趙 莊， 李學超， 張糧成， 段一名

(安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001)

在過去的幾年中，與半導(dǎo)體材料中子帶間躍遷相關(guān)的非線性光學特性引起了理論和應(yīng)用物理方面研究人員的廣泛關(guān)注.由于半導(dǎo)體生長技術(shù)的進步，可以產(chǎn)生不同類型的低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，如量子點、量子阱、量子線和超晶格[1-7].正是由于低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的約束增強，在這些低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了許多新的非線性光學特性.這種特性已成為高速光電調(diào)制器、遠紅外光電探測器、半導(dǎo)體光放大器等許多光電器件的重要物理基礎(chǔ)[8].另外，隨著納米制造技術(shù)的逐漸成熟，多種形狀的量子阱的制備逐漸成為現(xiàn)實，如拋物形量子阱、方正量子阱等.這些不同形狀的量子阱影響著電學、光學和輸運特性.此外，電場或磁場的應(yīng)用以及靜水壓力或溫度等外部擾動，都改變了被限制在量子阱中的載流子的量子態(tài).

近年來，許多研究人員對非線性光學性質(zhì)進行了理論研究.You等[9]研究了靜體壓力和磁場對AlGaAs/GaAs拋物形量子阱非線性光學特性的影響；Hu等[10]研究了位置相關(guān)質(zhì)量對量子阱中非線性光吸收系數(shù)和折射率變化的影響；Bouza?ene等[11]研究了靜壓力和溫度對AlGaAs/GaAs量子點透鏡形狀的非線性光學整流的影響；Guanguly等[12]研究了存在和不存在高斯白噪聲的2種情況，在靜水壓力和溫度的共同影響下，雜質(zhì)摻雜量子點的光學整流、二次諧波產(chǎn)生和三次諧波產(chǎn)生的特性；Karabulut等[13]研究了外加電場和磁場以及靜水壓力的綜合效應(yīng)下GaAs-Ga1-xAlxAs非對稱雙量子阱中的非線性光學整流和光學吸收；Dahiya等[14]研究了強激光場對δ摻雜GaAs量子阱中子帶間光吸收和折射率變化的影響.然而在考慮到溫度的作用下，具有Utan2(πy/d)勢的正切平方量子阱的非線性光學性質(zhì)尚未被研究，筆者從理論上研究在溫度和流體靜壓作用下正切平方量子阱中的非線性光學折射率變化情況.

本文中，筆者首先通過求解薛定諤方程得到了本征函數(shù)和能量特征值，利用密度矩陣法和迭代法得到了RIC的解析表達式，然后給出了典型正切平方量子阱的數(shù)值計算和詳細討論，最后做了簡要總結(jié).

1 理論推導(dǎo)

1.1 能量特征值和特征函數(shù)

考慮一個電勢為Utan2(πy/d)的電子限制在系統(tǒng)中.當有效質(zhì)量近似以及在流體靜壓、溫度作用的情況下，系統(tǒng)的哈密頓量可以寫成如下形式[8]：

(1)

V(y)=Utan2(πy/d),

(2)

其中?代表普朗克常數(shù)，y代表量子阱的生長方向，d和U分別代表量子阱的直徑和電勢，根據(jù)(2)可知d和U對限制電位V(y)的影響很大.P表示流體靜壓，T表示溫度，m(P,T)*表示量子阱中依賴于壓力和溫度的電子有效質(zhì)量，由下式給出[9]：

(3)

其中m0表示自由電子質(zhì)量，C=7.51 eV表示與動量矩陣元有關(guān)的能量，A=0.341 eV表示自旋軌道分裂能量.α(P,T)表示半導(dǎo)體在中心點的能隙隨溫度和靜水壓力的變化，由下式給出：

α(P,T)=α(0,T)+0.012 6P-3.77×10-5P2,

(4)

當考慮了流體靜壓和溫度的影響時，y方向的薛定諤方程有以下形式[11]：

(5)

通過求解這個方程，可以得到能譜

(6)

同時可以推導(dǎo)出波函數(shù)

(7)

當n=0,1,2,3,…時，gn(ξ)分別取

g0(ξ)=1，

g1(ξ)=ξ，

…

1.2 折射率變化

在得到能量及其相應(yīng)的波函數(shù)后，用密度矩陣法和迭代程序可以計算出非線性光學折射率變化，可以假設(shè)系統(tǒng)受到一個電磁場的激勵，該電磁場表示為

密度矩陣算符ρ的演化遵循以下隨時間變化的Liouville方程[13]：

(8)

其中ρ(0)為未擾動的密度矩陣算符，H0為未受電磁場影響的系統(tǒng)哈密頓量，Γij為弛豫率.

(8)可以通過以下迭代方法計算[14-15]：

(9)

(10)

該系統(tǒng)的電極化可擴展為[16]

(11)

(12)

其中V表示互相作用的體積，Tr表示矩陣的跡(主對角元素之和).采用相同的緊密度矩陣方法和迭代方法，可以得出如下線性和三階非線性磁化率[17]：

(13)

(14)

利用緊密度矩陣方法和迭代方法,系統(tǒng)的線性和三階非線性折射率變化可以寫為[18-19]

(15)

(E10-?ω×[E10(E10-?ω)-(?Γ0)2])}}.

(16)

折射率的總變化可以表示為

(17)

2 結(jié)果與討論

對正切平方量子阱的折射率變化的分析中，主要探討流體靜壓P、溫度T、QWs的直徑d以及電勢U對折射率變化的影響.所采用的參數(shù)為m*=0.067m0(m0表示自由電子質(zhì)量)，σv=5.0×1024m-3，μ=4π×107Hm-1,ε0=8.85×10-12fm-1.

如圖1所示，首先討論了流體靜壓對正切平方量子阱非線性光學折射率變化的影響.取U=45 meV，T=200 K，d=25 nm，做出了不同流體靜壓下光學折射率隨入射光子能量?ω的變化關(guān)系曲線圖，流體靜壓分別取P=40,50,60 kbar.可以看出，隨著P的增加，RCI共振峰向低能方向移動，即發(fā)生“紅移”.造成這種行為的物理原因是靜水壓力增加了電子的有效質(zhì)量(見(3))，繼而反過來又導(dǎo)致了強度約束的降低.不僅如此，通過觀察圖1還可以發(fā)現(xiàn)，RIC共振峰的值并沒有隨著流體靜壓的增大而發(fā)生明顯變化，這是因為流體靜壓在小范圍內(nèi)的變化對光學折射率變化造成的影響是微弱的.

圖1 當U=45 meV，T=200 K，d=25 nm，P=40，50，60 kbar時， 光折射率隨入射光子能量?ω的變化關(guān)系曲線Fig.1 The RIC as a Function of the Photon Energy ?ω for P=40，50，60 kbar，with U=45 meV，T=200 K，d=25 nm

如圖3所示，討論了溫度對正切平方量子阱非線性光學折射率變化的影響.取U=45 meV，P=50 kbar，d=25 nm，做出了溫度不同時光學折射率隨入射光子能量?ω的變化關(guān)系曲線圖，T=100，200，300 K.可以看出，隨著溫度的升高，RIC共振峰向高能方向移動，即發(fā)生“藍移”.這種現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是升高溫度會導(dǎo)致電子有效質(zhì)量降低(見(3)).另外，為了達到限制電子的目的，子帶能級之間的躍遷需要更大的能量，進而增大了共振峰對應(yīng)的入射光能量.

圖2 當U=45 meV，T=200 K，P=50 kbar，d=20，25， 30 nm時，光折射率隨入射光子能量 ?ω的 變化關(guān)系曲線Fig.2 The RIC as a Function of the Photon Energy ?ω for d=20，25，30 nm，with U=45 meV，T=200 K， P=50 kbar

圖3 當U=45 meV，P=50 kbar，d=25 nm，T=100， 200，300 K時，光折射率隨入射光子能量?ω 的變化關(guān)系曲線Fig.3 The RIC as a Function of the Photon Energy ?ω for T=100，200，300 K，with U=45 meV，P=50 kbar， d=25 nm

圖4 當T=200 K，P=50 kbar，d=25 nm，U=40，50，60 meV時，光折射率隨入射光子能量?ω的變化關(guān)系曲線Fig.4 The RIC as a Function of the Photon Energy ?ω for U=40，50，60 meV，with T=200 K，P=50 kbar，d=25 nm

3 結(jié) 論

通過求解薛定諤方程，得到了本征函數(shù)和能級，然后使用密度矩陣理論和迭代方法推導(dǎo)出正切平方量子阱的光學折射率的解析表達式，進而從理論上研究了部分因素對正切平方量子阱中非線性光學折射率的變化.通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，流體靜壓以及QWs直徑的增加會導(dǎo)致“紅移”，這是由于P和d的增加使得電子在系統(tǒng)中的約束變?nèi)?，此時RIC共振峰向低能方向移動.隨著溫度的升高電子的有效質(zhì)量降低，導(dǎo)致了RIC峰向高能方向移動，即“藍移”.另外，隨著電勢U的增加量子受限效應(yīng)增強，導(dǎo)致RIC共振峰向高能方向移動.最后，該研究結(jié)果能為非線性光學領(lǐng)域的改進和新型電子光學器件的開發(fā)提供理論價值.