郭興偉，趙凱宏，代云仙

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引 言

在長期的演化過程中,地球不同地區(qū)的生物體形成了相對(duì)穩(wěn)定的生態(tài)系統(tǒng),如海洋生態(tài)系統(tǒng)、草原生態(tài)系統(tǒng)、森林生態(tài)系統(tǒng)和荒漠生態(tài)系統(tǒng)等.在生態(tài)系統(tǒng)中，根據(jù)不同物種之間的相互作用,生態(tài)系統(tǒng)可分為捕食型、共生型和競爭型.許多領(lǐng)域的科學(xué)家運(yùn)用各種理論和工具,對(duì)物種數(shù)量和種群間的相互作用進(jìn)行廣泛而深入的研究,其中以微分方程為工具建立了著名的Lotka-Volterra生態(tài)系統(tǒng)模型.該生態(tài)系統(tǒng)模型可以動(dòng)態(tài)地描述和刻畫生態(tài)系統(tǒng)中物種數(shù)量和物種間關(guān)系隨時(shí)間的變化.該系統(tǒng)自提出以來,受到了廣泛的關(guān)注和研究.關(guān)于該系統(tǒng)的穩(wěn)定性、持續(xù)性和周期性等動(dòng)力學(xué)行為,已經(jīng)取得較多的研究成果[1-14].

在捕食系統(tǒng)中普遍存在一類鏈狀捕食結(jié)構(gòu).該系統(tǒng)的特征是系統(tǒng)中至少有三個(gè)物種,第一個(gè)是第二個(gè)的食物,第二個(gè)是第三個(gè)的食物,依次類推.在文獻(xiàn)[15]中，Rosenzweig 是第一個(gè)關(guān)注這種鏈狀捕食關(guān)系,并對(duì)其進(jìn)行研究的學(xué)者.此后,食物鏈系統(tǒng)受到廣泛關(guān)注和深入研究,一些相關(guān)研究成果可參見文獻(xiàn)[16-21].由于不健康的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn),如污水排放、過量使用殺蟲劑等行為,使得許多生態(tài)系統(tǒng)受到污染,變得越來越脆弱.因此,為了保護(hù)生態(tài)系統(tǒng)的健康發(fā)展,已有學(xué)者開始研究毒物對(duì)種群的影響[22-28].另外,捕食者捕食食餌后并不能瞬時(shí)增加其種群數(shù)量,而是要過一段時(shí)間后才會(huì)顯示效果,這種現(xiàn)象就是時(shí)間延遲效應(yīng).在自然界中延遲效應(yīng)是普遍存在且不可避免的,因此,在微分方程生態(tài)系統(tǒng)模型中加入時(shí)間延遲項(xiàng)是很有必要的.

受上述討論的啟發(fā),本文考慮了如下污染環(huán)境中一類變時(shí)滯n種群食物鏈系統(tǒng)：

(1)

其中：r1(t)>0表示固有出生率,xj(t)(j=1,2,…,n)代表第j個(gè)物種的人口密度,dj(t)>0(j=2,3,…,n)表示第j個(gè)捕食者的死亡率,pj(t)(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)物種包含毒物的平均濃度,ajj(t)>0(j=1,2,…,n)表示第j個(gè)物種的種內(nèi)競爭率,aj,j+1(t)>0(j=1,2,…,n-1)表示第j+1個(gè)物種對(duì)第j個(gè)物種的捕食率,aj,j-1(t)>0(j=2,3,…,n)表示第j個(gè)物種捕食第j-1個(gè)物種后的轉(zhuǎn)換率,τij(t)>0是時(shí)變延遲.假設(shè)r1(t)、dj(t)、pj(t)、aij(t)和τij(t),(i,j=1,2,…,n)都是連續(xù)的概周期函數(shù).

1 準(zhǔn)備工作

定義1[29]設(shè)函數(shù)u(t):→是連續(xù)的.如果對(duì)?ε>0,?l(ε)>0，對(duì)任何長度為l(ε)的區(qū)間I,?δ=δ(ε)∈I使得|u(t+δ)-u(t)|<ε,?t∈，那么u(t)被稱為是上的概周期函數(shù).為方便起見，用AP()表示實(shí)數(shù)上全體實(shí)值概周期函數(shù)組成的函數(shù)集合.

對(duì)任何f∈AP()，定義函數(shù)f的Fourier指數(shù)和模分別為：

引理 1[5]假設(shè)u(t)∈AP()∩C1(,)，則u(t)滿足下面四種情況之一:

(i) 存在ξ,η∈使得和此情況下有

(ii) 不存在ξ,η∈使得和此情況下,對(duì)任何ε>0，存在兩個(gè)點(diǎn)ξ,η∈使得

(iii) 存在ξ∈使得不存在η∈使得此情況下并且對(duì)任何ε>0都存在η∈使得

(vi) 存在η∈使得不存在ξ∈使得此情況下并且對(duì)任何ε>0都存在ξ∈使得

(H1)r1(t),dj(t),pj(t),aij(t),τij(t)(i,j=1,2,…,n)都是正的連續(xù)概周期函數(shù).

2 概周期正解的存在性

(a) 對(duì)每個(gè)λ∈(0,1),方程Lx=λN(x)的解x滿足x??Ω∩Dom(L)；

(b) 對(duì)每個(gè)x∈?Ω∩Ker(L)有QN(x)x≠0；

(c) deg(JDN(x),Ω∩Ker(L),0)≠0.

作代換xj(t)=eyi(t)(j=1,2,…,n),則系統(tǒng)(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

V1={y=(y1,y2,…,yn)T:yj∈AP(滿足

V2={y≡(c1,c2,…,cn)∈n},F1(t)=r1(t)-p1(t)-a11(t)ey1(t)-a12(t)ey2(t-τ12(t)),

Fn(t)=-dn(t)-pn(t)+an,n-1(t)eyn-1(t-τn,n-1(t))-ann(t)eyn(t),

Fj(t)=-dj(t)-pj(t)+aj,j-1(t)eyj-1(t-τj,j-1(t))-ajj(t)eyj(0)-aj,j+1(t)eyj+1(t-τj,j+1(t)),

β是一給定常數(shù).取X=Z=V1⊕V2,對(duì)任何y=(y1,y2,…,yn)T∈X=Z,定義范數(shù)為:

(3)

應(yīng)用文獻(xiàn)[31]中的方法和技巧容易證明下面的引理.這里只陳述結(jié)論，省略具體證明過程.

引理3X=Z在(3)定義的范數(shù)下是Banach空間.

引理5設(shè)N:X×(0,1)→Z,N(y) = (G1y,G2y,…,Gny)T,其中：

G1y=r1(t)-p1(t)-a11(t)ey1(t)-a12(t)ey2(t-τ12≥(t)),

Gny=dn(t)-pn(t)-an,n-1(t)eyn-1(t-τn,n-1(t))-ann(t)eyn(t),

Gjy=dj(t)-pj(t)-aj,j-1(t)eyj-1(t-τj,j-1(t))-ajj(t)eyj(t)-aj,j+1eyj+1(t-τj,j+1(t)),j=2,3,…,n-1.

定義投影算子：

P:X→Z,Py=(m(y1),m(y2),…,m(yn))T,

Q:Z→Z,Qy=(m[y1],m[y2],…,m[yn])T.

定理1如果條件(H1)和(H2)成立,那么系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正的概周期解.

證明考慮算子方程Ly=λN(y),λ∈(0,1),即：

(4)

(5)

一方面，根據(jù)式(5)的第一個(gè)方程可得：

上式可推出：

(6)

由(5)的剩余兩個(gè)方程和遞推法可得：

上式可推出：

(7)

另一方面，由(5)的第一個(gè)方程也可以得出：

上式可推出：

(8)

對(duì)(5)的第二個(gè)方程應(yīng)用遞推法可得到：

由此解出：

(9)

由(5)的最后一個(gè)方程得到：

上式解得：

(10)

結(jié)合(6)～(10)可得：

(11)

類似討論可得：

(12)

由(11)和(12)得：

(13)

因?yàn)镵er(L)=lm(Q),所以取J=I.通過直接計(jì)算可得

3 全局指數(shù)穩(wěn)定性

定理2如果條件(H1)～(H4)成立，那么系統(tǒng)(1)存在唯一的全局指數(shù)穩(wěn)定的概周期正解.

(14)

由V(t)的定義可得V(0)<+∞.應(yīng)用條件(H3),進(jìn)行直接計(jì)算可得：

(15)

此外,由條件(H4)可知存在一個(gè)常數(shù)μ>0使得：

(16)

由(15)和(16)可得：

(17)

在式(17)兩端積分可得：

(18)

上式蘊(yùn)含著：

(19)

(20)

(21)

由式(20)可知,對(duì)任何足夠小的ε>0,存在T>0使得對(duì)t>T都有：

(22)

由式(22)和微分中值定理可得：

(23)

(24)

(25)

構(gòu)造Lyapunov泛函：

(26)

由式(22)-式(26)可得：

(27)

(27)蘊(yùn)含著：

(28)

由(28)可得：

在上面的不等式中令ε→0+，有：

(29)

4 結(jié) 論

食物鏈型捕食生態(tài)系統(tǒng)是自然界中普遍存在的一種生態(tài)現(xiàn)象.本文研究了具有時(shí)變延遲的一類多物種食物鏈系統(tǒng)，獲得了系統(tǒng)概周期正解存在的一些充分條件.同時(shí),通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫泛函建立了系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，從指數(shù)穩(wěn)定性成立的條件中可以看出延遲的重要影響.研究結(jié)果為具有食物鏈型捕食生態(tài)系統(tǒng)的研究、開發(fā)和保護(hù)提供了一些理論參考，所使用的數(shù)學(xué)理論和方法對(duì)其他數(shù)學(xué)模型的研究也具有一定的借鑒作用.