宋 鑫，程乃平，廖育榮，倪淑燕，雷拓峰

（1.航天工程大學研究生院,北京 101416；2.航天工程大學電子與光學工程系，北京 101416）

1 引言

噴泉碼［1］最初是針對二進制刪除信道（Binary Erasure Channel，BEC）設計的，旨在為大規(guī)模數(shù)據(jù)分發(fā)和可靠廣播場景提出一種理想的解決方案［2］.以盧比變換（Luby Transform，LT）碼［3］為代表的噴泉碼，具有天然的信道自適應特性，這使得它非常適合應用于傳輸視頻、音頻的廣播場景［4］，協(xié)作中繼場景［5］，水聲通信場景［6］，自由空間光通信場景［7］等.

盡管噴泉碼最初是面向BEC 進行設計的，但其在加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道中也具有潛在的應用前景［8，9］.文獻［10］研究結果表明，LT 碼在二進制對稱信道（Binary Symmetric Channel，BSC）和AWGN 信道中存在明顯的誤碼平臺.為了改善LT碼的誤碼平臺現(xiàn)象，文獻［11］將LT碼與高碼率的低密度奇偶校驗（Low Density Parity Check，LDPC）碼［12］級聯(lián)，構成了Raptor 碼.但這也存在顯著的缺點：AWGN 信道中LDPC 碼和LT 碼均采用和積譯碼算法［13］，具有較高的譯碼復雜度.因此，學者們在研究Raptor碼的同時，也在探索設計獨立的無速率碼［14～16］以及改進的低誤碼平臺LT碼.

作為第一種實用的無速率碼，LT 碼的優(yōu)化設計大多是針對校驗度分布和編碼算法進行的.文獻［17～20］提出了幾種設計LT 碼校驗度分布的方法.文獻［17］針對二進制輸入AWGN（Binary Input AWGN，BIAWGN）信道，設計了一種基于線型規(guī)劃模型的校驗度分布優(yōu)化方法.文獻［18］針對極低信噪比條件提出了一種改進的度分布設計方式.文獻［19］給出了一種適用于大范圍信噪比的度分布函數(shù)設計策略，以保持足夠高的碼率效率.文獻［20］針對系統(tǒng)LT 碼，引入了誤比特率（Bit Error Rate，BER）下界作為新的約束條件，實現(xiàn)了以更小的譯碼開銷進入瀑布區(qū)的效果.但是，在BIAWGN 信道中，優(yōu)化校驗度分布函數(shù)對降低誤碼平臺的效果有限.其原因主要在于：（1）誤碼平臺的形成與校驗度分布不存在因果關系；（2）在利用線性規(guī)劃方法設計度分布時，往往考慮的都是無限碼長和甚高迭代次數(shù)時的理想狀態(tài)，因此，所設計的度分布一般只在碼長較長時才能表現(xiàn)出優(yōu)良的漸進性能，但對中短碼長BER性能的改善卻十分有限.

針對上述問題，本文考慮改進LT 碼的編碼算法以提升其BER 性能.文獻［21］指出誤碼平臺主要是由譯碼成功概率較低的小度數(shù)值信息節(jié)點造成的.為此，文獻［21］提出對信息節(jié)點按照度數(shù)值大小進行分類，并迫使校驗節(jié)點優(yōu)先選取度數(shù)最小的信息節(jié)點.文獻［22］則將文獻［21］的編碼思想應用到了不等差錯保護場景中，以略微增加譯碼開銷為代價，將重要數(shù)據(jù)（Most Important Bits，MIB）的BER平臺降低了將近3個數(shù)量級.文獻［23］的改進算法，是在校驗節(jié)點選擇每個信息節(jié)點時，都先從所有的信息節(jié)點中隨機選取若干個節(jié)點作為一組，然后再從這一組中選擇度數(shù)最小的信息節(jié)點進行連接.文獻［24］的改進算法引入了衡量校驗節(jié)點度數(shù)值大小的參數(shù)d*，并根據(jù)該參數(shù)與校驗節(jié)點度數(shù)的大小關系，判斷選取信息節(jié)點的方式.仿真結果顯示，這幾種改進算法在BEC 或者AWGN 信道中都能夠顯著地降低誤碼平臺.但是這幾類改進算法也存在下述問題：（1）沒有對改進算法的信息節(jié)點度分布進行公式化表述；（2）沒有給出算法所涉及參數(shù)的優(yōu)化設計方法；（3）算法可達的最低信息節(jié)點度數(shù)無法預測.

針對現(xiàn)有改進算法存在的不足，本文設計了一種具有逆向邊增長（Reverse Edge Growth，REG）結構的LT碼.REG-LT 碼中具有正向、逆向選取鄰居節(jié)點的編碼結構，從而可使所有信息節(jié)點的度數(shù)值均不小于預先設計的參數(shù)Tv.此外，還分析了Tv對收斂性的影響，給出了最優(yōu)參數(shù)的求解原則.仿真結果顯示，與傳統(tǒng)LT碼相比，本文的REG-LT 碼能夠顯著地降低誤碼平臺，且BER 性能優(yōu)于文獻［21，23］中的改進算法，證明了算法的正確性.

2 REG-LT碼的編碼算法

2.1 傳統(tǒng)LT碼的編譯碼算法

對于傳統(tǒng)LT 碼，編碼器會對K個信息節(jié)點v1，v2，…，vK進行不定速率編碼，生成N個校驗節(jié)點c1，c2，…，cN.LT碼的Tanner圖如圖1所示.

圖1 LT碼的Tanner圖

在圖1中，定義每個校驗節(jié)點連接的信息節(jié)點的個數(shù)為該校驗節(jié)點的度數(shù)值，每個信息節(jié)點連接的校驗節(jié)點的個數(shù)為該信息節(jié)點的度數(shù)值.定義校驗節(jié)點的度分布函數(shù)為Ω(x)=其中，ωj表示度數(shù)為j的校驗節(jié)點出現(xiàn)的概率，dc表示校驗節(jié)點的最大度數(shù)值.在編碼過程中，校驗度分布是預先給定的，度數(shù)為j的校驗節(jié)點會從所有的信息節(jié)點中隨機選取j個相連，對這j個被選中信息節(jié)點進行異或操作，就得到了當前校驗節(jié)點的比特值.定義信息節(jié)點度分布為其中，ξi表示度數(shù)為i的信息節(jié)點出現(xiàn)的概率，dv表示信息節(jié)點的最大度數(shù)值.與校驗度分布不同，信息節(jié)點的度分布由Ω(x)、K、N共同決定，只有在編碼結束后才能得到.盡管LT 碼是無速率碼，但定義其瞬時碼率值為定義校驗度分布的平均度數(shù)為則信息節(jié)點的平均度數(shù)值為α=根據(jù)文獻［17］，信息節(jié)點度分布的系數(shù)ξi可近似計算為

圖1所示的Tanner圖中，在信息節(jié)點和校驗節(jié)點之間任選一條邊，定義該條邊連接到度數(shù)為j的校驗節(jié)點的概率為ρj，連接到度數(shù)為i的信息節(jié)點的概率為λi.在此基礎上，進一步定義校驗節(jié)點邊的度數(shù)分布為ρ(x)=信息節(jié)點邊的度數(shù)分布為λ(x)=其中，系數(shù)ρj和λi的計算方法如下［25］：

LT 碼在AWGN 信道中采用置信傳播（Belief Propagation，BP）算法進行迭代譯碼.該算法將對數(shù)似然比（Log-Likelihood Ratio，LLR）信息在信息節(jié)點和校驗節(jié)點之間進行迭代更新，使LLR 信息逐漸收斂于穩(wěn)定值并據(jù)此進行判決.

其中，N(i)(j)表示除第j個校驗節(jié)點之外，與第i個信息節(jié)點相連的所有校驗節(jié)點的集合.

對于信息節(jié)點vi，其LLR判決值為

2.2 REG-LT碼的編碼算法

為了克服傳統(tǒng)方案、文獻［21］中的等度數(shù)（Equal Degree，ED）編碼方案和文獻［23］中的選擇連接（Connection Choice，CC）編碼方案的不足，需要設計滿足以下條件的改進方案：（1）通過優(yōu)化編碼結果以降低誤碼平臺.這樣可以更準確地為低度數(shù)值信息節(jié)點連接最佳數(shù)量的校驗節(jié)點；（2）改進方案的信息度分布和校驗度分布能夠公式化表達.這是因為，只有準確的度分布才可以用來估計LT 碼的誤比特率下界以及預測LT 碼是否能夠收斂；（3）編碼結果能夠匹配任意信道參數(shù).

綜上分析，本文設計了一種具有逆向邊增長結構的LT碼，其編碼過程如算法1所示.

從算法1 可以看出，REG-LT 碼與傳統(tǒng)LT 碼的最大區(qū)別在于兩點：（1）信息節(jié)點可逆向精準隨機選取校驗節(jié)點.這樣做的優(yōu)點是易于使所有信息節(jié)點的度數(shù)值均不低于期望值Tv，并且維持了Tanner 圖的隨機性以便于快速譯碼收斂；（2）編碼算法可逆向改變信息度分布和校驗度分布.這樣做的優(yōu)點在于，其一是在編碼的同時即優(yōu)化了信息度分布，其二是能夠對預先給定的校驗度分布進行自適應調整以匹配信道參數(shù).

2.3 校驗節(jié)點的選取原則

在算法1中，并不是將所有校驗節(jié)點都作為待選節(jié)點供信息節(jié)點選取，待選校驗節(jié)點應滿足如下條件：（1）度數(shù)值不等于1 和2；（2）與當前待處理的信息節(jié)點不存在連接關系.

滿足條件（2）的原因，是為了避免邊重復連接，導致無效編碼.滿足條件（1）的原因，是缺乏度數(shù)值為1和2的校驗節(jié)點會導致譯碼失敗，具體如下.

度數(shù)值為1 的校驗節(jié)點使得譯碼過程能夠正常啟動.2.1 節(jié)介紹了LT 碼在AWGN 信道中的BP 譯碼算法，本節(jié)根據(jù)此譯碼算法，給出幾個實例對LT碼的詳細譯碼過程進行分析.圖2 中，在第一次迭代時，所有信息節(jié)點傳遞給校驗節(jié)點的LLR 信息均為0；校驗節(jié)點c4則按照式（4），將其獲得的來自信道的非零LLR信息傳遞給唯一相連的信息節(jié)點v2，其余校驗節(jié)點傳遞給信息節(jié)點的LLR 信息均為0.第二次迭代時，v2將第一次迭代時獲得的來自c4的LLR 信息傳遞給與之相連接的c1、c2和c3，c1、c2和c3則將接收到的LLR 信息按式（4）進行處理，之后傳遞給v1、v3和v4.自此，所有信息節(jié)點均獲得了非0值LLR信息.

圖2 可順利譯碼的Tanner示例

可以看出，正是由于校驗節(jié)點c4的度數(shù)為1，才能將自身的LLR 信息傳遞給v2，從而開啟了譯碼進程.在圖3 中，不存在度數(shù)為1 的校驗節(jié)點，因此，根據(jù)式（4）可知，每次迭代時信息節(jié)點和校驗節(jié)點之間傳遞的LLR信息均為0，譯碼失敗.

圖3 缺少度數(shù)為1的校驗節(jié)點

度數(shù)值為2 的校驗節(jié)點使得LLR 信息能夠傳播出去.在圖4 中，不存在度數(shù)為2 的校驗節(jié)點.盡管按照式（5），v2可以將獲得的來自c4的LLR 信息傳遞其余校驗節(jié)點，但是按照式（4）的傳遞規(guī)則，除c4之外的校驗節(jié)點傳遞給信息節(jié)點v1、v3和v4的LLR 信息均為0.因此，來自信道的LLR 信息無法傳播并有效迭代，譯碼失敗.

圖4 缺少度數(shù)為2的校驗節(jié)點

綜上，對于所提出的編碼算法，若要在接收端譯碼器采用2.1 節(jié)給出的LT 碼在AWGN 信道中的譯碼算法，則應滿足條件（1）與條件（2）.

2.4 算法復雜度分析

相較于傳統(tǒng)算法，本文算法增加了分類信息節(jié)點以及逆向邊增長的操作，因而不可避免地增加了算法的復雜度，本節(jié)將對其進行詳細分析.

算法1 中，每個校驗節(jié)點選取信息節(jié)點時，新增操作為：節(jié)點按度數(shù)值大小排序、信息節(jié)點度數(shù)值和閾值數(shù)值比較、逆向隨機選取校驗節(jié)點.為了便于對比，表1給出了生成N個校驗節(jié)點時，算法1、ED 方案、CC 方案所產生的新增操作及其次數(shù).

表1 生成N個校驗節(jié)點時的新增操作對比

表2 給出了這三種改進算法的編碼運行時間.仿真所采用的計算機硬件配置為如下，處理器為Intel Xe-on CPU E3-1240 v5@3.5 GHz，單 顆CPU，4 核8 線 程，RAM 內存為32 GB，仿真軟件為MATLAB2020a.設計并行仿真次數(shù)為1000次，K=2048，N=4096，信噪比為Es/N0=1 dB，采用BP譯碼算法，最大迭代次數(shù)為50次.其中，本文算法閾值為Tv=12，文獻［23］算法中T=3，校驗度分布采用文獻［26］的設計結果，記為

表2 不同算法的平均運行時間

可以看出，與傳統(tǒng)算法相比，三種改進算法的平均編碼運行時間均增加了，這是因為改進算法均增加了額外的編碼操作.但與其他兩種算法相比，本文算法的編碼運行速度則相對較快.還可以看出，本文算法的譯碼時間略高于其他兩種算法，這是因為本文算法為校驗節(jié)點添加了額外的邊數(shù)，使得LLR 信息的傳遞、更新次數(shù)多于其他兩種算法.不過，總體而言，本文算法的編碼、譯碼時間之和仍然少于其他兩種參考算法，這體現(xiàn)了本文算法的優(yōu)勢.

3 REG-LT碼的度分布分析

3.1 REG-LT碼的信息節(jié)點度分布

在算法1的逆向邊增長階段，度數(shù)值小于Tv的信息節(jié)點會主動選取足夠數(shù)量的校驗節(jié)點相連，而度數(shù)值大于Tv的信息節(jié)點則不作任何處理.因此，一方面精準剔除了度數(shù)小于Tv的信息節(jié)點，且該類信息節(jié)點所占比例值ξi(0 ≤i≤Tv-1)將全部累加至ξTv處.另一方面，度數(shù)值大于閾值的信息節(jié)點其比例不變，即與傳統(tǒng)LT碼的度分布相同.

定義REG-LT 碼的信息度分布為Λn(x)=其中，度數(shù)值為Tv的信息節(jié)點所占的比例為：

則REG-LT碼的信息度分布為

可以看出，度分布Λn(x)的系數(shù)只取決于初始度分布系數(shù)ξi和閾值Tv.其中，ξi的計算方式參照式（1）.

3.2 REG-LT碼的校驗節(jié)點度分布

定義算法1 在步驟1 完成之后，得到的校驗節(jié)點度分布為Ω(x)=算法1 的剩余步驟完成之后，度數(shù)為1 和2 的校驗節(jié)點所占比例保持不變，其余度數(shù)校驗節(jié)點的占比均會改變.定義算法1 結束之后，校驗節(jié)點的度分布為

其中，dc(n)是REG-LT碼校驗節(jié)點的最大度數(shù).

算法1中，需要進行逆向邊增長操作的信息節(jié)點平均個數(shù)為Ka=此Ka個信息節(jié)點一共包含Tv種度數(shù)值，分別為0，1，…，Tv-1.能夠參與逆向邊增長操作的校驗節(jié)點的平均個數(shù)為Na=N(1-ω1-ω2).

對于REG-LT 碼而言，度數(shù)值小于Tv的信息節(jié)點會隨機選取校驗節(jié)點與之相連.這個過程恰好是傳統(tǒng)編碼算法的逆向操作，因此，考慮引入泊松分布來近似計算新的校驗度分布.顯然，在REG-LT 碼的逆向邊增長階段，信息節(jié)點和校驗節(jié)點的角色進行了互換.每種度數(shù)信息節(jié)點的平均個數(shù)為且這些信息節(jié)點需要連接的校驗節(jié)點的個數(shù)分別為Tv，Tv-1，…，1.因此，定義這Ka個信息節(jié)點滿足逆向信息度分布：

其中，dc(Ω)=[Ka]，[·]表示向下取整函數(shù).則REG-LT碼校驗節(jié)點的最大度數(shù)dc(n)可計算為dc(n)=dc+[Ka].系數(shù)可計算為

由于度數(shù)為1 和2 的校驗節(jié)點并不需要參與逆向操作，故其度分布系數(shù)保持不變，即算法1 的步驟1 完成之后，對于任意一個度數(shù)為m(3 ≤m≤dc)的校驗節(jié)點而言，其在逆向操作中度數(shù)值變?yōu)閙+i的概率為其中0 ≤i≤dc(Ω).逆向操作結束后，此Na個校驗節(jié)點的最大度數(shù)為dc+dc(Ω)，最低度數(shù)為3.分析易得，編碼結束后，任意一個度數(shù)值為j(3 ≤j≤dc+dc(Ω))的校驗節(jié)點，其產生來源包括以下兩方面：（1）度數(shù)原本就是j的校驗節(jié)點，其在逆向操作過程中沒有新增連接邊；（2）原本邊數(shù)小于j的校驗節(jié)點，其度數(shù)值增加至j.故而，逆向操作之后，度數(shù)值為j的校驗節(jié)點所占比例為

則可得，REG-LT碼的最終校驗度分布為

4 REG-LT碼的最優(yōu)最低度數(shù)值的設計

REG-LT 碼的關鍵環(huán)節(jié)是信息節(jié)點的逆向邊增長操作，直接影響其BER 性能的因素是信息節(jié)點的期望最低度數(shù)值Tv.一方面，信息節(jié)點的最低度數(shù)值直接決定了LT 碼的誤碼平臺下界［21］；另一方面，Tv又決定了REG-LT 碼的信息度分布和校驗度分布，進而影響其收斂性能.因此，有必要分析參數(shù)Tv的設計原則，并給出最優(yōu)Tv的設計方法.

4.1 REG-LT碼的收斂性分析

LT碼在AWGN 信道中采用BP算法進行迭代譯碼，分析LT 碼譯碼收斂性常用的工具為外信息傳遞（Extrinsic Information Transfer，EXIT）圖法.參照文獻［27］，定義單調遞增函數(shù)J(θ)為

J(θ)具有唯一的反函數(shù)θ=J-1(I).關于J(θ)和θ=J-1(I)，文獻［28］給出了一種近似的計算方法.為便于分析，將LT 碼的譯碼器分為校驗節(jié)點譯碼器（Check Node Decoder，CND）和信息節(jié)點譯碼器（Information Node Decoder，IND）.在BIAWGN 信道下，LT 碼CND 的EXIT公式為

LT碼IND的EXIT公式為

其中，σI=J-1(IA，I)，IA，I是信息節(jié)點的輸入先驗信息.

REG-LT碼的輸出外信息可計算為

相比于傳統(tǒng)LT 碼，REG-LT 碼的CND 曲線和IND曲線均發(fā)生了偏移，圖5 給出了一組仿真結果進行說明.其中仿真參數(shù)為：R-1=2，Es/N0=2 dB，校驗度分布為Ω1(x).圖5中，定義IND曲線和CND曲線之間的空隙為“譯碼收斂區(qū)”，其含義為：只要兩條曲線之間不存在交點，則當碼長K逼近無限長時，譯碼器總能通過多次迭代成功恢復出信息節(jié)點.

圖5 不同Tv值下的外信息曲線

4.2 最優(yōu)參數(shù)的設計方法

理論而言，信息節(jié)點的平均度數(shù)越高，LT 碼的誤碼平臺越低，因此，從這個角度而言，參數(shù)Tv應越大越好.但是，從4.1 節(jié)的分析中可知，Tv過大可能會導致無法成功收斂.因此，參數(shù)Tv應存在臨界值，即使得誤碼平臺最低的同時還能正確收斂，我們將其定義為最優(yōu)值.

為合理的量化參數(shù)Tv對譯碼收斂性的影響，引入外信息增益損失比（Gain Loss Ratio，GLR）作為評價指標.定義校驗節(jié)點譯碼器的外信息損失為：

定義信息節(jié)點譯碼器的外信息增益為

在此基礎上，定義GLR為

表3 給出了不同參數(shù)條件下的GLR 計算結果，采用的校驗度分布為Ω1(x).可得出以下結論：

表3 不同信噪比和碼率值下的GLR值

（1）給定信噪比和碼率值時，GLR 會隨著Tv的增加而增加.這說明，盡管從總體上而言，IND 的增益量不足以彌補CND 的損失量，但其增益量的增長速度高于損失量.換言之，較高的Tv值能夠獲得總面積更大的譯碼收斂區(qū).因此，盡管REG-LT 碼以略微損失收斂性的代價換取了低誤碼平臺，但其損失程度是可以接受的，且便于調控.

（2）不同信噪比和碼率值時，相同Tv值時的GLR并不相等.這意味著，無法給定一個普適于任何參數(shù)條件的GLR 臨界數(shù)值，換言之，僅僅從數(shù)值上并不一定能判斷得到最優(yōu)的GLR 和Tv值，而是需要從GLR 的變化趨勢進行分析.

（3）當Tv達到達一定值后，GLR 呈現(xiàn)出了下降的趨勢.這說明，達到臨界值之后繼續(xù)增加Tv，增益量的增長要緩于損失量.因此，譯碼收斂區(qū)的總面積將變小，不利于快速譯碼迭代.

本文擬將GLR 的極大值點對應的Tv值作為最優(yōu)Tv.但在求解最優(yōu)Tv時，需給定其上限值.為此，將使得IND 曲線和CND 曲線恰好不存在交點時的Tv值作為上界，記為Tv(max).即Tv=Tv(max)時，EXIT 圖中的譯碼收斂區(qū)處于打開狀態(tài)，而Tv=Tv(max)+1 時，IND 曲線與CND曲線相交.

綜上，將求解最優(yōu)Tv的方法總結為算法2.

根據(jù)算法2，求解出不同參數(shù)對應的最優(yōu)Tv值，如表4所示.采用的度分布為Ω1(x).

表4 不同信噪比和碼率值下的最優(yōu)Tv值

5 仿真結果及分析

本節(jié)對REG-LT碼的BER 性能進行仿真，并與傳統(tǒng)LT 碼和參考文獻的改進算法進行比較.為便于對照，將文獻［21］的算法記為ED Code，文獻［23］的算法記為CC Code.仿真條件為：發(fā)送端采用BPSK 調制方式，接收端均采用BP 譯碼算法，最大譯碼迭代次數(shù)為50 次.碼長K=2048.所有結果均通過多次蒙特卡洛仿真得到，當錯誤碼字數(shù)達到10 個時停止.采用的度分布分別記為Ω1(x)和Ω2(x)，其中，Ω1(x)如式（7）所示，Ω2(x)為［26］

5.1 不同信噪比時的BER性能

圖6 和圖7 給出了采用不同校驗度分布時，REGLT 碼的BER 性能隨信噪比的變化情況，其中R-1=2.從中可以得出如下結論：

圖6 采用Ω1(x)時，REG-LT碼的BER性能隨信噪比的變化情況

圖7 采用Ω2(x)時，REG-LT碼的BER性能隨信噪比的變化情況

（1）REG-LT 碼的BER 性能優(yōu)于傳統(tǒng)LT 碼，達到了預期的設計目的.例如，當Es/N0=0 dB 時，采用最優(yōu)Tv的REG-LT 碼可將誤碼平臺降低3 個數(shù)量級以上；而當Es/N0=1.5 dB時，兩者的差距已經逼近5個數(shù)量級.若以10-5為參照標準，REG-LT 碼至少可以獲得3 dB 的編碼增益，這驗證了本文算法的正確性.

（2）REG-LT碼優(yōu)于參考文獻的編碼算法.從圖中可以看出，即使不采用最優(yōu)Tv，例如Tv(opt)-2 時，REGLT碼在高信噪比區(qū)域依然可以獲得比ED 算法和CC算法更低的誤碼平臺；而在低信噪比區(qū)域內，盡管BER 略高于參考算法，但相差甚小.類似地，若以10-7為參照標準，Tv(opt)時的REG-LT 碼可分別獲得近1.1 dB、0.8 dB的編碼增益，這體現(xiàn)了本文算法的優(yōu)勢.

（3）通過改變參數(shù)Tv，可以便捷地調控REG-LT 碼能夠達到的BER 下界.本文算法引入了可供調整的參數(shù)Tv，并通過改變校驗度分布，實現(xiàn)了精準地調控信息節(jié)點最低度數(shù)值的目的，進一步可以預測算法的性能，這是ED算法和CC算法均不具備的.此外，在當前碼率值下，信噪比為1.5 dB 時，REG-LT 碼的BER 比參考算法低了2 個數(shù)量級；這說明，從優(yōu)化編碼結果的角度進行改進設計，性能提升效果要優(yōu)于控制過程的改進算法.

5.2 不同碼率值時的BER性能

圖8 和圖9 給出了采用不同校驗度分布時，REGLT 碼的BER 性能隨碼率值的變化情況，其中Es/N0=1 dB.為了便于觀察，將橫坐標置為碼率倒數(shù)R-1.從中可以得出如下結論：

圖8 采用Ω1(x)時，REG-LT碼的BER性能隨碼率值的變化情況

圖9 采用Ω2(x)時，REG-LT碼的BER性能隨碼率值的變化情況

（1）當信噪比固定不變時，REG-LT 碼的BER 性能依然是最優(yōu)的.例如，當采用Tv(opt)-2 時，REG-LT 碼便達到了比ED 算法、CC 算法更低的誤碼平臺，且差距高達1 個數(shù)量級以上.此外，根據(jù)算法2 設計得到的最優(yōu)Tv，其對應的誤碼平臺仍是最低的，這說明4.2節(jié)所設計的參數(shù)求解方法是可行的.

（2）切換校驗度分布時，REG-LT 碼仍然能夠實現(xiàn)降低誤碼平臺的效果.這是因為，通過設定參數(shù)Tv，REG-LT 碼不僅可以提高信息節(jié)點的平均度數(shù)值，還能夠自適應地優(yōu)化校驗度分布，使其最優(yōu)匹配當前信道參數(shù)和編碼倍率.換言之，REG-LT 碼不會受到校驗度分布的限制，具有較強的靈活性.

6 結論

針對傳統(tǒng)LT 碼在AWGN 信道中存在的嚴重誤碼平臺問題，本文設計了具有逆向邊增長結構的LT 碼.通過理論推導和仿真分析，可得出以下結論：（1）REGLT 碼能夠顯著地降低誤碼平臺.本文算法可將BER 下界降低近3個數(shù)量級以上，且可獲得超過2 dB的編碼增益；（2）REG-LT 碼的度分布可公式化表達，并通過參數(shù)GLR 建立起了Tv與收斂性的聯(lián)系，這為設計最優(yōu)Tv值提供了依據(jù)；（3）REG-LT 碼的最優(yōu)閾值設計方法仍待改進.文中僅借助GLR 的單調性來尋找最優(yōu)閾值，略顯不足，后續(xù)研究中可考慮設計具有嚴謹數(shù)學理論支撐的尋優(yōu)方法；（4）REG-LT碼的收斂性略有損失.度分布的變化使得收斂區(qū)出現(xiàn)局部壓縮的情況，不利于快速收斂.因此，下一步研究中可以考慮設計具有無損收斂性的編碼算法.