王 鼎，尹潔昕，鄭娜娥，聶福全

（1.中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院,河南鄭州 450001；2.中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學數(shù)據(jù)與目標工程學院,河南鄭州 450001；3.國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,河南鄭州 450002；4.衛(wèi)華集團有限公司,河南長垣 453400）

1 引言

眾所周知，目標定位技術(shù)在無線監(jiān)測、地震勘測、緊急救助、安全管理等工業(yè)信息領(lǐng)域發(fā)揮重要作用［1～3］.依據(jù)觀測站數(shù)量可以將目標定位系統(tǒng)分成單站定位系統(tǒng)和多站定位系統(tǒng)兩大類，其中單站定位系統(tǒng)具有靈活性高、機動性強、系統(tǒng)簡潔以及無需站間通信和同步等優(yōu)點，本文主要研究單站定位方法.

單站定位系統(tǒng)常使用序列觀測量進行定位，其中到達頻率（Frequency Of Arrival，F(xiàn)OA）是常用的定位觀測量，該觀測量包含多普勒頻移信息，可用于對窄帶信號進行高精度定位.近年來，國內(nèi)外學者提出若干基于FOA觀測量的目標定位方法.文獻［4，5］提出基于網(wǎng)格搜索的FOA定位方法，該類方法需要復雜運算，其定位精度和計算復雜度取決于搜索區(qū)間和步長.文獻［6～8］提出基于信號數(shù)據(jù)的FOA直接定位方法，該類方法從傳感器接收信號中直接獲取目標位置坐標，需要多維迭代，易出現(xiàn)局部收斂和發(fā)散等問題，并且計算復雜度較高.文獻［9］提出基于半正定松弛FOA定位方法，該類方法無需設(shè)置初始值，可避免局部收斂和發(fā)散，但需要凸松弛處理，因此其漸近統(tǒng)計最優(yōu)性尚沒有完備的理論做支撐，并且計算復雜度較高.為了避免迭代，文獻［10，11］提出基于加權(quán)最小二乘估計的閉式定位方法，該類方法能獲得目標位置向量表達式，但是其聯(lián)合了FOA和到達角度觀測量，因此觀測站需要安裝天線陣列.文獻［12］提出一種加權(quán)輔助變量定位方法，其是一種可以有效削減估計偏置的FOA閉式定位方法，無需聯(lián)合其他觀測信息，但是該方法是以犧牲FOA觀測量為代價，因此其估計方差無法漸近逼近克拉美羅界（Cramér-Rao Bound，CRB）.

上述定位方法均假設(shè)信號傳播速度精確已知，但在某些場景中（例如水下聲源定位、地震波定位等），信號傳播速度可能無法精確獲得，這將對定位方法產(chǎn)生較大影響，此時應將信號傳播速度看成未知參數(shù).文獻［13］提出信號傳播速度未知下基于到達時延觀測量的無線傳感網(wǎng)節(jié)點定位方法.文獻［14］提出信號傳播速度不等式約束下聯(lián)合到達時延和到達角度觀測量的無線傳感網(wǎng)節(jié)點定位方法.文獻［15～17］提出信號傳播速度未知下基于到達時延差觀測量的目標定位方法.事實上，信號傳播速度除了決定信號傳播距離外，還影響多普勒頻移，文獻［18］提出信號傳播速度未知下聯(lián)合到達時延差和到達頻率差觀測量的目標定位方法.上面提到的信號傳播速度未知下的定位方法均可應用于水下聲源定位場景，并且都需要分布式傳感器來實現(xiàn)定位.文獻［12，19］討論了基于運動單傳感器的水下聲源定位方法，文獻［9］中的靜止多站FOA 定位方法也可等價為基于運動單站的FOA 定位方法，然而文獻［9，12，19］中的方法都需要精確的信號傳播速度，這在水下聲源定位場景中難以得到滿足.

基于研究現(xiàn)狀，本文在信號傳播速度未知下提出運動單站FOA定位新方法.該方法包含兩個階段，能實現(xiàn)目標位置向量和信號傳播速度聯(lián)合估計.本文還通過理論分析證明新方法參數(shù)估計均方誤差可以漸近逼近CRB.

2 定位觀測模型

假設(shè)在3 維空間中有單個運動觀測站利用FOA 觀測量對靜止目標進行定位，該觀測平臺安裝傳感器，由于傳感器與目標間的相對運動會使得FOA 觀測量中包含多普勒頻移，利用此信息可以對目標進行定位.傳感器的運動軌跡由M個直線段構(gòu)成，其在行駛第m條直線航跡過程中利用Nm個短時隙測量FOA，其中第n個短時隙獲得的FOA表達式為

這里給出兩點假設(shè)：（1）本文的單站定位區(qū)域并不寬廣，可假定信號在不同時隙到達傳感器的傳播速度c保持不變，但需要將其看成是未知參數(shù)；（2）在每個短時隙內(nèi)，傳感器測量FOA 的時間足夠短，使得傳感器在每個短時隙內(nèi)的位置變化量可以忽略不計.

實際中獲得的FOA 觀測量是含有誤差的，其可以表示為

式中εmn表示FOA 觀測誤差.將式（2）合并成向量形式可得

式（3）中，

3 參數(shù)估計方差的克拉美羅界

在本文的定位問題中，未知參數(shù)包括向量u和標量c，觀測量為向量定義參數(shù)向量θ=[uTc]T，此時可以將對數(shù)似然函數(shù)表示為

式（5）中K表示與未知參數(shù)θ無關(guān)的常數(shù).由式（5）可以得到關(guān)于參數(shù)向量θ的CRB表達式：

4 兩階段定位新方法

4.1 新方法的原理概述

文中的新方法包含兩個階段，每個階段的基本原理描述如下：

（1）階段1首先利用運動單站與目標間的幾何關(guān)系構(gòu)建第1組偽線性觀測方程；然后利用該方程建立估計準則，并基于此實現(xiàn)向量u和標量c的解耦合優(yōu)化，其中僅需對標量c進行1 維參數(shù)迭代，而向量u的解是以閉式解形式給出；最后分析估計結(jié)果的統(tǒng)計特性.需要指出的是，階段1 中觀測方程個數(shù)小于FOA 觀測量個數(shù)N，因此其無法獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)估計值.

（2）階段2 利用最初FOA 觀測模型構(gòu)建第2 組偽線性觀測方程，并基于階段1得到的估計值及其統(tǒng)計特性建立估計準則，進而獲得參數(shù)向量θ的閉式解，該估計結(jié)果具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性.

基于上面的原理概述，圖1描述了新方法的總體技術(shù)路線.

圖1 新方法的總體技術(shù)路線圖

4.2 階段1的計算原理與方法

4.2.1 偽線性觀測方程

這里借助幾何關(guān)系推導第1 組偽線性觀測方程.如圖2 所示，定義向量u-smn與速度向量之間的夾角為βmn，則有

圖2 定位幾何關(guān)系示意圖

結(jié)合式（1）和式（7）可得

由式（8）可知，夾角βmn與FOA 真實值fmn以及信號傳播速度c有關(guān).

在圖2 中考慮由向量u、smn以及sm1構(gòu)成的三角形，當n≥2時，利用三角形正弦定理可知

結(jié)合式（7）和式（9）可得

將式（10）寫成矩陣形式可得

式（11）中，

其中，

式（11）即為第1 組偽線性觀測方程，其中A(f，c)表示偽線性觀測矩陣；b(f，c)表示偽線性觀測向量.

由于式（10）僅在n≥2 時成立，從而導致式（11）中包含的方程個數(shù)僅為N-M，小于FOA 觀測量個數(shù)N，因此基于式（11）無法獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)的定位結(jié)果，但是其作為新方法的中間步驟仍然不可或缺.

4.2.2 估計準則及其求解算法

建立合理的估計準則需要分析偽線性觀測方程中的誤差特性，為此定義如下偽線性觀測誤差向量

將式（16）和式（17）代入式（15）中可知

式（20）中，

由式（20）可知，誤差向量ξf漸近服從零均值的高斯分布，并且其協(xié)方差矩陣為

結(jié)合式（15）和式（22）可以建立如下加權(quán)最小二乘估計準則：

為了減少參與迭代的變量維數(shù)，這里提出利用解耦合優(yōu)化的思想對式（23）進行求解.首先可以得到向量u在階段1的最優(yōu)表達式：

然后將式（24）代回式（23）中可以得到僅關(guān)于標量c的優(yōu)化問題

式（25）中，Π⊥[·]表示矩陣列補空間上的正交投影函數(shù).式（25）是一維優(yōu)化問題，可以通過Newton-Raphson 迭代法進行求解，相應的迭代公式為

式（26）中，

4.2.3 理論性能分析

下面推導階段1中的估計值的統(tǒng)計特性，具體結(jié)論可見如下兩個定理.

證明將式（22）代入式（28）中可得

另一方面，將定義式f=g(u，c)代入式（11）中可知

將式（36）兩邊分別對u和c求導可得

將式（37）和式（38）代入式（35）中可知

結(jié)合式（6）、式（39）以及矩陣不等式A-1≥B(BTAB)-1BT（其中，A為任意正定矩陣；B為任意列滿秩矩陣）可得

證畢.

定理2 表明，觀測方程個數(shù)的降低使得階段1 的估計值不具備漸近統(tǒng)計最優(yōu)性，因此下面還需要利用階段2對此估計值進行優(yōu)化更新，旨在獲得具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性的估計結(jié)果.

4.3 階段2的計算原理與方法

4.3.1 偽線性觀測方程

若要獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)的定位精度，就不能減少觀測方程個數(shù)，為此需要回到最初FOA 觀測模型式（1）中，并將其進一步轉(zhuǎn)化成如下形式：

將式（41）寫成矩陣形式可得

式（42）中，

式（42）即為第2 組偽線性觀測方程，其中H(f，u)表示偽線性觀測矩陣；w表示偽線性觀測向量.

式（42）與式（11）的根本區(qū)別在于，式（42）中的方程個數(shù)等于FOA 觀測量個數(shù)N，沒有信息損失.事實上，在本文的新方法中，式（11）與式（42）都不可或缺.式（11）的意義為，提供漸近統(tǒng)計無偏估計值及其統(tǒng)計特性，正是基于此信息，才可以將式（42）中的觀測矩陣H(f，u)看成已知量，進而在階段2 中得到參數(shù)向量θ的閉式解；式（42）的意義為，提高階段1的估計精度，并獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)估計值.

4.3.2 估計準則及其最優(yōu)閉式解

首先定義如下偽線性觀測誤差向量：

式（46）中，

將式（31）和式（46）代入式（45）中可知

式（49）中，

由式（49）可知，誤差向量ξt漸近服從零均值的高斯分布，并且其協(xié)方差矩陣為

結(jié)合式（45）和式（51）可以建立如下加權(quán)最小二乘估計準則：

式（52）的最優(yōu)閉式解為

5 定位新方法的理論性能分析

在一階誤差分析框架下，由式（55）可以進一步推得

證畢.

定理4向量是關(guān)于參數(shù)向量θ的漸近統(tǒng)計最優(yōu)估計值，即有

證明將式（51）代入式（54）中可得

對比式（6）和式（58）可知，下面僅需要證明等式：

首先結(jié)合式（32）、式（33）以及式（50）可得

將式（37）和式（38）代入式（60）中可知

另一方面，將定義式f=g(u，c)代入式（42）中可得

將式（62）兩邊分別對u和c求導可知

將式（63）和式（64）合并可得

結(jié)合式（61）和式（65）可知式（59）成立.

證畢.

6 仿真實驗與結(jié)果分析

基礎(chǔ)實驗場景如下：假設(shè)水下目標位置向量為u=[-200 200 300]Tm，水下目標信號發(fā)射頻率為f0=25 kHz，現(xiàn)利用單觀測平臺對其進行定位，該平臺在水下行駛4 條直線航跡，每條航跡利用6 個短時隙獲得FOA 觀測量，短時隙位置坐標見表1 和表2，該平臺行駛每條直線航跡時的速度見表3.FOA 觀測誤差服從均值為零、方差為的高斯分布，其中σf表示標準差.

表1 第1條和第2條航跡中的12個短時隙位置坐標

表2 第3條和第4條航跡中的12個短時隙位置坐標

表3 每條航跡的速度

6.1 驗證新方法的漸近統(tǒng)計最優(yōu)性

首先設(shè)信號傳播速度為c=1500 m/s，改變目標位置，在[-250 m -150 m]×[150 m 250 m]×[250 m 350 m]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布.圖3 給出新方法的定位均方根誤差及其CRB 隨著FOA 觀測誤差標準差σf的變化箱線圖.

圖3 新方法的定位均方根誤差及其CRB隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化箱線圖（目標位置坐標服從均勻分布）

然后假設(shè)目標位置向量為u=[-200 200 300]Tm，改變信號傳播速度，并參照文獻［13～18］中的參數(shù)設(shè)置，令其在[1400 1600]m/s 區(qū)間內(nèi)服從均勻分布.圖4給出新方法的定位均方根誤差及其CRB隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化箱線圖.

圖4 新方法的定位均方根誤差及其CRB隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化箱線圖（信號傳播速度服從均勻分布）

從圖3 和圖4 中可以看出：（1）新方法的定位均方根誤差能夠漸近逼近CRB，從而驗證了新方法的漸近統(tǒng)計最優(yōu)性；（2）新方法的漸近統(tǒng)計最優(yōu)性對于目標位置坐標和信號傳播速度具有一定泛化性.

6.2 與已有定位方法進行比較

這里比較的方法包括泰勒級數(shù)迭代定位方法（涉及迭代初始值無誤差和迭代初始值有隨機誤差兩種情形）和文獻［9，12］中的定位方法.需要指出的是，文獻［9，12］中的定位方法假設(shè)信號傳播速度精確已知，因此需要設(shè)定信號傳播速度，這里取典型值c=1500 m/s.此外，新方法與泰勒級數(shù)迭代定位方法均能對目標位置向量和信號傳播速度進行聯(lián)合估計，因此無需對這兩種方法預先設(shè)定信號傳播速度的數(shù)值.

首先假設(shè)信號傳播速度為c=1470 m/s.圖5 給出了目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著FOA 觀測誤差標準差σf的變化曲線.

圖5 目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化曲線

然后假設(shè)FOA 觀測誤差標準差為σf=1 Hz.圖6給出了目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著信號傳播速度c的變化曲線.

從圖5 和圖6 中可以看出：（1）新提出的定位方法的性能可以漸近逼近CRB；（2）對于文獻［9，12］中的定位方法，當信號傳播速度的真實值偏離預先設(shè)定的典型值c=1500 m/s 時，兩種方法的定位性能都會顯著下降，并且速度偏差值越大，定位誤差越大（見圖6），當信號傳播速度的真實值等于預先給定的典型值c=1500 m/s 時，文獻［9］中的定位方法的性能接近CRB，但文獻［12］中的定位方法始終無法逼近CRB，這是因為后者雖然能夠獲得目標位置向量的閉式解，但是以犧牲FOA 觀測量為代價，因此其并不具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性，這與文獻［12］中的結(jié)論一致；（3）當泰勒級數(shù)迭代定位方法的初始值存在隨機誤差時，其產(chǎn)生“門限效應”的誤差閾值明顯低于新提出的定位方法，這是因為泰勒級數(shù)迭代定位方法是針對最初FOA 觀測方程進行迭代的，其中沒有推導偽線性觀測方程，因而難以獲得合理的初始值，初始值中的隨機誤差很可能導致迭代發(fā)散，此時經(jīng)有限次統(tǒng)計得到的定位均方根誤差會出現(xiàn)“陡增”現(xiàn)象（即門限效應）；（4）當泰勒級數(shù)迭代定位方法取真實值作為迭代初始值時，其估計精度與新方法接近，但將真實值作為迭代初始值在實際應用中難以實現(xiàn).

圖6 目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著信號傳播速度c的變化曲線

7 結(jié)論

本文在信號傳播速度未知下提出基于運動單站FOA 觀測量的目標定位新方法.該方法共包含兩個計算階段，其中的迭代過程僅涉及一維參數(shù)優(yōu)化，無需設(shè)置目標位置向量初始值，并能實現(xiàn)目標位置向量和信號傳播速度聯(lián)合估計.此外，文中通過理論性能分析證明新方法的參數(shù)估計精度可以漸近逼近CRB.仿真實驗結(jié)果表明，新方法具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性，其性能優(yōu)于文獻［9，12］中的定位方法，并且與迭代初始值取真實值的泰勒級數(shù)迭代定位方法相近，但新方法僅需對信號傳播速度進行迭代，其計算復雜度更低.