邵志宇，伍思宇，曹苗苗，馮順山

(1.北京理工大學(xué) 機電學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081)

0 引言

隨著智能水中彈藥的發(fā)展，彈藥開始起到偵查、識別、封鎖等作用，抗沖擊能力變?nèi)酢６鴱椝幾饔玫挠行┧蛏疃容^淺，有些彈藥為了提高突防能力，入水速度較快。傳統(tǒng)的對稱型頭部的彈體高速入水時形成空泡，與水的接觸面較小，減速較慢，在淺水域容易撞擊水底。非對稱型頭部產(chǎn)生的彎曲彈道可以較好地滿足入水減速的要求。

對不同形狀的對稱頭部彈體入水的研究已經(jīng)比較深入，如Guo等研究了高速彈丸水平撞擊水面的過程以及彈丸頭部形狀對速度衰減和相關(guān)力系數(shù)的影響。Miraei等討論了高速彈丸入水的空化現(xiàn)象，建立了尾部撞擊空泡壁時彈丸在空泡內(nèi)運動的理論動力學(xué)模型。Wu等則通過試驗和數(shù)值模擬研究了對稱彈體入水過程以及相關(guān)的防護緩沖問題。魏卓慧等理論分析了剛性截錐形彈體入水速度、彈體頭部參數(shù)和沾濕因子對入水沖擊載荷的影響。自從von Karman在1929年提出剛體在入水過程中作用在剛體上沖擊力的數(shù)學(xué)解后，產(chǎn)生了對入水問題的大量研究，而對于頭部非對稱偏頭彈的相關(guān)研究較少。Shams等通過粒子圖像測速實驗得出了非對稱楔形結(jié)構(gòu)體入水的特性，并得出了水動力載荷的變化規(guī)律。王云等通過高速入水試驗研究了橢圓斜截頭彈體入水彈道的特性。華揚等也做了類似研究，其拍攝的彎曲彈道可為高速入水武器的研究提供參考。

目前，對于非對稱彈體的理論研究還比較少，其形成的彎曲彈道并沒有很好的理論模型來進行分析和預(yù)測。本文從理論出發(fā)，通過力學(xué)分析得出了斜截頭彈體在入水過程中姿態(tài)偏轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型；基于數(shù)值模擬提出了精準(zhǔn)描述斜截頭彈體入水彈道的經(jīng)驗公式；通過試驗對姿態(tài)偏轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)模型、數(shù)值模擬和入水彈道經(jīng)驗公式進行了驗證。

1 斜截頭彈體垂直入水力學(xué)分析

圖1為斜截頭彈體的剖面圖。圖1中，為彈體直徑，為彈體長度，為斜截長度，頭部斜度定義為=。入水初始階段的受力情況如圖2所示。圖2中，為水動力，和為的分力，為阻力，為旋轉(zhuǎn)力，為旋轉(zhuǎn)力矩，為和的夾角。

圖1 斜截頭彈體剖面圖Fig.1 Profile of truncated cone-shaped projectile

圖2 彈體入水初始階段示意圖Fig.2 Schematic diagram of projectile in initial stage of water entry

由于所受到的力不通過質(zhì)心，其分力會產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)力矩。由于高速入水會產(chǎn)生空泡，此時彈體與水的接觸面積很小，受力也很小，彈體只受到頭部水動力的影響。水動力可由牛頓第二定律計算

(1)

式中：為液體密度；為沾濕橫截面面積；為力系數(shù)；為侵水瞬時速度，是時間的函數(shù)。降低了彈體的水平速度，而則提供了旋轉(zhuǎn)力矩，使彈體旋轉(zhuǎn)，從而失去穩(wěn)定性。的計算公式為

()=()cos()

(2)

當(dāng)彈體旋轉(zhuǎn)時，垂直于彈體軸線的分量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)力矩，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)加速。角加速度與合扭矩之間的關(guān)系為

(3)

式中：為角速度；為角加速度；為轉(zhuǎn)動慣量。

由于本文所研究的彈體長徑比較大，非對稱頭部造成的質(zhì)量損失相比于整個彈體質(zhì)量非常小，彈體可以視為圓柱體。因此，質(zhì)心位于幾何圖形的中心，彈體的姿態(tài)偏差可以看作是圍繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)。在(3)式中，合力扭矩可以寫成：

(4)

圖3為轉(zhuǎn)動慣量計算示意圖，將彈體視為繞軸旋轉(zhuǎn)的剛體。圖3中，為彈體尾部擊水力。

圖3 彈體尾部碰撞空泡壁示意圖Fig.3 Schematic diagram of projectile tail impacting on cavity wall

因此，需要確定彈體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為

(5)

將(4)式和(5)式代入(3)式，可得角加速度隨時間的函數(shù)為

(6)

(7)

角速度表達式為

(8)

以上計算分析了彈體的姿態(tài)偏轉(zhuǎn)，在彈體姿態(tài)發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，彈體失穩(wěn)，尾部撞擊空泡壁，導(dǎo)致產(chǎn)生尾流，如圖3所示。隨后彈體受到尾部擊水力的作用，對彈體產(chǎn)生反向扭矩，減慢彈體角速度和水平速度，將引入(4)式中，可得

(9)

將(9)式代入(8)式，得

(10)

同時使彈體向垂直方向移動，進而發(fā)生彈道偏轉(zhuǎn)。

根據(jù)(7)式、(8)式和(10)式可知，偏轉(zhuǎn)角速度與阻力系數(shù)和頭部斜度角有關(guān)，而阻力系數(shù)和方向角是由頭部形狀、侵徹速度、彈體密度和長徑比決定的。從(7)式中可以總結(jié)出：侵徹速度越大，彈體偏轉(zhuǎn)越快；密度、長徑比越大，彈體偏轉(zhuǎn)越慢。

2 數(shù)值模擬

用AUTODYN顯式有限元軟件進行數(shù)值模擬。采用二維數(shù)值模型進行入水計算，使用光滑粒子流體動力學(xué)(SPH)算法對入水過程進行模擬，SPH水域加上限制運動邊界，模擬水箱以便于通過試驗進行校核。采用拉格朗日網(wǎng)格法模擬彈體，重點研究彈體頭部形狀對彈道和姿態(tài)的影響，因此彈體被設(shè)置為剛體，模型如圖4所示。彈體質(zhì)量為65～1 000 g，長徑比為8～20，入水速度為50～150 m/s，并且在模擬中考慮了8種頭部斜度(=02,03,04,05,08,10,14,20)。在控制變量的基礎(chǔ)上研究以上4種參數(shù)對彈體偏轉(zhuǎn)的影響。由于控制變量時進行模擬的組別過多，表1僅列出了數(shù)值模擬的初始條件范圍。忽略空氣阻力和重力，將數(shù)據(jù)庫中的材料參數(shù)用于彈體和水。

表1 數(shù)值模擬初始諸元Tab.1 Initial conditions of numerical simulation

圖4 數(shù)值模擬模型(綠色為水，黃色為限制邊界，藍色為彈體)Fig.4 Numerical model (green is water,yellow is restricted boundary,blue is projectile)

表2為質(zhì)量為65 g、長徑比為8(直徑20 mm，長度160 mm)、頭部斜度=02的彈體以50 m/s入水的模型圖和入水過程。由表2可見：入水初期彈體發(fā)生偏轉(zhuǎn)，出現(xiàn)空泡；隨著侵徹深度的增加，偏轉(zhuǎn)角增大，彈體尾部撞擊空泡壁，尾部的拍擊使彈體發(fā)生垂直移動。

表2 數(shù)值模擬彈體入水過程(50 m/s)Tab.2 Simulated water entry process for ψ=0.2 at 50 m/s

通過控制變量法進行多組模擬發(fā)現(xiàn)，彈體入水偏轉(zhuǎn)符合(7)式～(10)式，滿足“侵徹速度越大，偏轉(zhuǎn)越快；密度、長徑比越大，偏轉(zhuǎn)越慢”的結(jié)論，在后文的試驗研究中將對該結(jié)論進行進一步論證。但是頭部斜度對姿態(tài)偏轉(zhuǎn)的影響卻是有一定限度的。圖5為不同斜度頭部的彈體入水姿態(tài)偏轉(zhuǎn)結(jié)果，彈體質(zhì)量均為65 g，長徑比為8(直徑20 mm，長度160 mm)，入水速度為50 m/s。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)02<<05時，姿態(tài)偏轉(zhuǎn)速度隨著頭部斜度增大而增大，與(10)式相符，偏轉(zhuǎn)90°所需要的時間明顯減??；當(dāng)>05時，偏轉(zhuǎn)90°所需要的時間差別不大，即頭部斜度在一定范圍內(nèi)對彈道有影響，當(dāng)達到某一值后，對彈道的影響就變得很小。

圖5 不同頭部斜度彈體的姿態(tài)偏轉(zhuǎn)Fig.5 Attitude angle deviation of projetiles with different inclination nose shape

為探討入水速度對彈道的影響，對比分析相同彈體(質(zhì)量為65 g，頭部斜度為1，長徑比為8)在不同入水速度下的質(zhì)心彈道，并做了更高速度入水的數(shù)值模擬(低于音速)，彈道對比如圖6所示。由于在真實情況下豎直入水研究更有意義，本文的研究均忽略了重力，得出的彈道圖均等效為豎直入水的情況。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，不同速度入水的彈體其彈道基本相同，只是通過彈道的時間有所不同，入水速度雖然會影響彈體彈道偏轉(zhuǎn)和姿態(tài)偏轉(zhuǎn)的快慢，但對于彈道沒有影響。本質(zhì)上彈體的受力是由瞬時速度和阻力系數(shù)決定的，而阻力系數(shù)與彈體的沾濕面積和表面形狀有關(guān)。雖然不同速度入水的彈體受力大小不同，但是水平和豎直方向上所產(chǎn)生的位移比是定值。由于不同入水速度的相同彈體彈道重合，可以推斷不同入水速度下的彈體所經(jīng)歷的受力過程相同，只不過快慢不同，彈道由彈體的頭部形狀、長徑比、質(zhì)量決定。

圖6 不同入水速度下的偏轉(zhuǎn)彈道Fig.6 Deflecting trajectories at different muzzle velocities

3 質(zhì)心彈道經(jīng)驗公式

斜截頭彈體入水的各項參數(shù)有頭部斜度、入水速度、長徑比和質(zhì)量，對于姿態(tài)偏轉(zhuǎn)，它們的變化規(guī)律滿足(8)式和(9)式。下面基于數(shù)值模擬提出斜截頭彈豎直入水的質(zhì)心軌跡方程。由于斜截頭彈體入水彈道為彎曲彈道，對這種彈道進行預(yù)測具有重要工程意義。頭部斜度>05和入水速度(低于聲速)對質(zhì)心彈道影響非常小，對彈道影響最大的因素是彈體質(zhì)量和長徑比。斜截頭彈體質(zhì)心軌跡具有良好的冪函數(shù)關(guān)系，考慮到實際情況中是豎直入水，據(jù)此建立一個新的方程來描述：1)豎直入水彈道；2)彈體質(zhì)量；3)頭部斜度(>05)的彈長徑比之間的關(guān)系。方程的形式為

=(,，)

(11)

式中：為豎直深度；為水平位移。(11)式為一個三元函數(shù)關(guān)系式，要擬合三元函數(shù)關(guān)系式，就需要大量數(shù)據(jù)，因此按照SPH仿真方法，改變彈體參數(shù)和入水條件進行大量模擬，參數(shù)如表3所示。分別選用5種長徑比，每種長徑比設(shè)置5種質(zhì)量，彈體頭部斜度均為1，入水速度為100 m/s。

表3 豎直入水質(zhì)心軌跡模擬初始條件(ψ=1,v=100 m/s)Tab.3 Initial conditions of vertical water-entry simulation (ψ=1,v=100 m/s)

圖7為不同質(zhì)量彈體在不同長徑比下的質(zhì)心軌跡，根據(jù)圖7中的曲線，質(zhì)心軌跡滿足冪函數(shù)，

=

(12)

式中：參數(shù)、與質(zhì)量和長徑比有關(guān)。參數(shù)和根據(jù)圖7的擬合值如表4所示，擬合優(yōu)度值接近1，表示擬合準(zhǔn)確度越高。

圖7 不同狀態(tài)下斜截彈體入水質(zhì)心軌跡數(shù)值模擬結(jié)果Fig.7 Center of mass trajectory of projectile under different length-to-diameter ratios

表4 不同條件下參數(shù)a、b的擬合值及曲線擬合的優(yōu)度Tab.4 Best fitted values of a and b

圖8為參數(shù)與彈體質(zhì)量的關(guān)系，可以看出長徑比一定時與質(zhì)量呈線性關(guān)系，因此可以表示為

圖8 不同長徑比條件下參數(shù)a與彈體質(zhì)量的關(guān)系Fig.8 Relationship between parameter a and mass of projectile under different length-to-diameter ratios

=+

(13)

式中：和為的參數(shù)。

圖9為與彈體質(zhì)量的關(guān)系，可以看出長徑比一定時，隨質(zhì)量的變化量非常小，可以視為一個常數(shù)，因此可以表示為

圖9 不同長徑比條件下參數(shù)b與彈體的關(guān)系Fig.9 Relationship between parameter b and mass of projectile under different length-to-diameter ratios

=

(14)

式中：為的參數(shù)，在質(zhì)量一定時為常數(shù)。

將和代入(13)式，質(zhì)心軌跡方程可以寫為

=(+)

(15)

參數(shù)、、在不同長徑比下的數(shù)值如表5所示。表5給出了線性擬合公式(13)式的擬合優(yōu)度和常數(shù)擬合公式(14)式的方差。

表5 參數(shù)k、t、c擬合值Tab.5 Best fitted values of k，t，and c for different length-to-diameter ratios

圖10表示長徑比與參數(shù)、、之間的擬合關(guān)系。從圖10中可以看出，為常數(shù)值，、與符合冪函數(shù)關(guān)系，因此這3個參數(shù)關(guān)于長徑比的表達式為

圖10 長徑比δ與參數(shù)k，t，c的關(guān)系Fig.10 Relationship between δ and k，t，and c

=

(16)

(17)

(18)

式中：～為擬合參數(shù)，具體數(shù)值由表6給出。

表6 (20)式中的擬合參數(shù)值Tab.6 Best fitted values of the constants in Eq.(20)

因此，質(zhì)心彈道方程可以寫為

(19)

4 試驗研究

4.1 試驗方案

圖11為試驗裝置的原理圖。圖11中，水箱為08 m×08 m×10 m的聚碳酸酯復(fù)合材料制成的開放、透明、抗沖擊立方體；前后有2個孔，用兩塊02 mm厚的丙烯酸隔膜密封，確保不會影響入水過程。利用高速攝影機記錄流體、彈體和彈道偏轉(zhuǎn)的初始速度和運動過程。獲得圖像后通過軟件測量彈體速度、位移、偏轉(zhuǎn)角等參數(shù)。試驗用縮比彈從一個標(biāo)準(zhǔn)火炮裝置發(fā)射，瞄準(zhǔn)水箱的隔膜。為確保彈體偏轉(zhuǎn)被高速攝影機記錄，入水的角度被設(shè)置為盡可能垂直于水面，并防止彈體旋轉(zhuǎn)。另外，在發(fā)射管內(nèi)填充尼龍彈托，以減少發(fā)射氣體對彈體的沖擊，保證斜頭彈體的入水姿態(tài)。此外，采用低燃速推進劑來降低發(fā)射氣體對彈體姿態(tài)的影響。通過調(diào)整裝藥中推進劑的質(zhì)量來調(diào)整彈體的加速度和初速度。針對彈體入水偏轉(zhuǎn)的研究中采用直徑為20 mm的試件，它們通過前孔水平射入水箱，每做完一次試驗都重新裝水，并用新的隔膜密封水箱。

圖11 試驗裝置原理圖Fig.11 Schematic diagram of experimental system

試件截面形狀與圖1相同，表7為10種不同試驗彈體的初始狀態(tài)，包括質(zhì)量、長徑比、頭部斜度和入水速度，為了對(9)式進行驗證，用控制變量法：

表7 入水偏轉(zhuǎn)試驗諸元Tab.7 Initial conditions of underwater trajectory deflection experiment

1) 樣本3、5、8選用3種不同密度的金屬材料，以保證它們除了質(zhì)量以外，其他初始條件一樣，以對比分析質(zhì)量對彈體偏轉(zhuǎn)的影響；

2) 樣本6、7、8除長徑比不同，其他初始條件相同，以對比分析長徑比對彈體偏轉(zhuǎn)的影響；

3) 樣本1、2、3除了頭部斜度不同以外，其余條件相同，以對比分析頭部斜度對彈體偏轉(zhuǎn)的影響；

4) 樣本4、8、9除了入水速度不同，其余條件相同，以對比分析撞水速度對彈體偏轉(zhuǎn)的影響。

5) 樣本10為平頭彈體，作為對照組。

4.2 試驗結(jié)果分析

表8為平頭彈和斜截頭彈入水過程的高速攝影圖片。由表8可以看到：平頭彈體由于其對稱性，能較長時間在水中保持穩(wěn)定，形成空泡，因此沾濕面非常小，不利于減速，最終以較高速度從水箱另一側(cè)隔膜穿出；斜截頭部彈體入水后迅速失穩(wěn)，發(fā)生姿態(tài)偏轉(zhuǎn)，隨后尾部撞擊空泡壁，沾濕面瞬間增大，有利于彈在水中的迅速減速。兩種彈體入水初始姿態(tài)均為垂直于水面，如圖12所示，定義彈體偏轉(zhuǎn)后彈軸與豎直方向夾角為彈體的偏轉(zhuǎn)角。

表8 平頭彈與斜截頭彈入水過程對比Tab.8 Comparison of water-entry process between projectiles with flat nose and oblique nose

圖12 偏轉(zhuǎn)角α示意圖Fig.12 Deflection angle α

圖13為試驗中通過高速攝影機測出的不同條件下彈體姿態(tài)隨時間的偏轉(zhuǎn)曲線。由圖13可見：頭部斜度為02與05對彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)影響很大，為05與10時對彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)影響不大，符合數(shù)值模擬結(jié)果；入水速度越大，姿態(tài)偏轉(zhuǎn)越快；彈體的長徑比與質(zhì)量越大；偏轉(zhuǎn)越困難。綜上所述，通過試驗得出的結(jié)論與理論分析和數(shù)值模擬的結(jié)論吻合。

圖13 不同條件下彈體姿態(tài)隨時間的偏轉(zhuǎn)曲線Fig.13 Attitude deflection history under different conditions

5 對比驗證

5.1 數(shù)值模擬有效性驗證

=02時試驗與數(shù)值模擬入水偏轉(zhuǎn)過程對比如表9所示。由表9可見：彈體入水的姿態(tài)變化與試驗一致性較好；入水初期發(fā)生偏轉(zhuǎn)，出現(xiàn)空化效應(yīng)；隨著侵徹深度的增加，偏轉(zhuǎn)角增大，彈體尾部撞擊空泡壁；尾部的拍擊使彈體垂直移動。圖14表示彈體入水過程中時間與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系。由圖14可見，模擬結(jié)果與試驗結(jié)果一致性較好，誤差在可接受范圍內(nèi)，證明了仿真方法的有效性，能夠有效地反映彈道偏轉(zhuǎn)過程的細(xì)節(jié)。

表9 試驗與數(shù)值模擬入水偏轉(zhuǎn)過程對比Tab.9 Comparison between experimental and numerical water entry processes

圖14 約50 m/s入水速度下偏轉(zhuǎn)角的變化曲線Fig.14 Attitude deflection histories of projectiles with different nose shapes at about 50 m/s

5.2 彈道經(jīng)驗公式有效性驗證

通過擬合數(shù)值模擬得出頭部斜度>05的彈體入水的質(zhì)心軌跡方程，試驗部分中1號樣本為>05的彈體。提取1號樣本的質(zhì)心軌跡，提取方法如圖15所示。將=8、=622 g代入(19)式，計算出質(zhì)心軌跡方程。由于忽略了重力，水平入水的彈道與豎直入水的彈道是相同的。將兩種方法得到的質(zhì)心軌跡方程進行對比，結(jié)果如圖16所示，可見二者的一致性較好，誤差在可接受范圍內(nèi)，證明彈體質(zhì)心軌跡經(jīng)驗公式是有效的。

圖15 描邊法提取彈體位置與姿態(tài)Fig.15 Projectile position and attitute extraxted by boundary representation

圖16 試驗彈道與計算彈道對比Fig.16 Comparison of experimental and calculated trajectories

6 結(jié)論

1) 針對斜截頭彈體，結(jié)合數(shù)值仿真和試驗結(jié)果可知，當(dāng)頭部斜度<05時，彈道的偏轉(zhuǎn)會隨著的增大而增大；當(dāng)>05時，其對軌跡的影響較小。

2) 提高撞擊速度可引起水動力偏轉(zhuǎn)力矩增大，進而提高了角加速度，因此姿態(tài)偏轉(zhuǎn)會更快。

3) 質(zhì)量和長徑比越大，轉(zhuǎn)動慣量越大，偏轉(zhuǎn)角加速度越低，因此彈道的彎曲程度與質(zhì)量和長徑比呈反比。

4) 數(shù)值模擬得到的入水過程和偏轉(zhuǎn)角度與試驗結(jié)果吻合較好。