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        基于抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的變式教學探究
        ——以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例

        2022-07-08 00:53:36324022浙江省衢州第三中學湯小青
        中學數(shù)學雜志 2022年4期
        關鍵詞:利用素養(yǎng)設計

        324022 浙江省衢州第三中學 湯小青 陳 旭

        變式教學的教學策略包括概念性變式和過程性變式

        .

        概念性變式是指構建合適的變異維度,讓學生體驗學習對象的關鍵方面,形成對概念的本質(zhì)理解

        .

        過程性變式旨在提供適當?shù)匿亯|,幫助學生形成學習對象與已有知識的內(nèi)在、合理的聯(lián)系

        .

        兩種變式策略共存互補、相互促進,分別在不同情境、不同階段發(fā)揮作用

        .

        數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成包含概念、規(guī)則的獲得,命題和模型的提出,知識結構和體系的形成

        .

        通過概念性變式教學,學生能從多角度體驗學習對象的數(shù)學本質(zhì),更好地獲得概念和規(guī)則;通過過程性變式,學生能更合理地構建知識的內(nèi)部聯(lián)系,形成知識結構和體系

        .

        因此,變式教學的開展更有利于抽象素養(yǎng)在課堂教學中的落地生根

        .

        筆者以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例,從變式教學層面進行抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的探究

        .

        一、 原題再現(xiàn)

        原題

        (2018全國卷Ⅰ理-16) 已知函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        ,則

        f

        (

        x

        )的最小值為________

        .

        二、 變式教學設計

        為便于不等式的使用,將原題變?yōu)橐韵伦兪?p>.

        變式

        已知函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        ,則

        f

        (

        x

        )的最大值為________

        .

        (一)單調(diào)性開路

        變式解法1:

        函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        周期為2π,故只需求解一個周期內(nèi)的最大值即可

        .

        求導可得

        f

        ′(

        x

        )=2cos

        x

        +2cos(2

        x

        )=2cos

        x

        +4cos

        x

        -2=2(cos

        x

        +1)(2cos

        x

        -1)

        .

        故當時,

        f

        ′(

        x

        )≥0;當時,

        f

        ′(

        x

        )≤0

        .

        故函數(shù)

        變式解法2:

        由萬能公式可得故

        y

        =

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        =令則那么則函數(shù)

        y

        =

        g

        (

        t

        )在區(qū)間上

        y

        ′<0,在區(qū)間上

        y

        ′>0

        .

        所以時,函數(shù)的最大值為

        變式1

        求函數(shù)的最大值

        .

        解法1:

        換元,令則后續(xù)參見變式解法1

        .

        解法2:

        直接求導進行求解,后續(xù)解答過程略

        .

        變式2

        求函數(shù)的最大值

        .

        變式2解法與變式1類似,此處略

        .

        設計意圖:

        利用所學知識尋求普適性的方法是解題教學的首要任務

        .

        利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性,進而解決最值問題,是求解所有可導函數(shù)最值問題的通法

        .

        從最值的層面更好地構建導數(shù)在函數(shù)問題中的價值

        .

        (二)應用不等式初探

        變式解法3:

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        =2sin

        x

        ·(1+cos

        x

        ),則

        f

        (

        x

        )=4sin

        x

        ,那么結合基本不等式可得當3-3cos

        x

        =1+cos

        x

        ,即時取等號),所以當時取得)

        .

        或者結合那么可以化為

        變式3

        求函數(shù)的最大值

        .

        解法1:

        換元,令則

        y

        =sin

        θ

        cos

        θ

        ,利用類似變式解法3的方法處理

        .

        解法2:

        利用基本不等式求解,當時取得最大值)

        .

        變式4

        求函數(shù)的最大值

        .

        解法1:

        換元,令則

        y

        =sin

        θ

        cos

        θ.

        解法2:

        利用基本不等式求解,當時取得最大值)

        .

        設計意圖:

        從基本不等式的角度,利用四階基本不等式構造和為定值,進而求得乘積的最大值

        .

        利用三角恒等變換將題中和的形式轉(zhuǎn)化為乘積形式,再結合不等式進行處理,理順了三角函數(shù)中的不等式使用思路

        .

        (三)應用不等式再探

        變式解法4:

        f

        (

        x

        )=4

        第一個柯西不等式取得等號的條件和第二個二次型函數(shù)最值取得等號的條件相同,為

        變式解法

        當時取得等號)

        .

        變式5

        求函數(shù)

        y

        =

        f

        (

        x

        )=sin

        x

        +sin2

        x

        +sin3

        x

        的最值

        .

        解:

        f

        (

        x

        )=sin

        x

        +sin2

        x

        +sin3

        x

        =2(sin

        x

        cos

        x

        (柯西不等式等號和二次函數(shù)最大值條件一致,即

        設計意圖:

        從乘積和的結構出發(fā),結合柯西不等式進行系數(shù)的構造,使得前后的等號一致;從乘積的形式,分別構造基本不等式,進行系數(shù)的構造使得前后的等號一致

        .

        從結構出發(fā),發(fā)現(xiàn)不同的思考角度,多角度揭示問題的本質(zhì)

        .

        進一步強化利用不等式解決最值問題的基本思路

        .

        (四)數(shù)形結合顯威

        變式解法6:

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        =2sin

        x

        ·(1+cos

        x

        ),

        P

        (cos

        θ

        +1,sin

        θ

        )為

        C

        :+

        y

        =1上的點,只需求

        x

        ·

        y

        =

        c

        的最大值

        .

        由圖1,令則

        h

        (

        x

        )與圓相切時

        c

        最大

        .P

        點切線的斜率為所以解得舍去,此時故

        圖1 相切求最值

        變式6

        求函數(shù)

        y

        =

        f

        (

        x

        )=sin(2

        x

        )+2sin

        x

        +2cos

        x

        +2的最大值

        .

        解:

        f

        (

        x

        )=sin(2

        x

        )+2sin

        x

        +2cos

        x

        +2=2(sin

        x

        +1)·(cos

        x

        +1),

        P

        (cos

        θ

        +1,sin

        θ

        +1)為

        C

        :=1上的點,求

        x

        ·

        y

        =

        c

        的最大值

        .

        令則

        h

        (

        x

        )與圓相切時

        c

        最大,

        P

        點(cos

        θ

        +1,sin

        θ

        +1)切線的斜率為所以解得(cos

        θ

        =-1舍去),故

        變式解法7:

        y

        =

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        =2sin

        x

        ·(1+cos

        x

        ),構造單位圓的內(nèi)切等腰三角形,如圖2,設∠

        BOD

        =

        x

        ,則

        DO

        =cos

        x

        ,

        CD

        =1+cos

        x

        ,

        BD

        =sin

        x

        ,

        AB

        =2sin

        x

        ,所以

        S

        =sin

        x

        (1+cos

        x

        ),所以要求函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        的最大值等價于求

        S

        面積的最大值

        .

        設∠

        COB

        =

        α

        ,∠

        AOB

        =

        β

        ,∠

        AOC

        =

        γ

        ,則由琴生不等式可得當時取等號

        圖2

        設計意圖:

        此題利用“sin

        θ

        (1+cos

        θ

        )”構造圓

        C

        :+

        y

        =1,利用“2sin

        x

        (1+cos

        x

        )”構造單位圓的內(nèi)切三角形的面積

        .

        以三角函數(shù)的特性為媒介,從圖形角度詮釋三角表達的內(nèi)涵,利用圖形轉(zhuǎn)化解題方向

        .

        數(shù)形結合是高中數(shù)學的重要思維,通過多角度探究,學生經(jīng)歷多維度思考,提升數(shù)形結合的思維層次

        .

        (五)高觀點立意

        變式解法8:

        因為

        y

        =sin

        x

        在為上凸函數(shù),由琴生不等式可得

        y

        =

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        =sin

        x

        +sin

        x

        +sin2

        x

        =sin(π-

        x

        )+sin(π-

        x

        )即當時取等號)

        .

        當時,故函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        在區(qū)間(0,π)上最大值為函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        在區(qū)間(0,π)上的最小值必然大于-1,因為函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        是奇函數(shù),所以在(-π,0)上的最大值小于由周期性可得函數(shù)

        f

        (

        x

        )=2sin

        x

        +sin2

        x

        的最大值為

        變式7

        求函數(shù)的最大值

        .

        解:

        因為

        y

        =sin

        x

        在為上凸函數(shù),由琴生不等式可得即當時取等號)

        .

        變式8

        求函數(shù)的最大值

        .

        解:

        因為

        y

        =sin

        x

        在為上凸函數(shù),由琴生不等式可得即時取等號)

        .

        設計意圖:

        2019年人教版高中數(shù)學新教材必修一第三章復習參考題中就有“求證:若

        g

        (

        x

        )=

        x

        +

        ax

        +

        b

        ,則這一與函數(shù)凹凸性緊密結合的題型

        .

        從函數(shù)的凹凸性到琴生不等式,利用琴生不等式解決函數(shù)的最值問題,為函數(shù)最值的知識結構增加了重要的組成部分,也可將琴生不等式的使用條件一般化為“

        y

        =

        f

        (

        x

        )=

        a

        sin(

        bx

        )+

        c

        sin(

        dx

        ),其中

        ab

        =

        cd

        .

        三、 反思與總結

        (一)通過變式教學設計完善知識結構,形成知識體系

        函數(shù)最值問題的知識結構和體系較為復雜,結合三角公式、三角函數(shù)可以實現(xiàn)形式的多變性,在多種形式的基礎上融合多種方法,進而幫助學生更好地抽象出函數(shù)最值問題的知識結構和體系

        .

        從通法的角度利用導數(shù)研究單調(diào)性求最值,結合萬能公式,再利用求導求最值;將基本不等式、柯西不等式的形式特點和三角函數(shù)的公式變形進行有機結合,讓結構的形式和問題的實質(zhì)相融合;利用問題的結構特征構造反比例函數(shù)和圓的相切、構造單位圓的內(nèi)切三角形面積,讓抽象的代數(shù)與直觀的圖形相融合;從函數(shù)的凹凸性觀點,進一步揭示問題的實質(zhì)

        .

        (二)通過變式教學設計一題多解,抽象出問題的實質(zhì),提升思維品階

        數(shù)學核心素養(yǎng)水平的提升,思維能力的進階,是一個有序的過程

        .

        通過合理的變式教學設計、多維度逐層深入的變式,學生經(jīng)歷由通性通法到多種不等式探究、再到數(shù)形結合、最后在高觀點下立意的探究過程,在逐層深入的過程中逐步揭開問題的實質(zhì),不斷提升數(shù)學核心素養(yǎng)水平,發(fā)展高階思維

        .

        (三)通過變式教學設計多題一解,抽象方法的內(nèi)涵,形成一般性結論

        在變式教學設計中,每一維度都設計多個變式,實現(xiàn)多題一解,使學生多角度認知方法,形成一般性的結論

        .

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