倪寶玉，徐瑩，黃其，尤嘉，薛彥卓

1 哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

2 中國船舶及海洋工程設(shè)計研究院，上海 200011

3 中國船級社 江蘇分社，江蘇 南京 210011

0 引 言

結(jié)構(gòu)物與冰的相互碰撞研究在冰區(qū)結(jié)構(gòu)物的設(shè)計制造、極地地區(qū)資源的開發(fā)和利用，以及冰區(qū)船舶和結(jié)構(gòu)物的安全航行及作業(yè)等領(lǐng)域均受到普遍重視。目前，在結(jié)構(gòu)物?冰碰撞的研究中使用較廣泛的方法包括離散元法[1-2]和有限元法[3]。其中，離散元法用于冰裂紋擴展的研究具有一定的優(yōu)勢，但對于海冰變形的研究不夠充分；有限元法用于海冰與結(jié)構(gòu)變形的模擬較成熟，但對于冰裂紋的擴展模擬不準確?；诖?，有研究者將內(nèi)聚力單元法（cohesive element method, CEM）應(yīng)用于冰裂紋的模擬。CEM 法是數(shù)值模型中模擬裂紋萌生和擴展的專用有限元法，最早可以追溯到研究者對裂縫尖端Dugdale-Barenblatt（D-B）[4-5]模型的開發(fā)和研究。關(guān)于內(nèi)聚力模型的最初思想是由Barenblatt[5]提出的原子牽引分離定律，應(yīng)用該定律可以避免裂紋尖端處不切實際的應(yīng)力奇異性。后來，Dugdale[4]使用內(nèi)聚力模型來描述受到法向應(yīng)力影響的理想彈塑性材料在裂紋尖端附近的塑性變形。而后，Needleman[6]將D-B 模型中的裂紋區(qū)域稱為內(nèi)聚力區(qū)（cohesive zone）。內(nèi)聚力模型在許多研究者的研究中得以改進并應(yīng)用于多個領(lǐng)域，與其他裂紋計算模型相比，內(nèi)聚力模型具有能夠模擬多個裂紋路徑而無需采用裂紋路徑跟蹤的優(yōu)點。此外，CEM 法無需預(yù)先知道裂紋擴展的方向，可通過任意放置內(nèi)聚力單元來模擬裂紋路徑的傳播。本文將主要研究CEM 法在冰裂紋擴展方面的應(yīng)用，這對于冰區(qū)結(jié)構(gòu)物設(shè)計制造有著重要意義。

內(nèi)聚力模型憑借在裂紋擴展和材料斷裂方面的優(yōu)勢，近年來，被越來越多地應(yīng)用于冰力學和結(jié)構(gòu)物與冰碰撞的模擬中。例如，Mulmule[7]和Dempsey[8]采用I 型斷裂模式的冰材料對內(nèi)聚定律進行了反算；Kuutti 等[9]通過將二維內(nèi)聚力單元插入三角形冰單元周圍，模擬了垂直鋼板與厚冰塊碰撞的試驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)密集的有限元模型網(wǎng)格可更好地模擬試驗中冰塊的破壞過程；Lu 等[10]和Wang 等[11]均采用CEM 法模擬了錐形體與層冰的碰撞過程；王峰等[12]、劉路平等[13]和蔣昱妍等[14]則采用CEM 法模擬了平整冰與豎直圓柱體、海洋平臺等海洋結(jié)構(gòu)物的碰撞過程，驗證了CEM 法在處理此類碰撞問題時的可靠性。

目前，盡管CEM 法在研究結(jié)構(gòu)物?冰相互作用方面已得到一定的應(yīng)用，但關(guān)于冰的內(nèi)聚區(qū)長度公式的研究仍十分缺乏。有部分研究者直接采用了其他材料的公式，例如Lu 等[10]采用彈性材料的公式結(jié)合冰裂紋試驗，初步估算了內(nèi)聚區(qū)長度。然而，大部分研究者并未關(guān)注內(nèi)聚區(qū)長度的計算問題，例如Gürtner 等[15]、Kuutti 等[9]、Wang 等[11]在處理各種結(jié)構(gòu)物?冰碰撞問題中均未提及內(nèi)聚區(qū)長度與網(wǎng)格的關(guān)系，而在劃分網(wǎng)格時多采用試錯的方法。事實上，基于其他材料的研究成果在冰這種材料上不一定適用，且以往研究內(nèi)聚區(qū)長度主要集中在低厚度模型[16-17]，例如復合材料的夾層，而對高厚度模型的研究很少。對于冰的斷裂模式而言，冰通常都是高厚度模型，現(xiàn)有的適用于薄板類型的內(nèi)聚區(qū)長度不再適用。

對于上述研究中存在的不足，本文擬針對冰材料的內(nèi)聚區(qū)長度計算和網(wǎng)格劃分問題進行新的適用性研究。首先，重現(xiàn)及推導現(xiàn)有的內(nèi)聚區(qū)長度計算公式，并對公式進行修正；然后，基于有限元法建立雙懸臂梁數(shù)值模型進行模擬，以研究單個內(nèi)聚區(qū)長度內(nèi)的有限元模型網(wǎng)格密度；最后，基于LS-DYNA 軟件將相關(guān)結(jié)果應(yīng)用于冰的三點彎曲試驗，以驗證CEM 法應(yīng)用于模擬冰的I 型裂紋萌生和擴展時的有效性，期望能夠促進CEM法在冰材料力學特性研究領(lǐng)域中的應(yīng)用。

1 內(nèi)聚區(qū)長度計算公式及原理

CEM 法在提出后主要應(yīng)用于混凝土結(jié)構(gòu)和復合材料等領(lǐng)域，展現(xiàn)出了良好的裂紋模擬能力，可以形象地模擬材料的張開、滑開、撕開等開裂破壞過程，以及很好地模擬混凝土的碎裂和復合材料的分層失效過程。目前，控制內(nèi)聚區(qū)的常見牽引力?分離關(guān)系包括4 種形式：雙線性型[18]、多項式型[19]、梯型[20]及指數(shù)型[21]，如圖1 所示。圖中，σ0為裂紋形成的最大應(yīng)力， δn為損傷起始對應(yīng)的上下面位移值， δf為“梯形”應(yīng)力開始線性下降對應(yīng)的上下面位移值， δ0為裂紋形成時上下面的最大位移值。

圖1 牽引力?分離曲線Fig. 1 Traction-separation curve

圖2 所示為不同材料的內(nèi)聚力模型方向示意圖。圖中，定義裂紋擴展方向為長度方向、裂紋向外張開方向為厚度方向。由兩圖的對比可見，海冰屬于典型的高厚度模型。

圖2 不同材料內(nèi)聚力模型方向定義Fig. 2 Defined dircections of cohesion model of different materials

內(nèi)聚區(qū)長度可通過J積分推導計算。J積分是彈塑性斷裂力學中一個與路徑無關(guān)的積分[22]，可作為裂紋或缺口頂端應(yīng)變場的平均度量。本文應(yīng)用張開破壞的雙懸臂梁模型來簡述裂紋擴展區(qū)域長度的推導過程，如圖3 所示。圖中，Lcz為裂紋擴展區(qū)長度（也即內(nèi)聚區(qū)長度），L為無初始裂紋的雙懸臂梁長度，Lpc為初始裂紋長度，L0為整個雙懸臂梁長度，h為單個懸臂梁的厚度。雙懸臂梁左端的初始裂紋用于約束裂紋的產(chǎn)生位置和擴展方向，外扭矩M施加于雙懸臂梁左端。

圖3 雙懸臂梁撕裂示意圖Fig. 3 Schematics of tearing of double cantilever beam

J積分的回路積分定義公式如下[22]：

為將所有常系數(shù)（含無量綱系數(shù)a的項及常數(shù)項）統(tǒng)一到一起并用字符代替，使公式具有一般性，式（3）可進一步變形為

式中：c為關(guān)于L和h的無量綱系數(shù)。將式（4）進一步簡化為

其中，

Hillerborg 等[23]基于D-B 模型得出原始的裂紋擴展區(qū)長度與裂紋位移和應(yīng)力間的關(guān)系為

式中，f為裂縫形成時的最大應(yīng)力，與式（6）中的σ0等價，即f=σ0；G=kδ0f，為斷裂能釋放率，其中k為常數(shù)，G適用于I 和II 型斷裂模式，可以理解為圖1 中各類型曲線與坐標系包圍的面積，該面積又可表達為最大應(yīng)力、最大應(yīng)變與一個常數(shù)的乘積。對比式（6）和式（7），可知文獻[23]的與式（6）中的c2是一致的，同樣也適用于撕裂（內(nèi)聚力單元的I 型拉伸失效）破壞。為此，式（5）可改寫為

上述相關(guān)推導起初源于復合材料的裂紋擴展和計算裂縫區(qū)域長度，但因推導過程中并未限制材料的類型及屬性，所以上述描述裂紋的思想也適用于冰的I 型裂紋的萌生和擴展。文獻[23]提及的雙線性δ-σ 曲線適用于混凝土這類脆性或準脆性材料，本文應(yīng)用CEM 法，在冰的力學模擬中也采用了雙線性δ-σ 曲線。

應(yīng)用式（8）時，系數(shù)c1的選取是一大難點。以往相關(guān)研究者主要針對薄板模型，根據(jù)材料性質(zhì)、內(nèi)聚力模型本構(gòu)關(guān)系等，對c1的取值給出了不同的推薦值，例如0.5[24]，π/8，0.731 或2.92[25]等。但是，這些參數(shù)均采用的是簡單的固定值，忽略了c1本身也會隨著模型尺寸變化的特征，且它們只對于低厚度的薄板材料（圖2（a））較為適用，而對于高厚度冰材料（圖2（b））的適用性尚未見諸于相關(guān)文獻報道。為此，本文將針對系數(shù)c1在冰材料中應(yīng)用的取值進行研究。

2 應(yīng)用于冰材料的內(nèi)聚區(qū)長度

本文在給出系數(shù)c1的修正公式之前，首先探討內(nèi)聚區(qū)長度Lcz隨模型尺寸的變化規(guī)律。這里，將關(guān)注兩個值：厚度值h和長厚比L/h。在有限元模型中，可以通過單元的應(yīng)力或應(yīng)變是否超過模型中的設(shè)定值來判斷單元是否失效[26]。本文內(nèi)聚力單元的變形位移量是通過追蹤每個時刻單元節(jié)點坐標計算得到的?；谖灰品▌t，通過節(jié)點坐標的變化來判斷內(nèi)聚力單元是否處于不可恢復的變形狀態(tài)，結(jié)合牽引力?分離曲線（圖1），來判定內(nèi)聚力單元是否失效。為降低誤差，本文盡可能減小了坐標數(shù)據(jù)輸出的時間間隔，將輸出間隔時間設(shè)置為5×10?5s。

構(gòu)建雙懸臂梁數(shù)值模型。雙懸臂整個長度L0=150 mm，單個懸臂梁厚度h=1.55 mm，模型受力端有一個初始裂紋長度Lpc=35 mm 的切口，無初始裂紋的雙懸臂梁長度L=115 mm。將裂紋擴展長度設(shè)為內(nèi)聚區(qū)長度Lcz，雙懸臂梁受方向相反、大小相等的拉力F作用。模型中的內(nèi)聚力單元受力變形如圖4 所示。由圖可見，當加載時間由0 s 增加至0.35 s 時，內(nèi)聚力單元隨著力的加載逐漸被拉伸變形；當加載時間達到0.5 s 時，內(nèi)聚力單元因受力達到極限并失效。

圖4 內(nèi)聚力單元拉伸變形Fig. 4 Tensile deformation of cohesive element

在保證初始裂紋長度Lpc=35 mm 不變，而改變無初始裂紋的雙懸臂梁長度L（115，100 和85 mm）的情況下，繪制了如圖5 所示雙懸臂梁破壞過程中內(nèi)聚區(qū)長度Lcz隨單個懸臂梁厚度h的變化曲線，并進一步繪制出如圖6 所示Lcz隨Ln(L/h)的變化曲線。

圖5 Lcz -h 曲線Fig. 5 Lcz-h curve

圖6 Lcz-Ln(L/h)曲線Fig. 6 Lcz-Ln((L/h) curve

由圖5 可見，整體內(nèi)聚力區(qū)長度Lcz會隨無初始裂紋雙懸臂梁長度L的增加而逐漸增加。在增加單個懸臂梁厚度h的情況下，Lcz相對于h增加的變化率逐漸減小。當h增加到一定數(shù)值后，Lcz基本不再發(fā)生變化，但對于低厚度條件下的Lcz變化影響較大。

由圖6 可見，長厚比L/h的增加對Lcz的影響也呈現(xiàn)很明顯的下降趨勢。當L/h>30（Ln(30)≈3.40）時，Lcz基本不再發(fā)生變化；當L/h減小時，Lcz受L/h變化的影響逐漸敏感；當L/h進一步減小，達到L/h<1.25（Ln（1.25）≈0.223）時，Lcz再次在某個穩(wěn)定值附近波動，本文將出現(xiàn)該現(xiàn)象的點稱為拐點。根據(jù)3 種不同長度L的無初始裂紋雙懸臂梁模型，拐點出現(xiàn)時，L/h的比值均在1.25 附近。由圖5 和圖6 可見，當L/h在1.25～30 的范圍內(nèi)取值時，Lcz受到L/h值變化的影響比較明顯；當L/h不在該范圍時，其對Lcz的影響比較小。

3 修正內(nèi)聚區(qū)長度計算公式

目前，CEM 法主要應(yīng)用于較薄，即L/h值偏大[16]的復合材料的力學特性研究中，其內(nèi)聚區(qū)長度公式的修正系數(shù)以常數(shù)項修正為主，未考慮長厚比L/h值由1.25 趨近1 時內(nèi)聚區(qū)長度不再隨厚度變化的現(xiàn)象。而在實際的模擬中，應(yīng)考慮存在內(nèi)聚區(qū)長度變化的拐點，即在L/h到達一定數(shù)值后，內(nèi)聚區(qū)長度變化不再明顯的現(xiàn)象。本文擬在前人研究的基礎(chǔ)上對系數(shù)c1的選取進行修正，將其與L/h值的變化聯(lián)系起來，以提高內(nèi)聚區(qū)長度公式的精確性。

根據(jù)不同長度L的無初始裂紋雙懸臂梁模型，本文選取L/h值大于1.25 的部分，并假設(shè)c1為關(guān)于L與h的函數(shù)，再根據(jù)式（8）對模擬中的Lcz–h散點進行多次數(shù)據(jù)擬合，以建立c1與L/h的關(guān)系式。通過對數(shù)據(jù)的擬合整理，可得：

代入式（8），可得到新的內(nèi)聚區(qū)長度計算公式為

上式中：x為當前L/h的取值；hmin為模擬的最小模型厚度。當hmin遠小于模型長度時，hmin對計算結(jié)果影響很小，對于冰材料目前尚未見相關(guān)計算，本文參照文獻[5] 和[16] 中對于復合材料的取值，選擇hmin=1.5 mm。對于冰的I 型裂紋的萌生和擴展， σ0取為冰的抗拉強度，其值的選取參考了冰的抗拉試驗[27]。此外，根據(jù)上節(jié)所述，拐點出現(xiàn)后內(nèi)聚區(qū)長度基本不變，故該公式僅適用于L/h大于1.25 的情況，對于L/h小于1.25 的情況，均取L/h=1.25 對應(yīng)的內(nèi)聚區(qū)長度。

下文將驗證系數(shù)c1對內(nèi)聚區(qū)計算結(jié)果修正的有效性。重新構(gòu)建一個高厚度的雙懸臂梁數(shù)值模型，如圖7 所示，其寬度B為20 mm，長度L分別為70 和210 mm，Lpc仍為35 mm，厚度2h不斷變化。在1～150 的L/h范圍內(nèi)適當選取一定的散點繪制相應(yīng)曲線，將模型計算結(jié)果與公式修正后的結(jié)果進行比較，如圖8 所示。

圖7 高厚度的雙懸臂梁模型Fig. 7 Model of high-thickness double cantilever beam

由圖8 可見，在2 種不同尺寸模型下，修正模型模擬結(jié)果與直接模擬結(jié)果在L/h的所有取值范圍內(nèi)都有較好一致性。由分析可知，除驗證公式的有效性外，拐點處（L/h=1.25，即圖8（a）中的虛線位置）的內(nèi)聚力區(qū)長度與雙臂梁模型整個長度也有一定的關(guān)系。隨著整個長度和內(nèi)聚區(qū)長度的增加，公式的計算結(jié)果與模擬結(jié)果間的誤差逐漸變小，這點在L/h取值較小的范圍內(nèi)尤其明顯。

圖8 模擬結(jié)果和修正內(nèi)聚區(qū)長度對比Fig. 8 Comparison of simulation results and modified cohesive zone length

4 修正公式在冰材料上的應(yīng)用

網(wǎng)格密度決定了計算量大小。在內(nèi)聚區(qū)長度Lcz中內(nèi)聚力單元的密度越大，裂紋形成和力的曲線越光滑，精確性越高，反之，力的曲線更容易出現(xiàn)鋸齒形波動。在單個內(nèi)聚區(qū)范圍內(nèi)設(shè)置合適的內(nèi)聚力單元個數(shù)可以很好地模擬裂紋形成和力的傳遞過程。基于上文Lcz計算方法，本節(jié)以內(nèi)聚力單元的I 型拉伸失效為研究對象，研究一個Lcz中應(yīng)布置的內(nèi)聚力單元個數(shù)，即Lcz=mSc（其中，Sc為內(nèi)聚力單元尺寸，m為單元數(shù)）。

本節(jié)狹長雙懸臂梁模型的主尺度（L×B×2h）為150 mm×20 mm×3.1 mm，如圖9 所示。冰參數(shù)如下：彈性模量5.72 GPa，剪切模量2.2 GPa，硬化模量4.26 GPa，體積模量5.26 GPa，上下牽引的運動速度為0.004 m/s。網(wǎng)格尺寸依次從2.0 mm 細化到0.5 mm，間隔0.05 mm。模擬在拉力帶動下狹長雙懸臂梁間的內(nèi)聚力單元的I 型拉伸失效過程，并測試不同網(wǎng)格密度下網(wǎng)格密度對失效拉力和位移曲線的影響，如圖10 所示。

圖9 狹長雙懸臂梁模型主尺度示意圖Fig. 9 Schematics of main dimensions of narrow double cantilever beam model

由圖10 可見，隨著網(wǎng)格的細化，內(nèi)聚力單元需傳遞的牽引力?時間曲線逐漸趨于光滑，整體波動趨于緩和，數(shù)值逐漸向中間靠攏。根據(jù)式（10）計算的內(nèi)聚區(qū)長度Lcz=2 mm，結(jié)合上述模型數(shù)據(jù)，實際模擬得到的內(nèi)聚區(qū)長度也在2 mm 附近。

根據(jù)圖10 所示不同網(wǎng)格密度下牽引力?時間曲線分布情況，當網(wǎng)格尺寸小于等于0.5 mm 時，曲線的波動基本上可以接受，且0.5 mm 的網(wǎng)格密度所需計算量也可以接受。綜上所述，內(nèi)聚力單元在Ⅰ型拉伸失效模式下一個內(nèi)聚區(qū)長度中至少存在4 個內(nèi)聚力單元才能較為精確地描述材料的斷裂過程，并可較好地保證載荷曲線的精確性和穩(wěn)定性。

圖10 不同網(wǎng)格密度下內(nèi)聚力單元牽引力?時間曲線Fig. 10 Traction-time curves of cohesive element with different grid densities

在理論上推斷了CEM 法網(wǎng)格長度與模型尺寸關(guān)系的精確性并進行數(shù)值驗證后，本節(jié)將采用CEM 法對冰的三點彎曲試驗進行數(shù)值模擬，以呈現(xiàn)冰由變形到破壞的過程。數(shù)值模型[28]主尺度（L×B×2h）為70 mm×70 mm×650 mm，支點間距離為600 mm，如圖11 所示。相關(guān)參數(shù)如表1 所示。數(shù)值模型按照實際的試驗?zāi)Ｐ徒?，冰參?shù)的取值根據(jù)試驗結(jié)果推導得出。

表1 試驗參數(shù)Table 1 Experimental parameters

圖11 冰試樣模型主尺度示意圖Fig. 11 Schematics of main dimensions of ice specimen

為保證良好的網(wǎng)格穩(wěn)定性和計算結(jié)果的精確性，根據(jù)式（10）計算所需內(nèi)聚區(qū)長度Lcz，按照裂縫發(fā)展方向，以及上文中對于內(nèi)聚區(qū)長度公式中厚度方向的定義，確定了三點彎曲試驗?zāi)Ｐ偷拈L厚比L/h約為0.215，這明顯小于拐點出現(xiàn)時的L/h值1.25，故取拐點處的Lcz值。經(jīng)計算，得到的拐點處Lcz=15.4 mm，并根據(jù)m=4，得到最大內(nèi)聚力單元網(wǎng)格尺寸為3.85 mm。

為保證網(wǎng)格劃分的取整性，計算中裂紋發(fā)展方向的內(nèi)聚力單元長度取值為3.5 mm，垂直于裂紋發(fā)展方向的內(nèi)聚力單元長度為4.5 mm，這樣可以節(jié)省一定的計算量。在上述網(wǎng)格密度條件下，計算步長為3.68×10?7s，計算時長約4 h。

按照上述試驗數(shù)據(jù)和冰參數(shù)構(gòu)建有限元模型，在可能斷裂的試樣中間部分添加內(nèi)聚力單元，添加方式如圖12 所示。圖中，紅色為冰單元，灰白色為內(nèi)聚力單元。冰力學模型僅提供變形和力的傳遞，冰的破壞和分離采用內(nèi)聚力單元代替，故不考慮冰單元的破壞，而受破壞的僅有內(nèi)聚力單元。冰力學模型為各向同性的線彈塑性模型，數(shù)值模擬過程如圖13 所示，試驗冰試樣斷裂形式如圖14 所示。

圖12 冰試樣截面間內(nèi)聚力單元Fig. 12 Cohesive element between ice sample sections

圖13 有限元模擬三點彎曲過程Fig. 13 Finite element simulations of three-point bending process

圖14 試驗冰試樣斷裂[28]Fig. 14 Fracture of experimental ice specimen[28]

本節(jié)數(shù)值模擬所用冰模型是均勻的，內(nèi)聚力單元牽引力法則選用的是雙線性型，且在冰力學模型建立過程中不考慮冰的原始缺陷，因此，圖13所示冰試樣斷裂面較光順，導致整體模擬過程中冰的破壞較為平滑。根據(jù)數(shù)值模擬中物體的撓度與壓力變化，繪制出如圖15 所示壓力?撓度曲線。

圖15 壓力?撓度曲線Fig. 15 Pressure-deflection curves

試驗中，冰試樣被破壞前的最大受力值為1 127.9 N，基于CEM 法模擬三點彎曲的極限載荷為1 161 N，斷裂點的誤差為2.9%，與試驗結(jié)果較為接近。從圖15 所示壓力?撓度曲線的不同階段來看，CEM 法模擬的曲線趨勢和試驗曲線基本一致。從最終斷裂撓度來看，CEM 法對應(yīng)的極限撓度值相較于試驗數(shù)據(jù)有一定的誤差，但較小。此外，由于該數(shù)值模擬選擇的冰力學模型為線性模型，且內(nèi)聚力單元建立過程中未考慮原始缺陷，使得模擬得到的曲線相較于試驗數(shù)據(jù)得到的曲線更光滑。從兩個曲線的對比可知，數(shù)值模擬過程中冰試樣的彎曲變形、破壞過程與試驗的基本一致，且峰值過后的載荷卸載過程很好地體現(xiàn)了冰的脆性和裂紋成型的連貫性。總之，本次模擬數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果很好地驗證了CEM 法及相關(guān)網(wǎng)格劃分方式在模擬冰的力學特性方面的有效性。

5 結(jié) 語

本文從J積分出發(fā)，基于部分假設(shè)并結(jié)合前人的相關(guān)研究結(jié)果，重現(xiàn)了內(nèi)聚區(qū)長度計算公式的推導過程，在原有的內(nèi)聚區(qū)長度公式基礎(chǔ)上，增加了關(guān)于L/h值的修正函數(shù)。通過建立新的高厚度雙懸臂梁數(shù)值模型檢驗了內(nèi)聚區(qū)長度公式的精確性，解決了該公式是否適用于冰力學模型的問題。通過構(gòu)建雙懸臂梁有限元模型進行數(shù)值模擬，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在一個內(nèi)聚區(qū)長度中至少存在4 個內(nèi)聚力單元才能夠較為精確地描述材料的斷裂過程。最后，將研究結(jié)果應(yīng)用于三點彎曲試驗?zāi)Ｐ偷哪M中，結(jié)果顯示斷裂點的極限載荷誤差為2.9%且在合理范圍內(nèi)，由此驗證了修正后的內(nèi)聚區(qū)長度公式在模擬冰的I 型裂紋萌生和擴展時的有效性。