210003 南京師范大學附屬中學 管慧慧
內容:
建立生活情境中的二次函數(shù)回歸模型——對“拋球入籃問題”的建模研究.
內容解析:
二次函數(shù)回歸模型是回歸模型概念的一個下位概念,是與線性回歸模型同級的概念,因此教學過程中要充分應用類比和化歸的研究方法.
從整體教學的理念出發(fā)進行單元式設計,落實新課標提出的跳出課時,更為整體地規(guī)劃學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.
教師對教材中具有內在關聯(lián)性的內容進行分析、重組、整合,形成相對完整的單元,以優(yōu)化教學效果,為學生深度學習創(chuàng)造機會.
本單元內容基礎來源于三個方面.
蘇教版數(shù)學教材中,必修3介紹了兩個變量間的線性相關關系,包括畫散點圖、最小二乘思想、用最小二乘法求回歸直線方程等內容;選修2-3介紹了回歸分析的基本思想和方法;選修2-1介紹了利用導數(shù)求一元函數(shù)最值的方法.
在此基礎上,學生在本單元進一步學習二次函數(shù)(非線性)回歸模型的建立方法.
學生將以自主實驗“根據(jù)拋球軌跡上的數(shù)據(jù)點預測拋球能否入籃”為載體,運用最小二乘思想,探尋二次函數(shù)回歸模型的數(shù)學表達式,并領會統(tǒng)計思想的應用價值,學習如何正確解讀模型的預測結果.
學生將經歷數(shù)據(jù)收集和數(shù)學建模的全過程,豐富發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的體驗,為將來開展其他主題的數(shù)學建模活動積累經驗.
在推導拋球軌跡回歸方程的過程中,突出數(shù)形結合、類比、函數(shù)與方程、化歸等思想,有利于學生進一步感悟數(shù)學思維的魅力和數(shù)學方法的靈活,提升數(shù)學應用意識和實踐能力.
因此,本單元的教學重點是通過體驗實際拋球問題的研究過程,學生理解二次函數(shù)回歸模型的基本思想和數(shù)學建模思想,發(fā)展在生活中發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.
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(2)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,根?jù)位置點坐標,探求拋球軌跡的二次函數(shù)回歸方程的建立方法,即根據(jù)最小二乘思想,建立位置點橫縱坐標間的二次函數(shù)最佳擬合關系式.
體會數(shù)學抽象和數(shù)形結合思想的重要性,學習用數(shù)學語言表達真實問題.
(3)通過固定變量法,將尋找“二次函數(shù)回歸方程系數(shù)的估計值”轉化成“含參二次函數(shù)求最小值問題”,類比一元函數(shù)求最值的方法求多元函數(shù)最值,得到二次函數(shù)回歸方程,體會化歸思想和類比思想.
(4)通過殘差圖及與實際拋球結果對比,判斷模型的預測效果,理解統(tǒng)計思想的應用和數(shù)學結論回歸現(xiàn)實的必要性,體會數(shù)學源于生活又服務于生活,鍛煉用數(shù)學思維思考世界.
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(2)實際問題的數(shù)學化過程挑戰(zhàn)較大.
學生需要理解線性回歸模型中的最小二乘思想,才能構建評價函數(shù)辨識未知量與已知量,才能將“求拋球軌跡的二次函數(shù)回歸方程y
=ax
+bx
+c
系數(shù)的最佳估計值”轉化成“求使評價函數(shù)取得最小值時的a
,b
,c
的值”.
(3)模型求解環(huán)節(jié)中,學生需要類比一元函數(shù)求導思想,可能需要教師提示,且計算量較大,需要Excel操作的自學能力.
本單元教學難點是數(shù)據(jù)的收集,以及用最小二乘法求一元二次函數(shù)回歸方程的基本思想.
學生借助攝像機、卷尺、長尺、三角板、網球、建筑外墻等完成拋球實驗,記錄相關數(shù)據(jù),通過剪輯軟件、GeoGebra等對視頻和圖片進行后期處理,運用Excel輔助求解.學生已有的線性回歸知識和一元函數(shù)求導知識為本節(jié)課的教學提供了保證.
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課時1:
預測模型類型并討論合理性.
小組合作實地拋球,視頻記錄并實地測量.
課后對圖片和視頻做后期處理,形成“根據(jù)拋球軌跡上的數(shù)據(jù)點預測拋球能否入籃”的材料包,包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點數(shù)據(jù).
課時2:
抽取一組材料包中的拋球“不完整”視頻和軌跡的位置點數(shù)據(jù),學生通過建立二次函數(shù)回歸方程,預測該次拋球是否入籃,解決問題后回歸現(xiàn)實檢驗預測結果,并結合統(tǒng)計思想反思模型的應用與改進.
課時1 實際問題的數(shù)學模型抽象、數(shù)據(jù)收集
問題1
做拋球實驗時,球運動的軌跡是什么,怎么刻畫?預設答案:
根據(jù)物理知識,不計阻力的情況下,拋球運動的軌跡是一條拋物線,可用一元二次函數(shù)刻畫.
問題2
實際拋球過程中,影響拋球軌跡的因素有哪些?預設答案:
出手速度、角度;考慮到拋球距離不大,阻力、測量誤差等實際存在,且不可忽略.
追問1
這些因素中哪些是確定拋球軌跡所必須測量的?其他因素該怎樣處理?預設答案:
方法不同,測量的量也不同.
坐標法需要測量球的一般位置坐標,或與x
軸的交點坐標,或頂點坐標;參數(shù)法需要測量出手速度和角度.
摩擦力、風速等外力影響存在但難以測量,實驗中應盡量控制,使這些因素影響盡量小.
設計意圖:
通過對函數(shù)圖像或軌跡類型和影響因素的探討,感知模型要素和適用條件,經歷模型準備環(huán)節(jié)(模型假設和變量確定).
追問2
如果需要自己測量數(shù)據(jù),確定拋球軌跡,你會怎樣設計測量方案,為什么?預設答案:
可設計比較精準的坐標測量體系,建立平面直角坐標系確定球的位置坐標,或用軟件處理圖片,輔助確定球運動時的位置坐標.
測量出手速度和角度需要特殊工具,課堂實地測量較難實現(xiàn).
追問3
如何判斷球是否入籃,你會給出怎樣的判斷標準,為什么?預設答案:
對“入籃”進行定義.
根據(jù)籃球投籃體驗,常見的入籃有“空心入籃”和“打板后入籃”,其中“打板后入籃”本質為在籃筐后立板的輔助作用下的入籃,拋球軌跡其實已發(fā)生改變.
因此本實驗中將“入籃”定義為“空心入籃”,即拋球軌跡在入籃瞬間并未改變,球入籃筐內,且與邊緣無接觸.
圖1 “二次函數(shù)回歸模型——拋球入籃問題”的單元教學設計圖
對于“籃筐”的選取,根據(jù)所拋“球”的差異,選用不同“籃筐”.
“籃球”小組選用標準籃筐;“高爾夫球”“網球”等小組,根據(jù)課堂實際取材的便利性,用“橫截面為圓形,半徑比所拋球半徑略大的筒狀物(如紙筒、塑料環(huán)等)”替代“籃筐”.
提出假設條件.
因實際“拋球入籃”為空間問題,為方便測量,近似地認為(盡量控制)拋球軌跡與籃筐中心點在同一平面內,僅測量水平距離和豎直高度即可確定入籃位置.
具體如下.
對于“高爾夫球”“網球”等小組,拋球前,將籃筐緊貼墻面(籃筐橫截面與墻面垂直)放置并固定.
拋球時,實驗者將球貼近豎直墻面拋出,因實際實驗中拋球軌跡平面與墻面距離d
比球的半徑r
略小,籃筐半徑r
比球的半徑r
大一點,考慮邊緣厚度d
后,認為球的質心到墻面距離與籃筐(橫截面)中心到墻面距離近似相等,即r
+d
≈r
+d
,假設條件成立(如圖2所示).
對于“籃球”小組,拋球時盡量保持球的質心與籃筐(上橫截面)中心在同一垂直于地面的平面內.
圖2 球與籃筐相對位置俯視示意圖
圖3 入籃俯視示意圖
提出入籃范圍的確定方法.
測量籃筐邊緣厚度d
,球的半徑r
,籃筐半徑r
(如圖3所示),水平距離、豎直高度等,根據(jù)本組拋球測量方案確定具體入籃坐標范圍.
設計意圖:
探討方法的差異,統(tǒng)一課堂實驗中的數(shù)據(jù)獲取方法,便于學生參與,也利于課后自主調整方案.
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學生做五組拋球體驗,小組討論后細化方案.
教師出示以下單元挑戰(zhàn)任務.
選擇本組認為最可行的方法,確定細致的測量和實施方案,完成一次拋球并以視頻記錄,課后剪輯該次拋球的“不完整”視頻,標注“確定拋球軌跡函數(shù)”的必要數(shù)據(jù),給其他組同學出題:根據(jù)“不完整”視頻和數(shù)據(jù),預測“球是否入籃”.
解答完成后,出示該次拋球的“完整”視頻,共同分析預測結果及其原因.
設計意圖:
學生需結合求二次函數(shù)的解析式所需的條件,綜合思考實驗方案,確保出題有效性.
看似“出題”,實則“被考”.
問題3
闡釋本組實驗和數(shù)據(jù)收集方案及確定該方案的原因.
預設答案:
關于球的選取,考慮到獲取的難易、質心的確定、追蹤的難易、摩擦力等外力控制,各組經過多次實驗對比,認為質量較大、外形較小的球體對于確定球的運動軌跡更合適.
多數(shù)組選擇高爾夫球或網球,也有組愿意用籃球嘗試,通過放大拋球距離,相對縮小測量誤差.
關于拋球方案,各組選擇的二次函數(shù)模型集中在一般式y
=ax
+bx
+c
(a
,b
,c
為參數(shù)),以及頂點式y
=a
(x
-h
)+k
(a
,h
,k
為參數(shù)),x
為水平距離(或相對水平距離),y
為豎直高度(或相對縱向距離).
具體方案因數(shù)據(jù)點的位置和個數(shù)各異,大致分為以下三類.
方案1
(頂點式模型y
=a
(x
-h
)+k
):出手點和籃筐在同一高度,拋球并記錄過程,視頻抓取球的最高點位置坐標.
方案2
(一般式模型y
=ax
+bx
+c
):自制坐標網格,直接追蹤拋球軌跡的位置點坐標(如圖4所示).
圖4 方案2示例
方案3
(一般式模型y
=ax
+bx
+c
):通過后期圖片處理或追蹤軟件確定拋球軌跡的位置點坐標(如圖5所示).
圖5 方案3示例
追問
對比這三種方案,最具代表性(可涵蓋其他方案知識點)的方案是哪個?預設答案:
方案1僅適于特殊情境的投籃問題,最高點位置難捕捉.
方案2可收集到一般位置點的坐標,涵蓋方案1知識點,難點在于如何制作合適的坐標體系并精確測量坐標.
方案3思想與方案2相似,難點在于后期編輯軟件和數(shù)學軟件的使用.
方案2、方案3更具代表性.
學生建立坐標系收集數(shù)據(jù).一組學生嘗試記錄拋球方案并根據(jù)建筑外墻輔助測量坐標和誤差(如圖6所示),一組學生用Photoshop合成完整拋球路徑、用GeoGebra軟件對坐標進行精確定位(如圖7所示).
圖6
圖7
設計意圖:
積累現(xiàn)實體驗,感受數(shù)據(jù)測量的難度和“模型是對現(xiàn)實問題的近似描述”的含義,為理解數(shù)學建模思想以及樣本與總體、隨機誤差、回歸方程等統(tǒng)計概念打下基礎.
課時2 數(shù)學模型的建立、求解、應用與反思
.
問題4
根據(jù)位置點坐標,如何確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數(shù)?預設答案:
選取測量較精準的三個點坐標,代入二次函數(shù)一般式y
=ax
+bx
+c.
學生充分嘗試后產生困惑.
測量誤差已控制到最小,為什么代入不同的三點坐標,得到的系數(shù)值差別很大?追問1
為什么同組學生運用相同坐標系,選擇同一次拋球軌跡上的不同三點,求得的二次函數(shù)表達式卻不相同?預設答案:
測量的是樣本位置點,因為存在誤差,這些點并不會完全落在所假設的拋物線上,而是落在那條曲線附近,所以用待定系數(shù)法求出的二次函數(shù)表達式不同.
追問2
產生誤差的原因有哪些?預設答案:
誤差是隨機的,產生的原因較為復雜,可能有以下原因.
(1)測量誤差.
(2)圖像的保真誤差.
(3)真實環(huán)境中的多種影響因素,如風阻、摩擦力、實驗時用質點近似球體等,選用二次函數(shù)模型近似還原拋球軌跡,本身也存在誤差.
追問3
有了這些認識,怎樣確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數(shù)?預設答案:
根據(jù)回歸分析知識,只能用二次函數(shù)回歸方程來近似表達拋球軌跡方程.
所以不能僅取三點,而是要多取一些數(shù)據(jù)點,尋找“離這些點都近的那條拋物線”的二次函數(shù)方程.
設計意圖:
學生體會到回歸模型的相關關系與函數(shù)模型的確定性關系有區(qū)別,隨機誤差客觀存在.
問題5
怎樣用數(shù)學語言刻畫“離這些點都近的拋物線”?預設答案:
類比線性回歸模型刻畫“離所有點都近”的方法,就是求“使縱向距離(殘差)平方和最小”的二次函數(shù)的系數(shù)值,也即是求使取得最小值時的a
,b
,c
的值.
追問1
不妨將建立的這個新函數(shù)稱為評價函數(shù),評價函數(shù)的自變量是什么?預設答案:
點的位置坐標(x
,y
)為已知量,a
,b
,c
為未知量,評價函數(shù)是以a
,b
,c
為自變量的三元二次函數(shù),因而可以記為追問2
如何用評價函數(shù)刻畫拋球軌跡?預設答案:
求拋球軌跡的二次函數(shù)回歸方程=ax
+bx
+c
系數(shù)的最佳估計值,即求“使評價函數(shù)取得最小值時的a
,b
,c
的值”.
設計意圖:
“模型抽象”以實現(xiàn)描述性語言的數(shù)學化,從實際情境進入數(shù)學世界,深入理解最小二乘思想.
問題6
探究評價函數(shù)何時取得最小值.
預設答案:
f
(a
,b
,c
)是以a
,b
,c
為自變量的三元二次函數(shù),整理形式后,則有如果評價函數(shù)是一元函數(shù),可利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值.
但評價函數(shù)是三元(變量)函數(shù),且從結構上預判,直接展開求解計算量太大.
追問1
(教師可提示性提問) 如果將其中一元(如a
)看作自變量,固定其余兩個量(如b
,c
),即將b
,c
看作參數(shù),類比一元函數(shù)求導方法,我們可以得到怎樣的表達式?(視需要,教師也可引入偏導數(shù)的概念)預設答案:
(1)將a
視作唯一變量,有當時,f
(a
)取得最小值.
(2)將b
視作唯一變量,有當時,g
(b
)取得最小值.
(3)將c
視作唯一變量,則有當時,h
(c
)取得最小值.
整理后得到一個關于a
,b
,c
的方程組:追問2
現(xiàn)有一組同學的六個觀察數(shù)據(jù)點(20,8),(90,60),(120,68),(150,65),(170,60),(180,55),怎樣求“使評價函數(shù)取得最小值的a
,b
,c
的值”?預設答案:
根據(jù)該組數(shù)據(jù),n
=6,得方程組代入數(shù)據(jù),因數(shù)值較大,用Excel輔助計算,整理得
用Excel的函數(shù)功能求解此方程組,得二次函數(shù)的回歸方程=-0.
00501x
+1.
295932x
-15.
9086.
設計意圖:
體會化歸思想,通過固定變量法解決多元二次函數(shù)求最值的難點,實現(xiàn)“模型求解”.
問題7
怎樣用所得函數(shù)預測“拋球是否入籃”?預設答案:
讀取該組同學提供的數(shù)據(jù)包.
選用了高爾夫球,球半徑r
=2.
2cm,籃筐設定在縱坐標為0處,籃筐內半徑r
=3.
8cm, 籃筐邊緣厚度d
=1.
2cm,得到“入籃”位置點的橫坐標范圍區(qū)間(243.4cm,246.6cm),數(shù)值落在區(qū)間內可判定“投中”.
根據(jù)回歸方程=-0.
00501x
+1.
295932x
-15.
9086=0,解得“入籃”位置點的橫坐標為245.
748cm,在預定區(qū)間,可判定本次拋球“入籃”.
設計意圖:
思考如何運用模型進行實際預測,并體驗數(shù)學結論如何“回譯”到生活中.
問題8
模型合理嗎?怎樣檢測?預設答案:
(1)計算殘差,繪制殘差圖,觀察殘差圖發(fā)現(xiàn)本次預測合理(如圖8所示).
圖8
(2)觀察投球的實際結果,對比該次拋球的“完整”視頻,同樣發(fā)現(xiàn)預測正確.
設計意圖:
通過統(tǒng)計結果分析和現(xiàn)實結果對照,經歷“模型檢測”,關注思維的嚴謹性.
問題9
如果同一次拋球還觀察到第7組位置數(shù)據(jù),這組數(shù)據(jù)一定滿足所得二次函數(shù)回歸方程=-0.
00501x
+1.
295932x
-15.
9086嗎?預設答案:
不一定.
設計意圖:
再次反思回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別.
問題10
怎樣選取數(shù)據(jù)點有利于得到合理的二次函數(shù)回歸方程?預設答案:
(1)考慮到統(tǒng)計取樣的有效預測范圍,數(shù)據(jù)點越接近籃筐位置越利于減少模型“外推”預測時的誤差.
(2)盡量分散選取到不同位置的數(shù)據(jù)點.
(3)數(shù)據(jù)點越多,求解時的計算量越大,適量選取代表性數(shù)據(jù)點即可.
追問
用Excel對這六組數(shù)據(jù)直接進行二次函數(shù)擬合,能得到怎樣的回歸方程?預設答案:
操作后發(fā)現(xiàn),與以上所得回歸方程一致(選擇合適的近似數(shù)位,如圖9所示).
圖9 Excel對六組數(shù)據(jù)的擬合結果
設計意圖:
引發(fā)學生思考數(shù)據(jù)的選擇方式與模型預測效果優(yōu)劣的可能關聯(lián),同時關注到運用軟件進行二次函數(shù)擬合時,所得計算結果背后的數(shù)學原理.
問題11
有同學發(fā)現(xiàn),如果用三次函數(shù)擬合給定數(shù)據(jù)點,r
值更高,怎樣看待這個現(xiàn)象?預設答案:
判斷擬合效果時,除了考察統(tǒng)計指標值,更應該結合模型機理進行分析,不能憑借單一的統(tǒng)計量下結論.
根據(jù)物理知識和公式推演,拋球軌跡近似符合一元二次函數(shù),不能僅通過r
值高低簡單推翻模型假設.
設計意圖:
解決疑惑點,認識模型機理分析與統(tǒng)計分析結合的重要性,不能機械地理解統(tǒng)計指標.
問題12
請從知識內容、思想方法等方面說說本單元的學習收獲.
預設答案:
對于這一開放式問題,可著重總結以下幾點.
1.
數(shù)據(jù)測量和數(shù)學建模的過程.
2.最小二乘思想求二次函數(shù)回歸方程的方法.
3.
模型效果的檢測.
4.
模型結果在實際情境中的解讀、統(tǒng)計思想的應用等.
設計意圖:
回顧數(shù)學建模的一般過程,在實踐中落實數(shù)學核心素養(yǎng).
問題13
如果時間充裕,研究“拋球入籃”問題時,你還會嘗試怎樣的不同方案?預設答案:
可嘗試不同的模型類型和收集數(shù)據(jù)的方式,如測量出手角度和初始速度,建立二次函數(shù)的參數(shù)式模型.
設計意圖:
讓學生體會方法的可遷移性,探索同一問題的不同研究角度,同時意識到建模不是一次性的學習過程.
問題14
本單元所學建模方法還可幫助你研究生活中哪些問題?預設答案:
運動會投擲的標槍、噴泉設計、炮彈的發(fā)射、飛車飛越海峽、火山噴出的巖漿、節(jié)日的煙花等.
設計意圖:
探討模型在其他情境中運用的可能,為未來的學習和研究做準備.
課時1作業(yè)
對圖片和視頻做后期處理,形成“根據(jù)拋球軌跡上的數(shù)據(jù)點預測拋球能否入籃”的材料包,包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點數(shù)據(jù).
采用小組互評和教師課堂觀察相結合方式,從方案可行性、視頻及數(shù)據(jù)準確性、題目合理性、個人貢獻度等維度對提交的作業(yè)進行評分.
課時2作業(yè)及單元作業(yè)
1.
如表1,請畫出以下四組數(shù)據(jù)的散點圖,用最小二乘法以函數(shù)型y
=ax
+bx
+c
擬合,在平面直角坐標系中畫出擬合效果圖和殘差圖,并與運用Excel或圖形計算器所得的結果進行比對.
設計意圖:
直接復現(xiàn)本單元最小二乘法求解二次函數(shù)及其殘差的方法,關注模型求解和分析.
2.
完成一道來自其他組的題目,課堂交流展示選題理由、建模過程,或將成果制作成海報展示.
表1
x值0.5122.5y值4.85.55.43.6
設計意圖:
延續(xù)課堂探討,充分尊重學生的探究成果,注重方案的多樣性和探究的自主性,個人探究與小組合作結合.
3.
圖10展示了某地一座拱橋,請用本單元所學建模方法給出拱橋的最佳擬合曲線方程,并確定這座橋的最大通行高度,將成果寫成2000字左右的研究小論文.
圖10
設計意圖:
從實際問題的模型抽象出發(fā),完整復現(xiàn)本單元的建模過程,再次體會用數(shù)學模型解決生活問題的方法,同時培養(yǎng)學生數(shù)學建模小論文的撰寫能力.
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數(shù)學建模具有“用數(shù)學解決實際問題”的特點.
選擇貼合學生生活的素材合理設計教學,能幫助學生逐步建立自主思考的思維習慣,有利于數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.
本單元建模活動中,無論是數(shù)據(jù)收集,還是“是否入籃”的判斷,解決的方案都不唯一,每一步均需細致考量,有時理論推導和實驗結果還會產生矛盾.
這與解決教材、試卷中確定性問題的方法差異很大,學生在一個個具體環(huán)節(jié)中直觀感受到了認知沖突,進而促發(fā)自主思考,激活原有知識框架并不斷矯正認知偏差,獲取對“隨機誤差”“回歸方程”等抽象概念的深層理解,從“一個”問題上升到“一類”問題進行思考,在挑戰(zhàn)中體會到“學數(shù)學、用數(shù)學”的趣味.
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本單元通過14組問題串的討論,創(chuàng)造機會讓學生通過觀察生活、猜想、實驗,形成觀察世界的“數(shù)學眼光”.
再通過“實際問題數(shù)學化”,學生經歷分析、類比、創(chuàng)造等一系列思維活動,學習用數(shù)學的語言表達世界.
在“模型反思”環(huán)節(jié),學生深入體會科學嚴謹?shù)臄?shù)學建模思想和統(tǒng)計思想,形成思考世界的“數(shù)學思維”.
教師對關鍵點追問,讓學生逐步看清問題的癥結,實現(xiàn)思維突破.
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單元作業(yè)中也考慮到學生的多樣化需求,分別設置基礎任務和挑戰(zhàn)性任務,評價時加入過程性評價,充分關聯(lián)學生的原有認知基礎和成長點.
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本單元的學習,學生對于技術支持條件下的探究活動表現(xiàn)出極大熱情,呈現(xiàn)出豐富而個性鮮明的實驗成果,為模型分析和反思奠定了堅實基礎.
通過Excel和圖形計算器等處理復雜數(shù)據(jù),節(jié)省了計算時間,提高了準確率,確保單元探究高效而中心突出.