u-Matlis余撓模和G-整環(huán)的模刻畫
2022-07-04 04:13:10王宇鑫王芳貴肖雪蓮
王宇鑫, 王芳貴, 肖雪蓮
(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)
眾所周知,若R是整環(huán)但不是域,則R的商域K作為R-模不是有限生成的[1],但是K作為R-代數(shù)卻可以是有限生成的.1951年,Goldman[2]在研究Hilbert環(huán)和Hilbert零點(diǎn)定理時(shí),首先討論了這種情況.幾乎與之同時(shí),Krull在文獻(xiàn)[3]中也提到了具有這一性質(zhì)的整環(huán),并引起了專家學(xué)者們的重視,成為當(dāng)年的研究熱點(diǎn)之一.同年Artin和Tate在文獻(xiàn)[4]中首次明確給出了該類整環(huán)的等價(jià)刻畫:“(1)K是R的環(huán)有限擴(kuò)張.(2)存在非零元a∈R,且每個(gè)素理想都包含a.(3)R僅有有限個(gè)極小素理想.(4)R僅有有限個(gè)素理想,且每一個(gè)素理想都是極大的.”直到1974年Kanplansky在其文獻(xiàn)[5]中,才把Goldman和Krull討論的這類整環(huán)正式命名為G-整環(huán),同時(shí)給出了明確定義和重要性質(zhì).若商域K作為R-代數(shù)是有限生成的,則可由R中一個(gè)元素u生成,并在文中歸納總結(jié)了許多G-整環(huán)的相關(guān)性質(zhì).例如:“若R是G-整環(huán),則介于其商域K與R之間的任意環(huán)T也是G-整環(huán).”
希爾伯特零點(diǎn)定理是古典代數(shù)幾何的基石,它給出了仿射空間中的點(diǎn)與多項(xiàng)式環(huán)的極大理想之間的一一對應(yīng)關(guān)系,由此建立了代數(shù)和幾何之間的關(guān)系,使得人們可以用交換代數(shù)的手段研究幾何問題,而G-整環(huán)在刻畫希爾伯特環(huán)時(shí)起到了重要作用.例如文獻(xiàn)[5]中定義：如果交換環(huán)R中的每個(gè)G-理想都是極大的,那么R就是希爾伯特環(huán).由此可見,G-整環(huán)及其相關(guān)問題有很重要的研究價(jià)值.
不難發(fā)現(xiàn),盡管Kanplansky整理歸納了G-整環(huán)的許多性質(zhì),但這些都是環(huán)論性質(zhì)的刻畫.迄今為止,關(guān)于G-整環(huán)的結(jié)構(gòu)缺乏模的刻畫.回顧整環(huán)R稱為Matlis整環(huán),是指pdRK≤1.用Matlis余撓?？梢暂^多地刻畫Matlis整環(huán)[6-8].可以證明,若R是G整環(huán),商域K=R[u-1],則有K=Ru,其中Ru表示R在乘法封閉集S={un|n≥0}上的分式環(huán)(引理3.5).此外,也證明了pdRRu≤1(命題3.2),這使得完全可以像刻畫Matlis整環(huán)那樣來刻畫G-整環(huán).為此,利用相關(guān)可除模概念[9-15]引入了u-Matlis余撓模的概念并對G-整環(huán)進(jìn)行相應(yīng)的模刻畫,證明了G-整環(huán)就是Matlis整環(huán).
1 u-可除模和u-內(nèi)射模
以下恒設(shè)R是交換環(huán),u∈R是非零因子.
定義 1.1設(shè)M是R-模.
1) 若對任何x∈M,存在非負(fù)整數(shù)n,使得unx=0,等價(jià)地,Mu=0,則M稱為u-撓模.
2) 若由ux=0,x∈M,能推出x=0,等價(jià)地,自然同態(tài)?:M→Mu是單同態(tài),則M稱為u-無撓模.
3) 若M=uM,等價(jià)地,對任何x∈M,恒存在y∈M,使得x=uy,則M稱為u-可除模.
記錄以下的基本事實(shí),以備引用時(shí)之需要.
例 1.21)u-撓模的子模與商模都是u-撓模.
2)u-無撓模的子模仍為u-無撓模.
3)u-撓模的直和是u-撓模,于是由1)還有偏序集上的u-撓模的正向極限還是u-撓模.
4) 設(shè)M是u-撓模,N是任何模,則M?RN是u-撓模.更一般地,對任何n≥1,是u-撓模.
5)u-無撓模的直積是u-無撓模.
6)u-可除模的商模,直和與直積都是u-可除模.
7) 設(shè)A、B是模M的u-可除子模,則A+B也是M的u-可除子模.
8) 對任何模M,M中有一個(gè)最大的u-可除子模.
9) 任何Ru-模作為R-模既是u-無撓的,又是u-可除的.
10) 模M是u-可除模,當(dāng)且僅當(dāng)
當(dāng)且僅當(dāng)對任何n≥1,有
11) 設(shè)X是任何模,M是u-無撓模,則HomR(X,M)是u-無撓模.
12) 若T是u-撓模,M是u-無撓模,則
HomR(T,M)=0.
設(shè)M是R-模,令
Tu(M)={x∈M|存在非負(fù)整數(shù)n,
使得unx=0},
則Tu(M)稱為M的完全u-撓子模.
例 1.3下面的事實(shí)也是顯然的:
1)M是u-撓模當(dāng)且僅當(dāng)Tu(M)=M.
2)M是u-無撓模當(dāng)且僅當(dāng)Tu(M)=0.
3)M/Tu(M)總是u-無撓模.
4) 設(shè)M是u-無撓模,則Mu/M是u-撓模.
5) 若M既是u-無撓模,又是u-撓模,則M=0.
設(shè)I是R的理想.若I包含了一個(gè)un,則稱I是u-理想.如文獻(xiàn)[16],稱R-模E為u-內(nèi)射模,是指對R的任何u-理想I,有
例 1.4下面的事實(shí)也是顯然的:
1) 自然地,內(nèi)射模是u-內(nèi)射模.
2)u-內(nèi)射模是u-可除模.
4) 設(shè)0→A→B→C→0是正合列,且A、C都是u-內(nèi)射模,則B也是u-內(nèi)射模.
設(shè)M是R-模,令
u(M)={x∈E(M)|存在自然數(shù)n,
使得unx∈M},
則u(M)是E(M)中包含M的子模,且
Tu(E(M))?u(M),
u(M)稱為M的u-可除包絡(luò).當(dāng)I是R的u-理想時(shí),有R?u(I).
命題 1.5對R-模E,以下各條等價(jià):
1)E是u-內(nèi)射模.
2) 對R的任何u-理想I,任何同態(tài)f:I→E能擴(kuò)張到R上.
3) 設(shè)A是R-模B的子模,f:A→E是同態(tài).若B/A是u-撓模,則f可以擴(kuò)張到B.
4) 對任何u-撓模C,
5) 設(shè)A是R-模,f:A→E是同態(tài),則f可以擴(kuò)張到u(A).
證明由文獻(xiàn)[16]的定理3.3,令S={un|n≥0}即得.
命題 1.6對u-無撓模L,以下各條等價(jià):
1)L是u-內(nèi)射模.
2)L是u-可除模.
3)u(L)=L,即由unx?L(其中x∈E(L),n是自然數(shù)),能推出x∈L.
證明由文獻(xiàn)[16]的定理3.4,令S={un|n≥0}即得.
推論 1.7每個(gè)Ru-模作為R-模是u-內(nèi)射模.
證明由例1.2與命題1.6即得.
下面證明本節(jié)的主要定理.
定理 1.8每個(gè)u-可除模是一個(gè)u-內(nèi)射模的商模.
為證明定理1.8,姑且把u-內(nèi)射模的商模稱為hu-可除模.
例 1.9容易得到的hu-可除模的基本性質(zhì)如下:
1)u-內(nèi)射模自然是hu-可除模,于是hu-可除模的商模仍然是hu-可除模.
2) 由于u-內(nèi)射模的直積都是u-內(nèi)射模,因而hu-可除模的直積是hu-可除模.
3) 若A、B是模M的hu-可除子模,則A+B也是M的hu-可除子模,從而由Zorn引理可以得到任何模M有一個(gè)極大的hu-可除子模.再由2)得到任何模M有一個(gè)最大的hu-可除子模.
命題 1.10設(shè)D是R-模,則以下各條等價(jià):
1)D是hu-可除模.
3)D是一個(gè)u-無撓的u-可除模的商模.
4) 對任何x∈D,存在同態(tài)g:Ru→D,使得g(1)=x.
證明1)?2) 由于D是hu-可除模,故存在滿同態(tài)E→D,其中E是u-內(nèi)射模.考慮下面的交換圖
HomR(Ru,E)→HomR(Ru,D)↓↓HomR(R,E)→HomR(R,D)
由于Ru/R是u-撓模,E是u-內(nèi)射模,故左邊的垂直箭頭是滿同態(tài).由于R是自由模,所以下行的水平箭頭也是滿同態(tài).因此,右邊的垂直箭頭是滿同態(tài).于是有0→HomR(Ru/R,D)→HomR(Ru,D)→HomR(R,D)→0是正合列.
2)?3) 顯然,D?HomR(R,D)是HomR(Ru,D)的同態(tài)像,且HomR(Ru,D)是Ru-模,從而作為R-模是u-無撓和u-可除的.
3)?1) 由命題1.6,u-無撓的u-可除模是u-內(nèi)射模,故D是hu-可除模.
2)?4) 設(shè)λ:R→Ru是包含映射.對任意的x∈D,令
f:R→D,f(r)=rx,
則
f∈HomR(R,D).
由假設(shè)
λ*:HomR(Ru,D)→HomR(R,D)
是滿同態(tài),故存在
g∈HomR(Ru,D)
使得λ*(g)=f,即f=gλ,此時(shí)
g(1)=f(1)=x.
4)?2) 對任意的f∈HomR(R,D),令f(1)=x.由條件,存在g∈HomR(Ru,D),使得g(1)=x.對任意的r∈R,g(r)=rg(1)=rx=rf(1)=f(r),所以g|R=f,故0→HomR(Ru/R,D)→HomR(Ru,D)→HomR(R,D)→0是正合列.
hn(u-n)=xn(x0=x),
則有hn是同態(tài),且hn是hn-1的擴(kuò)張.a∈Ru,則存在n,使得a∈Rn.令h:Ru→D,使得h(a)=hn(a),則h是同態(tài)且是h0的擴(kuò)張.由此有
h(1)=h0(1)=x.
由命題1.10,D是hu-可除模.
由于u-可除模與hu-可除模的一致性,以下不再說hu-可除模.
命題 1.11對模D,以下各條等價(jià):
1)D是u-可除模.
2) 對任何n>0,
證明1)?2)n=1是顯然的.設(shè)n>1,考慮正合列0→Run-1/Run→R/Run→R/Run-1→0,有
Run-1/Run?R/Ru
和歸納法即得所證.
2)?1) 取n=1即滿足要求.
0=M0?M1?M2?…?Mn?…
是Ru/R的子模的連續(xù)升鏈.對n≥1,顯然有
Mn/Mn-1?Ru-n/Ru-(n-1)?R/Ru.
因此,有
由文獻(xiàn)[1]的引理11.7.2有
命題 1.12設(shè)M是R-模.
1) 若對任何u-可除模D,有則pdRM≤1.
2) 若M是u-撓模,且有pdRM≤1,則
證明1) 設(shè)X是任何模,取正合列0→X→E→D→0,其中E是內(nèi)射模,故D是可除模,從而D是u-可除模.由正合列0=有因此,有
pdR(M)≤1.
2 u-Matlis余撓模和u-平坦模
定義 2.1設(shè)L是R-模,若
則L稱為u-Matlis余撓模.
命題 2.2設(shè)D是u-可除模,則D是u-Matlis余撓模.特別地,u-內(nèi)射模是u-Matlis余撓模.
證明由正合列與命題1.11即得.
定義 2.3設(shè)M是R-模.若M無非零的u-可除子模,則M稱為u-約化模.
命題 2.4對模M,以下各條等價(jià):
1)M是u-約化模.
2) 對任何u-可除模D,HomR(D,M)=0.
證明1)?2) 設(shè)f∈HomR(D,M),于是f(D)是M的u-可除子模.由于M是約化模,故f(D)=0.因此,f=0,從而得到
HomR(D,M)=0.
2)?3) 這是平凡的.
3)?1) 若M不是u-約化模,則M有非零的u-可除子模D,由命題1.10,存在同態(tài)f:Ru→D,f≠0.設(shè)i:D→M是包含同態(tài),則λf:Ru→M是非零同態(tài),這與假設(shè)矛盾,故M是u-約化模.
命題 2.51)u-約化模的子模是u-約化模.
2)u-約化模簇的直積還是u-約化模,從而u-約化模簇的直和也是u-約化模.
證明1) 顯然.
2) 設(shè){Mi}是一簇R-模,由自然同構(gòu)
HomR(RHomR(Ru,Mi)
并引用命題2.4即得.
引理 2.6設(shè)M是R-模,則
Tu(M)?
且有正合列0→Tu(M)→M→Ru?RM→(Ru/R)?RM→0,從而M是u-無撓模當(dāng)且僅當(dāng)
M?R?RM,Mu?Ru?RM,
于是得到
Tu(M)?
和所需正合列.
命題 2.71) 設(shè)0→A→B→C→0是正合列.若B是u-Matlis余撓模,C是u-約化模,則A是u-Matlis余撓模.
2) 設(shè)A是u-撓模,則對任何模X,HomR(A,X)是u-約化的u-Matlis余撓模.特別地,HomR(Ru/R,X)是u-約化的u-Matlis余撓模.
3) 設(shè)D是u-可除模,則有正合列0→M→E→D→0,其中E是u-無撓的u-可除模,M是u-約化的u-Matlis余撓模.
4) 設(shè)M是u-無撓模,則既是u-約化模,又是u-Matlis余撓模.
證明1) 由于C是u-約化的,由命題2.4,HomR(Ru,C)=0.又由于B是u-Matlis余撓模,故由正合列0=HomR(Ru,C)→得到
即A是u-Matlis余撓模.
2) 由于A是u-撓模,故Ru?RA=0,且有
(Ru/R)?RA=0.
由相伴同構(gòu)定理,有
HomR(Ru,HomR(A,X))=0.
HomR(A,X))?
現(xiàn)在考慮一般情形.設(shè)0→X→E→Y→0是正合列,其中E是內(nèi)射模,于是有正合列0→HomR(A,X)→HomR(A,E)→HomR(A,Y),由前面所述HomR(A,Y)是u-約化模.同理
HomR(A,E))?
3) 令
M=HomR(Ru/R,D),E=HomR(Ru,D).
由命題1.10的2)即得.
4) 由引理2.6,有正合列0→M→Ru?RM→(Ru/R)?RM→0.由于M與Ru?RM都是u-無撓模,Ru/R是u-撓模,故有
HomR(Ru/R,M)=0,
且
HomR(Ru/R,Ru?RM)=0.
由于Ru?RM還是u-內(nèi)射R-模,因此有
于是有同構(gòu)
HomR(Ru/R,(Ru/R)?RM).
在2)中取
A=Ru/R,X=(Ru/R)?RM,
命題 2.8設(shè)M是u-約化模.
1)M是u-Matlis余撓模當(dāng)且僅當(dāng)
M?
2) 若M是u-無撓模,則有正合列0→M→C→E→0,其中E是u-無撓的u-可除模,C是u-約化的u-Matlis余撓模.
證明1) 由于M是u-約化模,故
HomR(Ru,M)=0,
于是有正合列0→M→因此,M是u-Matlis余撓模當(dāng)且僅當(dāng)
M?
2) 在1)的證明中,記
C=
并引用命題2.7即得.
定義 2.9設(shè)M是R-模.若對任何u-Matlis余撓模C,有則M稱為u-平坦模.
投射模顯然是u-平坦模,Ru顯然也是u-平坦模.更一般地,投射Ru-模也是u-平坦R-模.由于余撓模是u-Matlis余撓模,故u-平坦模一定是平坦模.
定理 2.10若M是平坦模,且對任何平坦的u-Matlis余撓模C,有則M是u-平坦模.
證明對任何u-Matlis余撓模C,由于平坦模類與余撓模類構(gòu)成是遺傳和完全的余撓理論,故有正合列0→X→G→C→0,其中G是平坦模,X是余撓模,且有
于是有G還是u-Matlis余撓模.由假設(shè)
推論 2.11設(shè)M是u-平坦模,則
Mu=Ru?RM
是投射Ru-模,從而對任何u-Matlis余撓模C,以及任何k>0,有
定理 2.12設(shè)R是整環(huán),P是投射模,F是P的u-平坦子模,則F是投射模.
證明設(shè)D是u-可除模,證明
3 G-整環(huán)的?？坍?/h2>
引理 3.1設(shè)R是任何環(huán),a1,a2,…,an是R中的非零元素序列,F是以x0,x1,…,xn為基底的自由模.令
yn=xn-an+1xn+1,n=0,1,2,….
若n≥1,y=r0x0+r1x1+…+rnxn∈F,則
…+r1a2…an+r0a1…an)xn,
其中j=k時(shí),視aj+1aj+2…ak=1.
證明當(dāng)n=1時(shí),y=r0x0+r1x1=r0y0+(r1+r0a1)x1,故斷語為真.設(shè)n>1,并令
z=r0x0+r1x1+…+rn-1xn-1,
由歸納假設(shè)有
從而有
y=z+rnxn=
a
命題 3.2設(shè)u∈R是非零非單位元素,則Ru是由
生成的R-模,且pdRRu≤1.
令P=ker(φ),并令
yn=xn-uxn+1,n≥0.
因此,yn∈P.另一方面,設(shè)y∈P,可記
y=r0x0+r1x1+…+rnxn.
由
有
r0un+r1un-1+…+rn-1u+rn=0.
若n=0,則y=r0x0.由于φ(y)=r0=0,有y=0.設(shè)n≥1,由引理3.1有
y=r0y0+(r1+r0u)y1+(r2+r1u+r0u2)y2+
…+(rn-1+rn-2u+…+r0un-1)yn-1,
故P是由y0,y1,y2,…,yn,…生成的子模.由文獻(xiàn)[1]中定理3.10.20(1),P是自由模,從而有
pdRRu≤1.
引理 3.3設(shè)R是整環(huán),u∈R,u≠0,則
R[u-1]=Ru.
α=f(u-1)∈R[u-1],
故
Ru?R[u-1].
反之,設(shè)α∈R[u-1],則可記
α=r0+r1u-1+…+rnu-n,ri∈R.
a=r0un+r1un-1+…+rn,
故
R[u-1]?Ru,
于是得到
R[u-1]=Ru.
回顧整環(huán)R稱為G-整環(huán),是指其商域K作為R-代數(shù)是有限生成的.在文獻(xiàn)[5]中還指出,K可以由一個(gè)元素α∈K生成,即K=R[α].記
由于
推論 3.4設(shè)R是G-整環(huán),則存在u∈R,u≠0,使得K=Ru.
引理3.5設(shè)R是G-整環(huán),且K=R[u-1],則任何非零理想都是u-理想.
證明設(shè)I是R的非零理想,則存在a∈I,a≠0.由于
則可記
其中r∈R.于是
un=ra∈I,
即I是u-理想.
引理 3.6設(shè)R是整環(huán).則每個(gè)R-模是Matlis余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是域,即R=K.
證明設(shè)N是R-模.由假設(shè),N是Matlis余撓模,故
于是K是投射模,且
rankR(K)=1,
故K是有限生成R-模,從而有K=R.
定理 3.7設(shè)R是G-整環(huán),則R是Matlis整環(huán).
證明記K=R[u-1],則K=Ru.由命題3.2,pdR(K)≤1,故R是Matlis整環(huán).
設(shè)N是R-模,則每個(gè)Ru-同態(tài)f∈HomRu(K,N)也可以看成一個(gè)R-同態(tài),故有自然嵌入:
θ:HomRu(K,N)→HomR(K,N).
引理 3.8設(shè)R是整環(huán),u∈R是非零非單位元素.設(shè)N是Ru-模,則有:
2)N是Matlis余撓R-模當(dāng)且僅當(dāng)N是Matlis余撓Ru-模.
證明1) 先來證明
HomRu(K,N)=HomR(K,N),
即證明每個(gè)R-同態(tài)f:K→N可以作成一個(gè)Ru-同態(tài).由于Ku=K,故K也是Ru-模.對任何x∈K,k≥0,有
由于N是Ru-模,故有
從而對任何r∈R,有
故f還是Ru-模同態(tài),從而得到
HomR(K,N)=HomRu(K,N).
設(shè)0→N→E→X→0是Ru-模的正合列,其中E是內(nèi)射Ru-模.由文獻(xiàn)[1]的習(xí)題3.16,E也是內(nèi)射R-模,于是有下面的兩行是正合列的交換圖:
HomR(K,E)→HomR(K,X)→Ext1R(K,N)→0θ1↓HomRu(K,E)→HomRu(K,X)→Ext1Ru(K,N)→0
其中θ1是左邊交換方圖的誘導(dǎo)同態(tài).由五項(xiàng)引理,θ1是同構(gòu).
2) 由1)即得.
下面用u-內(nèi)射模、u-Matlis余撓模來刻畫G-整環(huán).
定理 3.9設(shè)R是整環(huán),且R≠K,則以下各條等價(jià):
1)R是G-整環(huán).
2) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個(gè)u-內(nèi)射模都是內(nèi)射模.
3) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個(gè)u-無撓的u-內(nèi)射模都是內(nèi)射模.
4) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個(gè)u-Matlis余撓模都是Matlis余撓模.
5) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個(gè)u-無撓的u-Matlis余撓模都是Matlis余撓模.
證明1)?2) 設(shè)E是u-內(nèi)射模,I是R的任意非零理想.根據(jù)引理3.5,I也是R的u-理想.再由命題1.5有任何同態(tài)f:I→E能擴(kuò)張到R上,故任何理想I到E的同態(tài)都能擴(kuò)張為R到E的同態(tài),則E是內(nèi)射模(Baer準(zhǔn)則).
2)?3) 這是平凡的.
3)?1) 記S1=R-0,K=RS1,即K是R商域.S2={un|n≥0},Ru=RS2.設(shè)I是u-無撓的u-可除模.由命題1.6知,I是u-內(nèi)射模.再由假設(shè)可得I是內(nèi)射模亦是可除模,由此得到每一個(gè)u-可除模是可除模,則有S1?S2,K?Ru,所以K=Ru,R是G-整環(huán).
1)?4) 顯然,R是G-整環(huán),則由推論3.4,存在u∈R,u≠0,使得K=Ru,故每個(gè)u-Matlis余撓模都是Matlis余撓模.
4)?5) 這是平凡的.
5)?1) 設(shè)N是任意Ru-模,則N作為R-模是u-無撓且u-可除的.根據(jù)命題2.2知,任意u-可除模是u-Matlis余撓模,故N為u-無撓的u-Matlis余撓模,由假設(shè)可知N是Matlis余撓模.再由引理3.6,有Ru是整環(huán),每個(gè)Ru-模N是Matlis余撓模當(dāng)且僅當(dāng)Ru是域,即Ru=K,所以R是G-整環(huán).
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