耿 棟，崔后吉，王 樂(lè)

（1.安徽省公路工程檢測(cè)中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測(cè)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230051）

橋梁作為公路工程中的重要節(jié)點(diǎn)工程，對(duì)社會(huì)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展及人民的日常生活起到了非常重要的紐帶、銜接作用。建國(guó)70 多年來(lái)，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的大發(fā)展，基建工程中尤其是橋梁工程發(fā)展相當(dāng)迅速，如今已成為世界的橋梁大國(guó)。然而，近幾十年來(lái)國(guó)內(nèi)外橋梁事故多有發(fā)生，如2012年8月江西廣昌河?xùn)|大橋垮塌，2012年5月湖南平江大橋垮塌等。國(guó)外的橋梁事故也不乏鮮見(jiàn)，美國(guó)明尼蘇達(dá)州的35 號(hào)洲際公路上一座建成40年的鋼筋混凝土大橋在2007年8月突然發(fā)生坍塌。在橋梁事故中，獨(dú)柱墩橋、曲線橋等類型橋梁倒塌受到了特別關(guān)注。2019年10月10日18 時(shí)10 分許，江蘇省無(wú)錫市312 國(guó)道K135 處錫港路上跨橋發(fā)生側(cè)翻事故，側(cè)翻橋梁為獨(dú)柱墩橋梁結(jié)構(gòu)。資料顯示，國(guó)內(nèi)最早的獨(dú)柱墩橋、曲線橋倒塌事故發(fā)生在2007年10月23日，包頭市民族東路高架橋突然發(fā)生傾覆，事故由三輛半掛牽引重型貨車由南向北行駛至橋面造成。此后，類似事故時(shí)有發(fā)生。

近年來(lái)，重大工程結(jié)構(gòu)的安全服役問(wèn)題越來(lái)越突出，對(duì)于這些結(jié)構(gòu)的狀態(tài)監(jiān)測(cè)，損傷狀態(tài)評(píng)估，以及損傷后的安全性評(píng)價(jià)的理論研究已成為工程結(jié)構(gòu)安全性研究的重要理論需求，并有著廣泛應(yīng)用前景[1]。自90年代開(kāi)始，一些重大的工程結(jié)構(gòu)安裝了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)并獲得了大量的數(shù)據(jù)，然而，基于目前結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的理論還很難有效地從采集的海量數(shù)據(jù)中提取出結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)并對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)行識(shí)別，更難針對(duì)結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)狀態(tài)來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)安全評(píng)估，從而給結(jié)構(gòu)安全研究帶來(lái)巨大的挑戰(zhàn)[2]。

在橋梁健康監(jiān)測(cè)中結(jié)構(gòu)位移是橋梁監(jiān)測(cè)的關(guān)鍵參數(shù)之一。隨著國(guó)內(nèi)橋梁尤其是獨(dú)柱墩橋、曲線橋等類型橋梁需求的增加，橋梁服役過(guò)程中結(jié)構(gòu)位移特征引起廣泛關(guān)注，例如主梁撓度、橋墩沉降位移、支座位移等。橋梁結(jié)構(gòu)位移作為變形的一種描述形式，是橋梁構(gòu)件受力最明顯的反應(yīng)，反映橋梁構(gòu)件的工作狀態(tài)，可以用于評(píng)價(jià)橋梁剛度及安全性能[3]。

綜合國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析發(fā)現(xiàn)，大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)工作剛度損傷識(shí)別，盡管有許多的處理方法和研究成果，但還遠(yuǎn)不能夠說(shuō)是一個(gè)已經(jīng)完全解決了的課題[4]。特別是長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)中的土木工程結(jié)構(gòu)，由于環(huán)境的變化，荷載的變化，以及損傷的積累導(dǎo)致剛度的退化，均會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)特性參數(shù)隨時(shí)間變化。同時(shí)大部分土木工程結(jié)構(gòu)在一定程度上表現(xiàn)出非線性行為，如材料本身的非線性導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的非線性，結(jié)構(gòu)邊界條件及狀態(tài)的非線性，結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期荷載或突發(fā)荷載作用下發(fā)生損傷，也會(huì)表現(xiàn)出非線性行為[5]。因此，長(zhǎng)期荷載作用下的這些結(jié)構(gòu)，本質(zhì)上屬于時(shí)變和非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。這就需要能識(shí)別結(jié)構(gòu)的時(shí)變和非線性參數(shù)的理論和方法[6]。本文正是考慮到橋梁結(jié)構(gòu)在極端荷載作用下，由于損傷的積累導(dǎo)致結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出雙線性的行為，研究基于最小二乘法的橋梁結(jié)構(gòu)剛度損傷識(shí)別方法，對(duì)結(jié)構(gòu)在極端荷載下的安全評(píng)估具有較大的理論與工程應(yīng)用價(jià)值。

1 研究方法

對(duì)具有雙線性剛度的橋梁結(jié)構(gòu)，在較小荷載作用下橋梁結(jié)構(gòu)保持結(jié)構(gòu)原有的剛度，然而隨著荷載的增加，結(jié)構(gòu)的損傷發(fā)生，導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)的剛度降低。本文正是針對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的雙線性行為，利用最小二乘法對(duì)雙線性剛度進(jìn)行識(shí)別。在外荷載作用下的線性橋梁結(jié)構(gòu)，通過(guò)一系列的荷載試驗(yàn)，可以利用經(jīng)典的最小二乘法來(lái)估計(jì)橋梁結(jié)構(gòu)的線性剛度的解析閉合解[7]。然而對(duì)于雙線性橋梁結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外的文獻(xiàn)中還很難找到基于最小二乘法的雙線性剛度識(shí)別的閉合解，因此，本文將通過(guò)系列理論研究推導(dǎo)橋梁結(jié)構(gòu)雙線性剛度的最小二乘法識(shí)別方法。

雙線性剛度的橋梁結(jié)構(gòu)的位移-荷載曲線如圖1所示，其中Δ 為位移，P為外荷載。

圖1 雙線性剛度橋梁結(jié)構(gòu)的位移-荷載關(guān)系

雙線性剛度橋梁結(jié)構(gòu)的位移可表示為：

上式中Ps表示過(guò)渡荷載，其值即為圖1 中兩條直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。Δs 表示過(guò)渡荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移，其值即為圖中兩條直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)值。B1和B2分別表示兩條直線的斜率。Δ0表示斜率為B2的直線在y軸上的截距。

假設(shè)有一系列的荷載作用在橋梁結(jié)構(gòu)上，并產(chǎn)生一系列的位移響應(yīng)，這時(shí)荷載、位移可表示為Pi、Δi（i=1~n）。對(duì)于過(guò)渡荷載Ps是假定為已知的，這是因?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)在外荷載作用下其剛度發(fā)生明顯變化的時(shí)候往往伴隨著明顯的破壞特征，比如混凝土結(jié)構(gòu)在其所受荷載達(dá)到過(guò)渡荷載時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大的裂紋和較大的塑性變形等，而這時(shí)過(guò)渡荷載就可以被合理地監(jiān)測(cè)得到。雖然過(guò)渡荷載是已知的，但過(guò)渡位移卻不是已知的，這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的剛度是未知的。對(duì)于荷載小于或等于過(guò)渡荷載時(shí)，荷載、位移分別表示為P1i、Δ1i（i=1~n1），對(duì)于荷載大于過(guò)渡荷載時(shí)，荷載、位移分別表示為P2i、Δ2i（i=1~n2），其中n1+n2=n。為了識(shí)別出雙線性橋梁結(jié)構(gòu)在承受大于過(guò)渡荷載Ps后的剛度損傷，本文將推導(dǎo)基于最小二乘法的雙線性最小二乘法。該方法的基本思路是對(duì)求雙線性結(jié)構(gòu)的位移殘余誤差平方和最小值，即：

上式是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性最小二乘法方程。由于過(guò)渡荷載Ps是已知的，所以公式（2）中有兩個(gè)未知量B1和B2。為使公式（2）達(dá)到最優(yōu)解即結(jié)構(gòu)的位移殘余誤差平方和取最小值，公式（2）對(duì)B1、B2兩個(gè)未知量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)等于0，因此可以解析出B1和B2。綜上所述，雙線性最小二乘法在理論上能夠很好地識(shí)別出雙線性結(jié)構(gòu)的剛度。因此本文的主要內(nèi)容就是要推導(dǎo)出基于雙線性最小二乘法的雙線性剛度識(shí)別的理論解。

2 研究?jī)?nèi)容

推導(dǎo)具有雙線性剛度的橋梁結(jié)構(gòu)剛度的雙線性最小二乘法的理論解。

公式（2）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線性最小二乘法方程。由于過(guò)渡荷載Ps是已知的，所以公式（2）中有兩個(gè)未知量B1和B2。為使公式（2）達(dá)到最優(yōu)解即結(jié)構(gòu)的位移殘余誤差平方和取最小值，故公式（2）必須滿足其對(duì)B1、B2兩個(gè)未知量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)等于0 這一條件。

公式（2）對(duì)B1的偏導(dǎo)數(shù)方程為

其中：

方程（2）對(duì)B2的偏導(dǎo)數(shù)方程為

其中：

然后，將方程（7）代入到公式（8）中，解得B2為

再將B2的結(jié)果代回到公式（7）中，得B1為

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證基于最小二乘法識(shí)別橋梁結(jié)構(gòu)的雙線性剛度的有效性。本文對(duì)混凝土簡(jiǎn)支梁在豎向集中荷載作用下的位移響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值模擬中的混凝土簡(jiǎn)支梁全長(zhǎng)為6 m，其梁橫截面為矩形，梁高為0.2 m，梁寬為1.2 m，梁橫截面面積為0.24 m2，梁的截面慣性矩為8×10-4m4，彈性模量為32.5 kN/mm2，容重為25 kN/m3。數(shù)值模擬的簡(jiǎn)支梁縱向布置圖如圖2 所示。

圖2 數(shù)值模擬混凝土簡(jiǎn)支梁縱向布置圖

數(shù)值模擬中簡(jiǎn)支梁的豎向集中力作用在梁跨中頂部位置，集中荷載逐級(jí)加大，記錄每級(jí)荷載P1i，利用有限元計(jì)算軟件計(jì)算出每級(jí)荷載作用下的梁跨中位移Δ1i。橋梁結(jié)構(gòu)在外荷載作用下其剛度發(fā)生明顯變化的時(shí)候往往伴隨著明顯的破壞特征，比如混凝土結(jié)構(gòu)在其所受荷載達(dá)到過(guò)渡荷載時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大的裂紋和較大的塑性變形等，而這時(shí)過(guò)渡荷載就可以被合理地監(jiān)測(cè)得到。本次數(shù)值模擬對(duì)過(guò)渡荷載進(jìn)行合理假設(shè)，并利用降低截面慣性矩的方法來(lái)模擬簡(jiǎn)支梁損傷，隨著損傷程度增加，截面慣性矩也相應(yīng)進(jìn)行調(diào)整。簡(jiǎn)支梁發(fā)生損傷后，繼續(xù)分級(jí)增大荷載，并記錄為P2i，利用有限元計(jì)算軟件計(jì)算出簡(jiǎn)支梁損傷后每級(jí)荷載作用下的梁跨中位移Δ2i。

對(duì)計(jì)算得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，利用圖表工具繪出P、Δ 數(shù)據(jù)分布圖，如圖3 所示。根據(jù)P、Δ 數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)，本次數(shù)值模擬假設(shè)過(guò)渡荷載Ps為45 kN。利用雙線性最小二乘法分別識(shí)別出簡(jiǎn)支梁在過(guò)渡荷載前后的構(gòu)件剛度B1、B2。利用本文研究?jī)?nèi)容推導(dǎo)的公式，計(jì)算得到B1為0.174 mm/kN，計(jì)算得到B2為0.497 mm/kN。根據(jù)計(jì)算得到的簡(jiǎn)支梁過(guò)渡荷載前后的構(gòu)件剛度，繪出P-Δ 線形關(guān)系，結(jié)果如圖4 所示。

圖3 簡(jiǎn)支梁加載過(guò)程中P、Δ 數(shù)據(jù)分布圖

圖4 計(jì)算得到簡(jiǎn)支梁P-Δ 線形關(guān)系圖

根據(jù)圖4 所示結(jié)果，可以看出利用雙線性最小二乘法能夠分別識(shí)別出簡(jiǎn)支梁損傷前后的構(gòu)件剛度，計(jì)算得到的荷載、位移線形關(guān)系與實(shí)際荷載、位移數(shù)據(jù)分布有較高的吻合度。

根據(jù)圖4 所示結(jié)果，還可以看出荷載、位移線形關(guān)系在梁結(jié)構(gòu)損傷前后發(fā)生明顯變化。損傷后的簡(jiǎn)支梁在荷載作用下發(fā)生的位移更為明顯。對(duì)于梁結(jié)構(gòu)損傷程度的定量分析，本文給出如下公式進(jìn)行計(jì)算。

上式中D表示梁結(jié)構(gòu)剛度損傷程度，B1和B2分別為梁結(jié)構(gòu)損傷前后的剛度。根據(jù)公式（14）計(jì)算得到，本文數(shù)值模擬中簡(jiǎn)支梁的剛度損傷程度為65%，損傷較為明顯。

4 結(jié)論

綜上所述，基于最小二乘法能夠很好地識(shí)別出橋梁結(jié)構(gòu)的雙線性剛度，利用識(shí)別出來(lái)的雙線性剛度可用于對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)行有效識(shí)別。