丁力，谷加輝，周金宇，康紹鵬，陳逸飛，李子依

(1.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213001；2.金陵科技學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京 211169)

0 引言

機(jī)器替人是未來(lái)制造業(yè)的發(fā)展趨勢(shì)，是實(shí)現(xiàn)工業(yè)智能化、數(shù)字化和自動(dòng)化的保障。其中，工業(yè)機(jī)器人是智能制造的重要基石，它能顯著提高生產(chǎn)效率、降低勞動(dòng)成本[1]。實(shí)際生產(chǎn)中，機(jī)器人的制造、裝配、疲勞磨損等因素會(huì)給本體帶來(lái)幾何誤差[2]，從而導(dǎo)致末端執(zhí)行器的實(shí)際軌跡與預(yù)定軌跡存在誤差。另外，關(guān)節(jié)摩擦間隙、測(cè)量噪聲及惡劣的服役工況也會(huì)進(jìn)一步放大上述軌跡跟蹤誤差，從而降低機(jī)器人作業(yè)精度。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠性能夠定量評(píng)估末端執(zhí)行器實(shí)際位姿滿足定位精度要求的程度，為評(píng)價(jià)機(jī)器人質(zhì)量和修復(fù)機(jī)器人性能提供理論依據(jù)。

不確定性的描述方法主要包括概率法、區(qū)間數(shù)理論及模糊理論[3-4]。王偉等[5]考慮了尺寸誤差和間隙誤差對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，基于4階矩估計(jì)法得到了PUMA560機(jī)器人的位置可靠性，結(jié)果表明該算法比一次2階矩估計(jì)法快了3～4倍，但結(jié)果精度易受樣本數(shù)量的影響。潘敬鋒等[6]綜合了鏈傳動(dòng)、桿長(zhǎng)和關(guān)節(jié)角3種誤差因素，分別采用大數(shù)據(jù)法和試驗(yàn)法統(tǒng)計(jì)了隨機(jī)變量分布特征，對(duì)噴涂機(jī)器人4種不同軌跡進(jìn)行了可靠性分析，發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)與仿真聯(lián)合分析法具有更高的分析精度，缺點(diǎn)是只考慮失效概率密度最大點(diǎn)的誤差，忽略了軌跡其他點(diǎn)造成的影響。文瑞橋等[7]將連桿長(zhǎng)度、連桿轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角作為變量，利用包絡(luò)法計(jì)算出了末端軌跡在3個(gè)位置上的時(shí)變可靠性，但沒(méi)有分析不同誤差精度對(duì)可靠性的影響。Wu等[8]采用稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分法和鞍點(diǎn)逼近法，評(píng)估了工業(yè)機(jī)器人單坐標(biāo)、單點(diǎn)、多點(diǎn)和軌跡精度的可靠性，通過(guò)4個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法在精度和效率上的綜合優(yōu)勢(shì)，不足之處在于該方法只適用于一些特殊的誤差模型。張春宜等[9]等以柔性機(jī)器人為例，提出了基于智能算法的先進(jìn)極值響應(yīng)面法，研究了機(jī)器人動(dòng)態(tài)可靠性，克服了極值響應(yīng)面法求解可靠性效率慢的缺點(diǎn)，同時(shí)還保證了該算法在精度上與蒙特卡洛模擬(MCS)法相一致。

本文針對(duì)上述問(wèn)題，采用包絡(luò)法來(lái)分析機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)可靠性，并給出了評(píng)價(jià)綜合位姿運(yùn)動(dòng)可靠度的指標(biāo)。以7軸冗余機(jī)器人為例，分析連桿長(zhǎng)度、連桿偏距和關(guān)節(jié)角對(duì)機(jī)器人末端軌跡的影響，采用1階泰勒公式對(duì)誤差函數(shù)近似處理，基于概率法獲得末端失效模型，然后采用包絡(luò)法將時(shí)變運(yùn)動(dòng)可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)換成時(shí)不變運(yùn)動(dòng)可靠性問(wèn)題，通過(guò)多維正態(tài)積分計(jì)算出可靠性評(píng)價(jià)數(shù)值。通過(guò)仿真算例，驗(yàn)證了包絡(luò)法計(jì)算機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠性的可行性。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

本文研究的7軸冗余機(jī)器人虛擬樣機(jī)如圖1所示。圖1中，X0、Z0為基坐標(biāo)系，Xi、Zi(i=1～7)為第i關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系，X8、Z8為末端坐標(biāo)系(機(jī)械手長(zhǎng)度100 mm)，dj(j=2～7)為Xi-1移動(dòng)到Xi的距離，a3為Z3移動(dòng)到Z4的距離，a4為Z4移動(dòng)到Z5的距離。

圖1 7軸冗余機(jī)器人三維模型圖Fig.1 Schematic diagram of 7-DOF redundant robot

采用改進(jìn)的D-H參數(shù)法[10]獲得機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 7軸冗余機(jī)器人的改進(jìn)D-H參數(shù)Tab.1 Improved D-H parameters of 7-DOF redundant robot

表1中：θmax和θmin分別為關(guān)節(jié)角轉(zhuǎn)動(dòng)上限和下限，關(guān)節(jié)8為虛擬軸，實(shí)際上并不轉(zhuǎn)動(dòng)(θ8=0°)，其作用是更加快捷地得到機(jī)械手的位姿，從而便于實(shí)際操作。

相鄰關(guān)節(jié)i-1到i的位姿變化可由齊次變換矩陣描述，即

(1)

根據(jù)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)[11]可得機(jī)器人末端位姿矩陣為

(2)

式中：R為姿態(tài)矩陣；P為位置向量；x、y、z為機(jī)器人末端位置；rm1、rm2、rm3(m=1，2，3)分別為X8、Y8、Z8在基坐標(biāo)系中的投影(Y8可根據(jù)右手準(zhǔn)則建立)，代表機(jī)器人的姿態(tài)。

(3)

2 誤差函數(shù)以及運(yùn)動(dòng)可靠性模型

2.1 誤差函數(shù)

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠性可定義為其末端執(zhí)行器在指定區(qū)間內(nèi)實(shí)際輸出的軌跡落在許用誤差范圍內(nèi)的概率[12]。如圖2所示：若機(jī)器人末端執(zhí)行器軌跡(如青色曲線)控制在許用誤差邊界內(nèi)則有效；若有超出誤差帶的情況(如紅色曲線)則失效。

圖2 機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.2 Kinematic trajectory of robot end-effector

一般而言，幾何誤差是影響末端精度的主要因素，故本文借鑒文獻(xiàn)[13-14]的研究成果，假設(shè)連桿長(zhǎng)度、連桿偏距和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角存在幾何誤差，并且都服從正態(tài)分布，變量之間也相互獨(dú)立，則末端執(zhí)行器位姿誤差描述為

gj(X,θ)=ψj(X,θ)-ψj(θ)

(4)

由于隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的量級(jí)遠(yuǎn)小于各變量均值的量級(jí)，故誤差函數(shù)可以通過(guò)1階泰勒式[15]在X的均值μ處展開(kāi)

gj(X,θ)≈aj0(θ)+aj(θ)·(μ-X)

(5)

將服從正態(tài)分布的X轉(zhuǎn)化為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的U，即

(6)

則(5)式可改寫為

gj(U,θ)≈Lj(U,θ)=bj0(θ)+bj(θ)·U

(7)

式中：bj0(θ)=aj0(θ)；bj(θ)=(aji(θ)σi)n×1，aji為aj的第i個(gè)元素，σi為Xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 運(yùn)動(dòng)可靠性模型

工程實(shí)際中，機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量是與時(shí)間相關(guān)的，故可以將(4)式中的末端執(zhí)行器位姿誤差轉(zhuǎn)換成與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)。以末端執(zhí)行器的x位置為例來(lái)闡述運(yùn)動(dòng)可靠性模型的推導(dǎo)過(guò)程。當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t∈[to,te]時(shí)，設(shè)置運(yùn)動(dòng)的起始和終止時(shí)間分別為to和te，并指定運(yùn)動(dòng)公差為ε。當(dāng)t∈[to,te]時(shí)，可定義x位置的運(yùn)動(dòng)可靠性模型為

Rx(to,te)=Pr{|g1(X,t)|≤ε,?t∈[to,te]}

(8)

則其對(duì)應(yīng)的失效概率模型可表示成

Pfa(to,te)=1-R1(to,te)=
Pr{|g1(X,t)|>ε,?t∈[to,te]}

(9)

同理，可得機(jī)器人末端執(zhí)行器的綜合位姿可靠性模型為

(10)

機(jī)器人末端執(zhí)行器的綜合位姿失效概率模型為

(11)

3 包絡(luò)法

3.1 包絡(luò)方程

(12)

當(dāng)Δt→0時(shí)，有

(13)

(14)

從(14)式第2個(gè)等式中，可得

(15)

將(15)式代入(14)式的第1個(gè)等式，可得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

圖3 Lj(U,t)=ε在的展開(kāi)點(diǎn)Fig.3 Expanded points of Lj(U,t)=ε at

U可以改寫成

(21)

式中：c為1個(gè)常數(shù)。將其代入(20)式的第1個(gè)等式，得

(22)

從而解得c為

(23)

(20)式的第2個(gè)等式變成

(24)

(25)

同理，G-(U)=0的表達(dá)式為

(26)

展開(kāi)點(diǎn)為

(27)

(28)

為了使得可靠性模型更加精確，還要考慮to和te兩個(gè)端點(diǎn)，則最終的運(yùn)動(dòng)可靠性模型為

(29)

(30)

3.2 可靠性評(píng)估

根據(jù)L(U,t)服從正態(tài)分布的特性，可靠性數(shù)值可以通過(guò)計(jì)算展開(kāi)點(diǎn)的均值μL和協(xié)方差矩陣Σ得到：

R(to,te)=Φ(ε,μL,Σ)

(31)

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；μL的計(jì)算公式為

μL=(s(tu)μL(tu))1×v=(s(tu)bjo(tu))1×v

(32)

協(xié)方差矩陣Σ的第c行第d列元素為

σcd=s(tc)s(td)b(tc)b(td)

(33)

需要說(shuō)明的是，協(xié)方差矩陣Σ必須是正定的，并且行列式不能太龐大，否則不利于直接積分。當(dāng)協(xié)方差矩陣Σ不滿足上述條件時(shí)，可通過(guò)排除失效概率較小的冗余點(diǎn)使矩陣達(dá)到滿秩狀態(tài)[17]。失效概率的計(jì)算公式為

(34)

(35)

新的協(xié)方差矩陣Σ′的第c行第d列元素為

σ′cd=s(t′c)s(t′d)b(t′c)b(t′d)

(36)

最后，機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)可靠性計(jì)算公式為

(37)

4 仿真算例分析

4.1 仿真條件

以7軸冗余機(jī)器人為例，模擬汽車天窗的裝配任務(wù)，假設(shè)機(jī)器人起始位姿分別為Po=[525 mm，172 mm，-34 mm]T和Ao=[-121°,-31°,-21°]T，終止位姿分別為Pe=[611 mm，-93 mm，143 mm]T和Ae=[-174°，-69°，-16°]T，采用雅克比偽逆法[18]計(jì)算出起始和終止關(guān)節(jié)角分別為θo=[-150，229°，7°，134°，-121°，109°，37°]和θe=[-174°，195°，-11°，124°，-97°，84°，-2°]。進(jìn)而利用5次多項(xiàng)式規(guī)劃出2 s內(nèi)的機(jī)器人關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)軌跡，并通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)獲得機(jī)器人末端執(zhí)行器從起始點(diǎn)到終止點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4所示。

圖4 機(jī)器人目標(biāo)軌跡Fig.4 Robot target trajectory

為計(jì)算該軌跡的運(yùn)動(dòng)可靠性，需要結(jié)合冗余機(jī)器人3種變量的均值及其標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。

表2 誤差變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Tab.2 Mean and standard deviation of error variables

以MCS法的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，引入等效極值法[19]與包絡(luò)法比較，測(cè)試兩種算法獲得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠度的能力。仿真中，設(shè)定誤差半徑為1.4 mm，通過(guò)MCS法模擬2×105條末端執(zhí)行器隨機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡，并在圖5中給出第2 s時(shí)刻的末端執(zhí)行器位置誤差圖。從圖5中可以看出，只有216個(gè)三維末端隨機(jī)點(diǎn)落在了誤差球外，表明所選取的誤差半徑較為合理。這里需要指出的是，通過(guò)這種方法可以獲得合適的誤差半徑來(lái)確定仿真的初始條件。

圖5 隨機(jī)的末端點(diǎn)Fig.5 Random end points

4.2 運(yùn)動(dòng)可靠性驗(yàn)證

圖6為3種算法獲得的機(jī)器人末端執(zhí)行器位置可靠度。從圖6中可以看出，包絡(luò)法與MCS法的求解結(jié)果基本吻合，而等效極值法相對(duì)其他兩種方法精度略低，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因是等效極值法只考慮了失效概率密度最大的點(diǎn)，忽略了軌跡其他點(diǎn)的失效情況。

圖6 末端執(zhí)行器位置可靠度Fig.6 Reliability of robot position

表3統(tǒng)計(jì)了3種算法在參考精度分別為0.2 mm、0.4 mm和0.6 mm時(shí)獲得的機(jī)器人末端執(zhí)行器位置可靠度。從表3中可以看出，隨著參考精度的增大，3種算法獲得的失效率降低，但包絡(luò)法獲得的失效率明顯比等效極值法更接近MCS法的結(jié)果；當(dāng)機(jī)器人末端位置方向上的參考精度為0.6 mm時(shí)，包絡(luò)法較于MCS法的相對(duì)誤差分別為1.2%、1.8%、0.4%，而等效極值法較于MCS法的相對(duì)誤差分別24.0%、26.7%、29.4%。以上結(jié)果表明包絡(luò)法在計(jì)算位置可靠度方面具有較高的準(zhǔn)確性。

表3 位置可靠度Tab.3 Reliability of position

圖7給出了包絡(luò)法獲得的機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)失效率與對(duì)應(yīng)MCS法獲得失效率的差值。從圖7中可以看出，包絡(luò)法與MCS法的差值整體上隨著位置參考精度的增加而變小，其中80%左右的數(shù)據(jù)都集中在±4×10-3區(qū)域，表明包絡(luò)法的魯棒性較好。

圖7 包絡(luò)法相對(duì)于MCS法的位置可靠度誤差Fig.7 Position reliability error of envelop method

利用3種算法評(píng)估機(jī)器人末端執(zhí)行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可靠度，仿真結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出，包絡(luò)法獲得的失效率曲線與MCS法基本一致，在參考精度為0°～0.06°范圍內(nèi)，包絡(luò)法的求解精度要明顯優(yōu)于等效極值法。這可能是因?yàn)榈刃O值法在處理姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可靠性時(shí)沒(méi)有考慮點(diǎn)與點(diǎn)之間的相關(guān)性，從而導(dǎo)致了全局求解精度的下降。

圖8 機(jī)器人姿態(tài)角可靠度Fig.8 Reliability of robot attitude

表4給出了3種算法在參考精度分別為0.02°、0.04°和0.06°時(shí)的姿態(tài)角失效率。數(shù)據(jù)顯示各算法的失效率均隨著參考精度的增長(zhǎng)而降低，當(dāng)參考精度為0.02°時(shí)，以MCS法的計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，包絡(luò)法獲得姿態(tài)角失效率的相對(duì)誤差比等效極值法分別低了3.9%、29.6%和10.1%。進(jìn)一步說(shuō)明相對(duì)于等效極值法，包絡(luò)法具有較好的求解精度。

表4 姿態(tài)可靠度Tab.4 Reliability of attitude

圖9為包絡(luò)法與MCS法在參考精度為0.00°～0.14°范圍內(nèi)時(shí)獲得的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)失效率差值。圖9中曲線表明，當(dāng)參考精度為0.05°～0.12°時(shí)，包絡(luò)法與MCS法的最大差值可達(dá)-4.5×10-2，但其余部分的差值都集中在-2×10-2～0內(nèi)，表明了包絡(luò)法具有較好的魯棒性。

圖9 包絡(luò)法相對(duì)于MCS的姿態(tài)可靠度誤差Fig.9 Attitude reliability error envelop method

另外，在評(píng)估機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)可靠性時(shí)，MCS法所需計(jì)算時(shí)間為4 657 s，包絡(luò)法所需計(jì)算時(shí)間為1 543 s，等效極值法所需計(jì)算時(shí)間為1 526 s。由此可以看出，包絡(luò)法的計(jì)算效率雖不及等效極值法，但也與它接近，故在綜合考慮計(jì)算效率和求解精度的前提下，使用包絡(luò)法來(lái)評(píng)估機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠性是較為合適的。

最后，用上述包絡(luò)法求得關(guān)于時(shí)間的末端軌跡展開(kāi)點(diǎn)來(lái)計(jì)算綜合位姿可靠度。需要指出的是，姿態(tài)誤差對(duì)綜合位姿誤差影響遠(yuǎn)不及位置誤差，故接下來(lái)只分析綜合位置可靠度。由于綜合位置誤差函數(shù)不服從正態(tài)分布，難以靠多維正態(tài)積分求得可靠性結(jié)果，故將包絡(luò)法獲得的位置展開(kāi)點(diǎn)近似為綜合位置誤差的展開(kāi)點(diǎn)，進(jìn)而可通過(guò)(37)式計(jì)算出綜合位置失效率。由于綜合位置誤差對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣維度較高，采用直接積分法效率較低，故換用改進(jìn)條件邊緣乘積(I-PCM)算法[20]來(lái)提高運(yùn)算速度，結(jié)果如圖10所示。從圖10中可以看出：在失效率大于0.4時(shí)，包絡(luò)法與MCS法的差值隨著失效率的降低而減小，而等效極值法與MCS法的差值隨著失效率的降低而增長(zhǎng)；在失效率小于0.4時(shí)，包絡(luò)法與MCS法的差值為0～0.03，相對(duì)誤差率為1%～42%，而等效極值法與MCS法的誤差為0～0.15，其相對(duì)于MCS法的誤差為39%～78%。以上結(jié)果表明等效極值法在求解綜合位置誤差上的精度遠(yuǎn)不如包絡(luò)法。另外，盡管包絡(luò)法在高失效率區(qū)與MCS法存在一定的偏差，但它在低失效率區(qū)內(nèi)能表現(xiàn)出較高的求解精度。

圖10 機(jī)器人綜合位置可靠度Fig.10 Integrated position reliability of robot

5 結(jié)論

本文以7軸冗余機(jī)器人為研究對(duì)象，用概率學(xué)方法建立了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差模型，并基于包絡(luò)法得到該軌跡的運(yùn)動(dòng)可靠性。得出主要結(jié)論如下：

1) 在機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上，以概率學(xué)方法建立軌跡的運(yùn)動(dòng)誤差模型，并結(jié)合機(jī)器人參數(shù)變量正態(tài)分布的特點(diǎn)，使用1階泰勒公式線性化誤差函數(shù)，極大地減小了計(jì)算量。

2) 以MCS法計(jì)算的可靠度為基準(zhǔn)，包絡(luò)法獲得的位姿失效率結(jié)果比等效極值法更接近于MCS法獲得的結(jié)果；在綜合位置失效率低于0.4時(shí)，包絡(luò)法相對(duì)MCS法的誤差為1%～42%，而等效極值法相對(duì)MCS法的誤差為39%～78%，表明包絡(luò)法具有較高的求解精度和魯棒性。

3) 在效率方面，包絡(luò)法、等效極值法、MCS法計(jì)算運(yùn)動(dòng)可靠性的總時(shí)間分別為1 543 s、1 526 s和4 657 s。綜合求解精度和計(jì)算效率，包絡(luò)法是評(píng)估機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可靠性的最佳方法。

在今后的研究中，會(huì)研究其他如并聯(lián)機(jī)器人、混聯(lián)機(jī)器人、特種機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)可靠性。同時(shí)，還將研究機(jī)器人變量服從非正態(tài)分布時(shí)的運(yùn)動(dòng)可靠性。