guān)系[1,8]

        AI表示相應(yīng)色排序的開弦散射振幅。當(dāng)考慮外線為開弦無質(zhì)量態(tài)并取場論極限α'→0后,(4)式左右兩邊的實(shí)部相等,所以可推出(1)中的KK關(guān)系,等式右邊虛部為零則(2)式成立。因此,場論中的KK和BCJ關(guān)系可視為弦論中對應(yīng)關(guān)系的近似。

        文獻(xiàn)[5]提出了如下圖基BCJ關(guān)系

        其中,F(xiàn)表示由點(diǎn)和線構(gòu)成的樹圖;βi是任意選定的圖中的一個點(diǎn),稱為基點(diǎn);f(βi,βj)表示圖中βi與βj的距離,即圖中兩點(diǎn)相隔的最短路線的線段數(shù)表示一個排序的集合,其中元素的排序由下列規(guī)則確定:1)βi在排序最左邊;2)任意相鄰兩點(diǎn)與βi距離較近的排在左邊;3)當(dāng)兩個分支連在同一點(diǎn)上時,可能的排序集合為各自分支排序的有序并集。這里以一個四點(diǎn)圖作為例子,如圖1所示,圖中的點(diǎn)表示一部分外粒子。

        圖1 四點(diǎn)圖F4的一種情況Fig.1 A case of four-point graph F4

        對應(yīng)圖1的表達(dá)式為

        文獻(xiàn)[7]證明了圖基BCJ關(guān)系等號左邊的式子可以表示為(2)式左邊項(xiàng)的組合。于是可以證明有如下的圖BCJ關(guān)系

        本文給出弦論中的圖基散射振幅關(guān)系,這些關(guān)系在場論極限下可以導(dǎo)出相應(yīng)的楊·米爾斯場圖基BCJ關(guān)系(5)。

        2 少點(diǎn)弦散射振幅圖基關(guān)系及與場論的對應(yīng)

        通過整合弦論振幅關(guān)系,計算兩點(diǎn)、三點(diǎn)和一個四點(diǎn)的圖基BCJ關(guān)系。這一計算方法可以推廣至任意形式的圖基BCJ關(guān)系。

        對于楊-米爾斯場理論,單點(diǎn)的圖基BCJ關(guān)系(5)會退化到一般BCJ關(guān)系(2)。因此,只需使用與文獻(xiàn)[6]中相同的方法,便可得到最終結(jié)果,同時得到相應(yīng)的KK關(guān)系。在這里,可以看見弦散射振幅的BCJ及KK關(guān)系與場論的BCJ及KK關(guān)系有著一一對應(yīng)的關(guān)系。后面可以看到,證明高點(diǎn)的圖基BCJ關(guān)系依賴于低點(diǎn)的這種對應(yīng)。

        先考慮兩點(diǎn)圖情況的弦論散射振幅關(guān)系,也就是選取β1為基點(diǎn),且(5)式中F取圖2的情況。

        圖2 兩點(diǎn)圖F2Fig.2 Two-point graph F2

        為了找到與此情況對應(yīng)的弦論中的關(guān)系,考慮如下的弦散射振幅組合

        為了表示方便,有如下簡記

        對于(8)式中的第一項(xiàng),可以同樣利用(4)式寫成如下的關(guān)系

        同理,對于(8)式第二項(xiàng)有

        組合后?。?)式的虛部,因?yàn)槭阶邮巧⑸湔穹慕M合,其應(yīng)該是實(shí)數(shù),故虛部應(yīng)為0,即

        考慮(8)式的實(shí)部有如下關(guān)系

        這兩個關(guān)系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關(guān)系。在場論極限α'→0下,(13)式變?yōu)?/p>

        (14)式就是相應(yīng)的圖基KK關(guān)系。下面證明在場論極限下,(12)式退回到場的圖基BCJ關(guān)系。場論極限α'→0下,(12)式可寫為

        (15)式等號左邊的第二項(xiàng)和(12)式第一項(xiàng)中i=2的項(xiàng)相加,可以得到

        可以看到(16)式和(15)式第一項(xiàng)i=1的組合,正是楊-米爾斯場兩點(diǎn)圖基BCJ關(guān)系等式的右邊。由此印證了弦散射振幅與楊-米爾斯場之間的對應(yīng)關(guān)系。

        弦散射振幅在三點(diǎn)圖的情況下有兩種不同的形式,但是它們對應(yīng)著場論中的同一個關(guān)系。下面考慮三點(diǎn)圖的弦論散射振幅關(guān)系,也就是定義式(5)中F取圖3時的情況。

        圖3 三點(diǎn)圖F3Fig.3 T hree-point graph F3

        我們首先考慮選取β1為基點(diǎn)。

        考慮如下的弦散射振幅組合

        對(17)式中的第一項(xiàng),利用(4)式的規(guī)則寫成如下的關(guān)系

        同理,對(17)式第二項(xiàng)有

        對(17)式第三項(xiàng)有

        組合后,由于(17)式是散射振幅的組合,故虛部為0,得到如下關(guān)系

        再取(17)式的實(shí)部,得到如下等式

        這兩個關(guān)系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關(guān)系。在場論極限下,(22)式變?yōu)?/p>

        下面證明在場論極限下,(21)式退回到場的圖基BCJ關(guān)系。場論極限下(21)式可寫為

        聯(lián)系之前寫出的BCJ關(guān)系式,(24)式中的第一項(xiàng)中i=2,3的部分可以記作

        (25)式中B的定義與(3)式中的定義相同,β1?β2表示只包含在色排序中β1排在β2的左邊的那些項(xiàng)。(25)式和(24)式中的第二項(xiàng)結(jié)合得到

        (26)式再與(24)式的最后一項(xiàng)合并,可以得到

        對(27)式和(24)式的第一項(xiàng)求和,可以看到這正是三點(diǎn)的圖基BCJ關(guān)系。三點(diǎn)圖還有另一種情況,即依舊使用圖3,但以其中的中間點(diǎn)β2為基點(diǎn)。此時考慮如下的弦振幅組合

        運(yùn)用同樣的方法可以得到

        這也是三點(diǎn)的圖基BCJ關(guān)系,只是基點(diǎn)不相同,因此與前一種方法得到的結(jié)果是相符合的。

        考慮四點(diǎn)圖的弦論散射振幅關(guān)系。對于四點(diǎn)圖的散射振幅,也有多種不同情況,這里只重點(diǎn)計算最非平凡和有代表性的例子??疾於x式(5)中F如圖1所示,以β4為基點(diǎn)的情況??紤]如下的弦散射振幅組合

        對(30)式中的第一項(xiàng),同樣利用公式(4)的規(guī)則寫成如下的關(guān)系

        同理,對(30)式第二項(xiàng)有

        對(30)式第三項(xiàng)有

        對(30)式第四項(xiàng)有

        與前面同樣的理由,等式(31)~(34)兩邊求和后式子的虛部為0,得到如下的關(guān)系

        (31)~(34)式的實(shí)部相等,有

        (35)和(36)式這兩個關(guān)系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關(guān)系。在場論極限下,(36)式變?yōu)?/p>

        下面證明在場論極限下,(35)式退回到場的圖BCJ關(guān)系。場論極限下(35)式可寫為

        (38)式右邊的第四項(xiàng)i=1部分可以寫成

        其中F1表示由β1組成的單點(diǎn)圖。(39)式和(38)式右邊第一項(xiàng)相加,得到如下結(jié)果

        同樣的方法處理(38)式右邊的第四項(xiàng)i=2,3部分也能得到

        3 結(jié)語

        從本文的證明中可以看出,弦論中的開弦散射振幅關(guān)系與楊-米爾斯場的散射振幅關(guān)系存在對應(yīng)。通過找到弦論振幅的圖基關(guān)系,并對其虛部取場論極限,就能方便地得到場論中的圖基BCJ關(guān)系。若對其實(shí)部取場論極限,可得到與圖基BCJ關(guān)系相伴隨的新關(guān)系。這一證明方法更加清晰地揭示了場論振幅與弦理論振幅之間的關(guān)聯(lián)。如何將相關(guān)討論推廣至圈級振幅,仍有待進(jìn)一步研究。

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