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        數(shù)軸與有理數(shù)相關(guān)概念的聯(lián)系

        2022-07-05 13:26:02姜國生
        初中生世界·七年級 2022年10期

        姜國生

        數(shù)軸是一種重要的工具,盡顯數(shù)形結(jié)合的魅力。數(shù)軸與有理數(shù)的相關(guān)概念有著廣泛聯(lián)系,有的同學(xué)可能還不清楚,下面我們來做一些簡單梳理。

        聯(lián)系之一:任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到唯一的一個(gè)點(diǎn)與之對應(yīng)

        例1 (1)畫出數(shù)軸并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn):-1,-3.5,[212],0.5。

        (2)如圖1所示,根據(jù)數(shù)軸上各點(diǎn)的位置,寫出它們所表示的數(shù)。

        【解析】(1)依據(jù)題意,我們可建立如圖2所示的數(shù)軸。在數(shù)軸上分別標(biāo)出表示-3.5,-1,0.5,[212]的點(diǎn)。

        (2)從圖1所示的數(shù)軸上,我們可以直接讀出點(diǎn)A、B、C、D、E所表示的數(shù)分別為:0,-1,[413],[-212],-4。

        任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示,但是,數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)則不一定表示一個(gè)有理數(shù)。這個(gè)問題我們以后會接觸到。

        聯(lián)系之二:利用數(shù)軸可以更充分地理解相反數(shù)

        例2 若A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是相反數(shù),且這兩點(diǎn)相距8個(gè)單位長度,請?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn),并指出A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)。

        【解析】因?yàn)锳、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是相反數(shù),且這兩點(diǎn)相距8個(gè)單位長度,而表示相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相等、符號相反,所以點(diǎn)A和點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離相等且距離都等于4個(gè)單位長度,由此我們就可以在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)了。如圖3所示,A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是-4和4,或4和-4。

        互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩旁,并且這兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等??梢姡橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)總是成對出現(xiàn)的。

        聯(lián)系之三:利用數(shù)軸可以說明絕對值的幾何意義

        例3 有兩個(gè)點(diǎn),它們到原點(diǎn)的距離分別是2和3,請問,這兩點(diǎn)之間的距離是多少?并說明理由。

        【解析】設(shè)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2,點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為3。若這兩點(diǎn)在原點(diǎn)同側(cè),如圖4、圖5,則[OA]=2,[OB]=3,所以[AB]=1;若這兩點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè),如圖6、圖7,則[OA]=2,[OB]=3,所以[AB]=5。

        所以,這兩點(diǎn)之間的距離是1或5。

        絕對值的幾何意義可以由數(shù)軸直接知道:數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,記作[a]。

        聯(lián)系之四:借助數(shù)軸可以比較有理數(shù)的大小

        例4 請用“<”把下列各數(shù)連接起來:[-212],[-4],[--4],-([-212]),0。

        【解析】我們先對各數(shù)進(jìn)行化簡。[-4]=4,[--4]=-4,-([-212])=[212],將[-212],

        4,-4,[212],0在數(shù)軸上表示出來,如圖8所示。因?yàn)?4<[-212]<0<[212]<4,所以[--4]<[-212]<0<-([-212])<[-4]。

        在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

        (作者單位:江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級中學(xué))

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