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        高階思維視角下的幾何定理教學(xué)
        ——以“三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論”為例

        2022-07-08 00:53:38200233上海市世界外國語中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
        關(guān)鍵詞:平行線高階性質(zhì)

        200233 上海市世界外國語中學(xué) 梁 舒

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出,教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考,增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,分析和解決問題的能力

        .

        按照布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類(此處看作思維目標(biāo)),教學(xué)目標(biāo)依據(jù)認(rèn)知復(fù)雜程度由低到高分為識記、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造六個層次,其中后三層(分析、評價、創(chuàng)造)被稱為高階思維能力

        .

        高階思維體現(xiàn)了時代對人才素質(zhì)提出的新要求,也是適應(yīng)時代發(fā)展的關(guān)鍵能力

        .

        因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想和方法,培養(yǎng)學(xué)生的思維,尤其是分析、評價和創(chuàng)造層次的高階思維

        .

        學(xué)生高階思維培養(yǎng)的主要場所是數(shù)學(xué)課堂

        .

        因此,教師在設(shè)計引入、概念形成、例題處理以及小結(jié)的各個環(huán)節(jié)上如何設(shè)計思維任務(wù),啟發(fā)學(xué)生的高階思維顯得尤為重要

        .

        筆者以“三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論”為例,闡述對高階思維視角下課堂實施的見解

        .

        一、 教學(xué)環(huán)節(jié)

        (一)情境導(dǎo)入

        原題

        一臺幻燈片投影儀被安裝在距離屏幕4米處,幻燈片距離投影儀16毫米(如圖1所示),

        AD

        BC

        ,如果幻燈片是一張長為22毫米、寬為16毫米的圖片,求圖片投影在屏幕上圖像的長和寬

        .

        圖1

        師:題目中有哪些已知信息?三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的條件和結(jié)論分別是什么?(引導(dǎo)學(xué)生對題目進行分析,嘗試將其與已學(xué)知識建立聯(lián)系)

        生:已知

        AD

        BC

        以及一些線段的長度

        .

        條件是有一條平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,結(jié)論是截得的對應(yīng)線段成比例

        .

        圖形語言表述如圖所示,其中圖2-1、圖2-2為A字型圖形,圖2-3為X型圖形.

        圖2-1圖2-2

        圖2-3圖3

        生:題目符合A字型

        .

        (定理轉(zhuǎn)換為圖形語言后,學(xué)生很容易與A字型聯(lián)系起來)

        師:題目滿足性質(zhì)定理的條件,運用性質(zhì)定理能否求得圖片投影在屏幕上圖像的長和寬,能否解決該問題?(引導(dǎo)學(xué)生將題目的所求與性質(zhì)定理的結(jié)論進行對比,發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理的局限)

        生:不能

        .

        如圖3,將問題抽象成A字型后,圖像的長是圖中

        BC

        的長,

        BC

        不在三角形被截的兩邊所在的直線上,性質(zhì)定理的結(jié)論中沒有涉及這種情況

        .

        學(xué)生對比后發(fā)現(xiàn)雖然題目中的圖形符合A字型,也滿足相關(guān)條件,但運用性質(zhì)定理的結(jié)論卻無法解決該問題,進而產(chǎn)生了認(rèn)知沖突

        .

        (二)探究三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

        師:在性質(zhì)定理的結(jié)論中,有關(guān)的比例線段分別在三角形兩邊所在的直線上,圖形中線段

        DE

        雖不在三角形被截的兩邊上,但是它和圖形中其他線段之間是否存在比例關(guān)系?(向?qū)W生指明思考的方向)師:先考慮

        D

        E

        分別是三角形兩邊中點的特殊情況

        .

        (學(xué)生已學(xué)習(xí)中位線定理,較容易解決此問題)

        圖4

        問題1

        如圖4,如果點

        D

        ,

        E

        分別在△

        ABC

        的邊

        AB

        ,

        AC

        上,且

        D

        ,

        E

        是邊

        AB

        AC

        的中點,

        DE

        BC

        ,那么成立嗎?師:再考慮

        D

        E

        是三角形兩邊上任意一點的一般情況

        .

        (引導(dǎo)學(xué)生對一般情況進行分析思考,培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力)

        問題2

        問題1中點

        D

        和點

        E

        位置改變時,圖形存在哪幾種情況?根據(jù)“點的位置移動”,學(xué)生可能畫出的圖形如圖5-1—圖5-9所示

        .

        圖5-1圖5-2

        圖5-3圖5-4

        圖5-5圖5-6

        圖5-7圖5-8

        圖5-9

        師:大家畫出的圖形與問題1中的圖形相比有什么異同?是否可以按某種標(biāo)準(zhǔn)將上述圖形進行分類呢?(引導(dǎo)學(xué)生將情況分類,發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理推論的條件)

        生:按照

        DE

        是否與

        BC

        平行進行分類

        .

        結(jié)合圖形和已學(xué)性質(zhì)定理,學(xué)生能較為容易地對圖形進行分類,如下所示

        .

        問題3

        在圖5-3和圖5-6兩種情況下,是否仍然成立?如果成立,請給出證明

        .

        請大家分小組討論,之后每組選出一位同學(xué)分享

        .

        師:

        D

        E

        分別在△

        ABC

        的邊

        AB

        ,

        AC

        上時,如圖5-3的情況如何證明?

        圖6-1圖6-2

        方法1:

        D

        DF

        AC

        交邊

        BC

        于點

        F

        (如圖6-1)

        .

        方法2:

        延長

        DE

        G

        ,使

        DG

        =

        BC

        ,聯(lián)結(jié)

        CG

        (如圖6-2)

        .

        學(xué)生在證明中位線定理時已經(jīng)運用過方法2,故學(xué)生較易得出此方法

        .

        對于方法1,學(xué)生之前沒有構(gòu)造此類輔助線的經(jīng)歷,可能需要教師引導(dǎo)

        .

        圖7

        師:

        D

        E

        AB

        AC

        延長線上時,圖5-6情況下的X型如何證明呢?學(xué)生在證明性質(zhì)定理的時候證明過X型,故可思考得出通過構(gòu)造輔助線將X型轉(zhuǎn)化為A字型來解決(如圖7所示)

        .

        師:從上面的證明中,你能得到什么結(jié)論?請一組同學(xué)分享,其他組補充

        .

        生:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原來三角形的三邊對應(yīng)成比例

        .

        學(xué)生類比性質(zhì)定理的描述,能較為準(zhǔn)確地總結(jié)得出該性質(zhì)定理的推論

        .

        問題4

        比較上述證明方法,分析解題思路

        .

        師:在A字型的證明中運用了以下兩種方法

        .

        (引導(dǎo)學(xué)生分析、評價解題思路,培養(yǎng)學(xué)生分析、評價的能力)

        方法1:

        運用三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理,該定理從一條平行于三角形一邊的直線出發(fā),結(jié)論中的比例線段都在三角形的被截兩邊所在的直線上,因此,要運用該定理,需要將

        DE

        平移到三角形被截的邊上去

        .

        故需增添輔助線

        .

        方法2:

        考慮構(gòu)造X型

        .

        或者從另一個角度思考,三角形中位線定理的證明是通過將三角形旋轉(zhuǎn)180°,構(gòu)造平行四邊形,本題借鑒該思路

        .

        建立未知與已知之間的聯(lián)系,將未知轉(zhuǎn)化為已知來解決

        .

        可能選擇方法2的學(xué)生較多,因為之前已經(jīng)習(xí)得此方法,而方法1運用性質(zhì)定理解決,為今后解決其他問題提供思路

        .

        師:根據(jù)相似三角形的定義,圖5-3、圖5-6、圖5-9中△

        ABC

        和△

        DEF

        是否相似?(引導(dǎo)學(xué)生考慮相似問題,為后續(xù)相似三角形判定的教學(xué)埋下伏筆)生:將△

        DEF

        看作是△

        ABC

        放大(或縮小)得來的,所以△

        ABC

        和△

        DEF

        相似

        .

        學(xué)生根據(jù)相似三角形的定義,較易得出結(jié)論

        .

        師:那么,它們是否符合相似多邊形的性質(zhì)呢?

        生:根據(jù)平行線的性質(zhì)和已證得的三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論,可知△

        ABC

        和△

        DEF

        三個角對應(yīng)相等,三邊對應(yīng)成比例,因此,△

        ABC

        和△

        DEF

        符合相似多邊形的性質(zhì)

        .

        (強化相似性的性質(zhì),為后續(xù)相似三角形的判定打下基礎(chǔ))

        (三)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論的應(yīng)用

        1

        .

        在幾何問題中的應(yīng)用

        圖8

        例1

        已知

        BE

        ,

        CF

        是△

        ABC

        的中線,交于點

        G.

        求證:對學(xué)生來說,此題運用三角形的中位線定理可以容易地證明(如圖8所示,

        AD

        也是△

        ABC

        的中線)

        .

        師:請大家分別用文字語言和符號語言表述這一性質(zhì)

        .

        (引導(dǎo)學(xué)生將符號語言與文字語言相互轉(zhuǎn)化)學(xué)生的表述如表1所示

        .

        圖9

        練習(xí)1

        如圖9,在上述例題的基礎(chǔ)上再次改變條件,增加兩條平行線,過

        G

        分別作

        GH

        AB

        ,

        GM

        AC

        ,分別交邊

        BC

        于點

        H

        ,

        M.

        求證:通過變式練習(xí),學(xué)生對比條件和結(jié)論的異同,找到相似之處作為突破口,增強分析問題的能力

        .

        2

        .

        在實際問題中的應(yīng)用

        例2

        (例2為上文“情境導(dǎo)入”中的原題,此處略)

        解:

        如圖1,因為

        AD

        BC

        ,所以所以圖像的寬=4米,圖像的長=5

        .

        5米

        .

        學(xué)生學(xué)習(xí)性質(zhì)定理的推論后再解決“情境導(dǎo)入”中的原題,問題迎刃而解

        .

        師:性質(zhì)定理的推論不僅包含了原定理的一些結(jié)論,還拓展了原定理的結(jié)論

        .

        在實際生活中,還有哪些問題可以運用三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論基本圖形A字型來解決?(引導(dǎo)學(xué)生運用已學(xué)知識反思實際生活的問題)

        表1

        文字語言符號語言三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊中點距離的兩倍AG=2GDCG=2GFBG=2GEGD=12AGGD=13ADAG=23ADAG∶GD=2∶1GD∶AD=1∶3AG∶AD=2∶3

        生:運用自己的影子來測量路燈的高度、建筑物的高度或河的寬度等

        .

        師:請大家根據(jù)上述例子及性質(zhì)定理的基本圖形(A字型圖形和X型圖形)自主編題,要求解題過程用到三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論,并在小組內(nèi)分享自己的題目,最后每個小組選一個方案進行班級分享

        .

        該環(huán)節(jié)中,學(xué)生需要思考實際問題并將其與性質(zhì)定理的推論結(jié)合,而自主編題要求學(xué)生在分析后對問題進行加工、再創(chuàng)造,難度較大,故采用小組的形式,目的是培養(yǎng)學(xué)生的分析、創(chuàng)造等高階思維能力

        .

        (四)小結(jié)

        師:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論,對比三角形一邊的平行線性質(zhì)定理與性質(zhì)定理推論的條件和結(jié)論,它們有何異同?

        師:回憶推論導(dǎo)出的過程,我們經(jīng)歷了怎樣的過程?是從哪種情況開始證明的?(引導(dǎo)學(xué)生回憶,分析證明過程)

        生:從

        D

        ,

        E

        是三角形的兩邊的中點出發(fā),接下來考慮點

        D

        E

        位置移動的一般情況,在一般情況中分別討論

        D

        E

        是三角形兩邊上任意一點和

        D

        ,

        E

        分別是三角形兩邊延長線上的情況

        .

        師:從

        D

        ,

        E

        是三角形兩邊的中點的特殊情況出發(fā),再引發(fā)

        D

        ,

        E

        在三角形兩邊上任意位置的一般情況的討論與證明,從猜想到嚴(yán)格的演繹推理論證,在這個過程中我們體會了從特殊到一般以及類比歸納的數(shù)學(xué)思想

        .

        (進行數(shù)學(xué)思想的滲透)在考慮點

        D

        E

        的位置移動的一般情況時,學(xué)生獨立分析思考,畫出不同的圖形,體會用運動變化的觀點看待問題,然后對不同圖形進行分類,最后分情況證明結(jié)論

        .

        在分情況證明中將幾何圖形分解得到基本圖形,再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)解決問題,學(xué)生體會分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想

        .

        在探索推論的過程中,先由特殊情況(

        D

        ,

        E

        是三角形兩邊中點)猜想哪幾種圖形結(jié)論成立,隨后通過證明驗證之前的猜想,歸納總結(jié)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論,并對證明方法進行分析評估,體會幾何演繹的思想和邏輯推理的方法

        .

        這也是探究性研究經(jīng)歷的一般過程

        .

        二、 分析與思考

        (一)以實際問題導(dǎo)入引發(fā)思考

        本節(jié)課以實際問題導(dǎo)入,問題滿足三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的條件,但是運用性質(zhì)定理卻不能解決,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,引起學(xué)生的求知欲

        .

        學(xué)生體會到問題的起源,找到新知識與原有知識的聯(lián)系

        .

        同時復(fù)習(xí)舊知,并歸類基本圖形,為性質(zhì)定理推論的導(dǎo)出和證明提供途徑,便于將已有的知識和經(jīng)驗遷移到新的知識及研究過程,為本節(jié)課的研究奠定基礎(chǔ)

        .

        (二)推導(dǎo)過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、評價的高階思維能力

        本節(jié)課在性質(zhì)定理的推導(dǎo)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生分析、評價問題的能力

        .

        引導(dǎo)學(xué)生抓住問題中關(guān)鍵信息“點的位置”,以此為突破口進行分析,引導(dǎo)學(xué)生用運動變化的觀點看待問題,變化出更多樣的圖形,嘗試綜合全面地思考問題

        .

        在獨立畫圖、分析思考的過程中,學(xué)生分析出可能存在的圖形,教師引導(dǎo)學(xué)生將圖形進行分類,分別考察圖形的可行性,這也是分析問題必須具備的技能

        .

        在推導(dǎo)完成后,引導(dǎo)學(xué)生思考、評價不同的證明過程,提升學(xué)生分析和評價能力,學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗證—分析論證—評估—結(jié)論決策”這一探究性研究的完整過程

        .

        由猜想到驗證,思維反復(fù)調(diào)整

        .

        最后,學(xué)生體驗歸納結(jié)論,從自己的語言提煉成書面語言的過程,思維不斷完善,有利于思維的整合,培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性

        .

        (三)在應(yīng)用性質(zhì)定理的過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、創(chuàng)造的高階思維能力

        在性質(zhì)定理的運用環(huán)節(jié)中,著重培養(yǎng)學(xué)生的分析、創(chuàng)造的思維能力

        .

        在性質(zhì)定理應(yīng)用中提出的實際問題正是開頭情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問題

        .

        在情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)角度分析實際問題,抽象出數(shù)學(xué)圖形,引發(fā)認(rèn)知沖突,在應(yīng)用性質(zhì)定理的推論這一環(huán)節(jié),學(xué)生再次分析問題,結(jié)合已學(xué)知識解決該問題,學(xué)生分析問題的能力得到培養(yǎng)

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        在關(guān)于性質(zhì)定理應(yīng)用的幾何問題中,引導(dǎo)學(xué)生分析題目的條件和結(jié)論,讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程,發(fā)現(xiàn)三角形重心的性質(zhì)

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        在自主編題環(huán)節(jié)中,學(xué)生具有更大的主動性,這一環(huán)節(jié)是學(xué)生對問題分析再創(chuàng)造的過程

        .

        學(xué)生需要思考身邊的實際問題,運用已學(xué)數(shù)學(xué)知識分析實際問題,并創(chuàng)造性地解決實際問題

        .

        這一過程也能培養(yǎng)學(xué)生分析和創(chuàng)造的高階能力,并讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活

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        (四)課堂小結(jié),反思思維過程,延伸高階思維

        課堂小結(jié)從數(shù)學(xué)知識、方法和思想方面概括本節(jié)課的內(nèi)容

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        引導(dǎo)學(xué)生在知識方面從模糊走向清晰,從片面到全面

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        注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透,提高學(xué)生分析評價的能力

        .

        反思的過程是對自身研究問題的思維過程,是對結(jié)果和思維方法等進行再認(rèn)識、再評價的過程,教師培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維,使思維變得越來越成熟

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