劉東升
有理數(shù)運算是初中數(shù)學的重點內(nèi)容,我們學習這一章時,首先要理解并掌握運算規(guī)則,然后再學習如何簡化運算。嚴守法則能確保運算不出錯,但往往比較機械和程序化,對于有些算式來說,我們還需要相機運用一些運算律以達到簡化運算的目的。
一、嚴守規(guī)則,按程序運算
有理數(shù)加法、乘法、除法的運算法則可歸納為下表:
下面我們看一看,如何運用這些運算法則來解決問題。
例如,計算:(-81)÷[214]×[49]÷(-16)。
對于連除或乘除混合運算問題,我們可以先確定符號,然后將除法轉化為乘法,再按從左到右的順序依次計算。
原式=81×[49]×[49]×[116]=1。
值得說明的是,遇到帶分數(shù),應及時將帶分數(shù)化為假分數(shù)。
再如,計算:[-13][-34]×([-23])2[-112]×(-4)2。
有理數(shù)混合運算的順序是:先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的一般先算括號內(nèi)的。本題含有乘方運算、乘法運算和減法運算,同學們在計算時應注意運算順序,先進行乘方運算,再進行乘法運算,最后進行減法運算。在混合運算中,除了要注意運算順序,還應注意運算中符號的確定,以及乘方的意義,如([-23])2=[49],(-4)2=16。
二、相機使用運算律簡化運算
有理數(shù)的運算定律有五條(加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律),它們主要有兩個作用:1.簡化有理數(shù)的運算;2.推導其他運算法則。運用這些運算律時要注意兩點:1.運用加法交換律交換加數(shù)的位置時,要連同其前面的符號一起交換,如a+b-c=a-c+b;2.對分配律既要重視順向運用,又要重視逆向運用,如計算87×[34][+12]×87-87×[14],注意到[34][+12][-14]=1,從而逆用分配律可獲巧解,即原式=87×([34][+12][-14])=87×1=87。
下面我們來算一算。同學們也可以自己嘗試動手算一算,看誰算得既簡便又準確。
例如,計算:[-3213]+5.75+([-323])+([+514])
+([-1247])+([-37])。
在這個分數(shù)的加減運算式子中,我們觀察到,分母分別是3、4、7。那么,我們可以將同分母的結合在一起,結合后還會發(fā)現(xiàn)分子的和剛好又與相應的分母相同,這就大大地降低了運算的難度,又能提高準確率。
原式=[[-3213]+([-323])]+[[+534]+([+514])]+
[([-1247])+([-37])]=(-36)+(+11)+(-13)=-38。
再如,計算:([134][-78][-712])÷([-78])+([-83])。
一般算法是先算括號內(nèi)的,然后再進行除法運算,有些麻煩。注意到第一個括號內(nèi)的分數(shù)分子相同(帶分數(shù)化成假分數(shù)),并可與括號外的分數(shù)約分,運用分配律更快捷一些。
所以,原式=([74][-78][-712])×([-87])+([-83])=[-74]×[87]+[78]×[87]+[712]×[87][-83]=-2+1[+23][-83]=-3。
在有理數(shù)混合運算中,同學們應注意乘法分配律的靈活應用。雖然除法運算沒有分配律,但根據(jù)乘法與除法之間的內(nèi)在聯(lián)系,可將除法轉化為乘法,然后再利用乘法分配律進行計算。四則運算中,運算律或運算技巧的使用,可以讓我們充分領略到“條條大路通羅馬”。
(作者單位:江蘇省南通市教育科學研究院)