摘要：針對(duì)協(xié)變量隨機(jī)缺失的乘積模型，結(jié)合逆概率加權(quán)（inverse probability weight，IPW）、絕對(duì)乘積相對(duì)誤差（least product relative error，LPRE）及非參數(shù)核估計(jì)方法，研究該模型中參數(shù)的估計(jì)問題。在一定的條件下，證明了提出的估計(jì)具有漸近正態(tài)性。最后，通過隨機(jī)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了新方法的有限樣本表現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：乘積模型;隨機(jī)缺失;IPW;LPRE

中圖分類號(hào)：O212.7文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

乘積模型是一類重要的參數(shù)模型，能夠處理非負(fù)響應(yīng)變量的情況，具體形式如下：

針對(duì)協(xié)變量缺失的回歸模型，已有一些學(xué)者進(jìn)行了研究。2011年，楊[12]基于經(jīng)驗(yàn)似然方法，研究了協(xié)變量隨機(jī)缺失的線性模型的參數(shù)的置信區(qū)域構(gòu)造問題。2012年，李[13]基于最小二乘、逆概率加權(quán)（inverse probability weight，IPW）及局部核光滑方法，研究了協(xié)變量隨機(jī)缺失的單指標(biāo)模型的估計(jì)問題。2016年，劉[14]在不完整數(shù)據(jù)下，結(jié)合復(fù)合分位數(shù)方法，研究了參數(shù)及半?yún)?shù)模型的估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

然而，還未有學(xué)者在相對(duì)誤差LPRE的視角下，研究協(xié)變量隨機(jī)缺失的乘積模型。因此，作者結(jié)合LPRE、IPW與非參數(shù)核估計(jì)方法，研究協(xié)變量隨機(jī)缺失的乘積模型。

1估計(jì)方法

2理論性質(zhì)

3模擬仿真

由表1和表2可以看到，在各種誤差分布、缺失率及樣本量下，由于LPRE-CC估計(jì)是有偏估計(jì)，LPRE-CC具有較大的Bias，因此導(dǎo)致MSE也較大;LPRE-NIPW和LPRE-IPW相比，具有較小的SD，該結(jié)果和定理2的結(jié)論是一致的;LPRE-NIPW與LPRE-CC和LPRE-IPW方法相比，具有最小的MSE，也就是說LPRE-NIPW方法比其他兩種方法更有效。再有，固定樣本量，隨著缺失率的增加，3種方法的MSE都增大，即估計(jì)效果都變差;固定缺失率，隨著樣本量的增加，3種方法的MSE都減小，即估計(jì)效果都變好。

值得注意的是，現(xiàn)實(shí)中由于真實(shí)的選擇概率是未知的，因此LPRE-IPW估計(jì)實(shí)際上是不可獲取的。LPRE-NIPW方法在使用非參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)選擇概率時(shí)由于使用了更多的樣本信息，估計(jì)效果優(yōu)于LPRE-IPW方法。綜上，可知使用LPRE-NIPW方法估計(jì)協(xié)變量隨機(jī)缺失的乘積模型的未知參數(shù)具有較好的效果。

4總結(jié)

主要結(jié)合LPRE、逆概率加權(quán)及非參數(shù)估計(jì)方法，研究協(xié)變量隨機(jī)缺失的乘積模型的估計(jì)問題。在一定的條件下證明了LPRE-IPW與LPRE-NIPW估計(jì)的漸近正態(tài)性，通過比較兩者的協(xié)方差矩陣1和2，發(fā)現(xiàn)LPRE-NIPW估計(jì)具有更小的方差。最后通過隨機(jī)模擬，比較LPRE-CC、LPRE-IPW及LPRE-NIPW方法的表現(xiàn)，結(jié)果顯示LPRE-NIPW相比LPRE-IPW具有更小的SD，相比LPRE-CC具有較小的Bias，相比LPRE-IPW和LPRE-CC具有最小的MSE，從而驗(yàn)證了LPRE-NIPW方法的有效性。此外，本文的研究方法可推廣至協(xié)變量隨機(jī)缺失的半?yún)?shù)乘積模型，研究結(jié)果可為進(jìn)一步研究協(xié)變量隨機(jī)缺失的半?yún)?shù)乘積模型提供一定的理論基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：曾晶）

Weighted LPRE Estimation for Multiplicative

Model with Missing Covariates

LIU Huilan*

（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University， Guiyang 550025， China）Abstract： Based on inverse probability weight （IPW）， least product relative error （LPRE） and non-parametric kernel estimation methods， the estimation methods for the multiplicative model are studied when the covariates are missing at random. Under some regular conditions， the asymptotic normality of the proposed estimators is proved. Finally， some simulations are conducted to evaluate the finite sample performance of the new methods.

Key words： multiplicative model; missing at random; IPW; LPRE459EE679-44BB-44BD-8CBE-ABA3FE118A74