任美英

（武夷學院 數(shù)學與計算機學院，福建 武夷山 354300）

自1997年P(guān)hillips[1]提出并研究q-Bernstein算子以來，q-微積分在逼近論中的應(yīng)用成為一個研究熱點，很多逼近論方向的專家學者致力于該領(lǐng)域的研究，研究成果較為豐富[2-5]。2019年，任美英研究Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的逼近性質(zhì)，得到了算子列的一個Korovkin型收斂定理，并給出算子列收斂速度的一些估計[6]。

為研究Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的統(tǒng)計逼近性質(zhì)，引入q-整數(shù)和q-微積分的若干概念[7-8]。對任意固定的實數(shù)q＞0和非負整數(shù)k,q-整數(shù)和q-階乘分別定義為：

Beta函數(shù)的q-模擬定義為：

其中：α，β是給定的兩個實參數(shù)，滿足0≤α≤β。

1 引理

為了研究的需要，引入幾個輔助結(jié)論。

2 統(tǒng)計逼近

注意：任何收斂數(shù)列是統(tǒng)計收斂的，但反之不然[12]。

設(shè)B[a,b]表示定義在區(qū)間[a,b]上的所有有界函數(shù)的集合，C[a,b]表示定義在區(qū)間[a,b]上的所有連續(xù)函數(shù)的集合。

2002年，Gadjiev和Orhan將統(tǒng)計收斂概念應(yīng)用到逼近理論中，得到了如下關(guān)于統(tǒng)計收斂的Bohman-Korovkin型逼近定理[13]。

設(shè)序列q=｛qn｝,0＜qn＜1滿足條件：

下面給出Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的統(tǒng)計逼近定理。

定理2 讓序列q=｛qn｝,0＜qn＜1滿足條件（5）,則對任意f∈C[0,1],有

證明 由Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子和q-Jackson積分的定義知，對任意f∈C[0,1]，是從C[0,1]到C[0,1]的正線性算子列。對eν（t）=tν，ν=0,1,2，由（2）式,顯然有

對任意給定的正數(shù)ε，令

綜合（6）式、（8）式和（10）式，由定理1可知，所述的結(jié)論成立。

3 統(tǒng)計收斂速度

對f∈C[0,1]和δ＞0,f的連續(xù)模定義為：

又因為對λ＞0，有ω（f,λδ）≤（1+λ）ω（f,δ），所以，對任意的t,x∈[0,1]和δ＞0有

下面將借助連續(xù)模，給出Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的統(tǒng)計收斂速度。

定理3 讓序列q=｛qn｝,0＜qn＜1滿足條件(5),則對任意f∈C[0,1],有其中