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        基于斐波那契數(shù)積分計算非等徑顆粒視角系數(shù)

        2022-07-04 08:41:44高若晗譚援強(qiáng)
        計算力學(xué)學(xué)報 2022年3期
        關(guān)鍵詞:方法

        包 濤, 高若晗, 譚援強(qiáng)*

        (1.華僑大學(xué) 制造工程研究院,廈門 361021;2.脆性材料產(chǎn)品智能制造技術(shù)國家地方聯(lián)合工程研究中心,廈門 361021)

        1 引 言

        粉末床在化學(xué)工程、核工業(yè)、粉末冶金和激光增材制造等許多科學(xué)和工業(yè)領(lǐng)域中起著重要作用。粉末床在實(shí)際工況中涉及許多物理現(xiàn)象,包括顆粒材料的流動和壓實(shí)、顆粒之間的能量傳遞以及顆粒的粘結(jié)和偏析機(jī)制[1-3]。粉末床傳熱對零件成形質(zhì)量具有重要影響,引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[4-6]。熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射都有助于熱傳遞,尤其熱輻射在高溫下具有重要意義。如處于1100 ℃環(huán)境的碳化硅粉體體系內(nèi),以熱輻射方式進(jìn)行的熱通量占據(jù)熱傳遞總量的35%;如果將材料換為玻璃顆粒,其占比將達(dá)到85%左右[7]。在顆粒燒結(jié)和熔化時,由于是局部輸入能量,粉末床中的熱輻射更加重要。

        粉末床中填充顆粒的多尺度使得監(jiān)測變得極為困難,因此,很少有人在顆粒尺度進(jìn)行熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)研究。通過數(shù)值模擬的方法可以更好地理解粉末床的傳熱機(jī)理[8,10]。目前,已經(jīng)提出了基于有限元和離散元等許多顆粒間的傳熱模型,還針對粉末床的有效導(dǎo)熱系數(shù)提出了幾種經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行預(yù)測[11,13]。然而,在大規(guī)?;騽討B(tài)顆粒系統(tǒng)中,顆粒之間的熱輻射不能忽略。但現(xiàn)有熱輻射模型在計算成本與準(zhǔn)確性這兩個方面不能同時達(dá)到數(shù)值模擬的要求。

        粉末床熱輻射研究常用的模擬方法可分為兩類。第一類是基于連續(xù)體的方法,將粉末床視為多孔介質(zhì),使用微分方程對邊界條件進(jìn)行描述。有研究表明,由于熱輻射強(qiáng)度的測量和計算僅在接近法線方向上一致,基于連續(xù)體不能很好地對含有大顆粒的非等溫粉末輻射特性進(jìn)行模擬[14]。第二類是基于離散的方法,將熱輻射視為顆粒表面之間發(fā)生的局部效應(yīng),這樣,分析粉末床中熱輻射的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為計算兩個顆粒之間的熱輻射通量。

        采用Voronoi圖方法研究和分析粉末床中的熱輻射,該方法考慮了包括熱輻射在內(nèi)的三種傳熱機(jī)制[15-17]。但該方法的問題是無法對顆粒之間存在障礙物時的視角系數(shù)進(jìn)行計算。使用射線追蹤和蒙特卡羅等隨機(jī)的方法和其他技術(shù)也可以對粉末床中的輻射特性進(jìn)行計算[10,18-20],但計算結(jié)果的精度在很大程度上取決于所使用的射線數(shù)或采樣點(diǎn)的分布,因此難以獲得高精度的結(jié)果,而且要耗費(fèi)很大的計算成本。

        熱輻射數(shù)值模擬的主要難點(diǎn)在于物體間視角系數(shù)的計算。卜昌盛等[21]對顆粒間的傳熱進(jìn)行了詳細(xì)的分析,并建立了一個考慮顆粒內(nèi)部導(dǎo)熱、顆粒粗糙表面?zhèn)鳠岷皖w粒表面氣膜與接觸間氣膜導(dǎo)熱等多種因素的傳熱數(shù)值模型。陳宇杰[22]針對顆粒間熱輻射受到阻礙這一特征,提出了考慮阻礙存在的顆粒間傳熱輻射的影響。該方法將阻礙物之間的復(fù)雜輻射情況進(jìn)行簡化,逐一計算了顆粒間的輻射熱通量。Feng等[23,24]提出了一種高效和高精度的計算方法,計算由相同大小球體組成的隨機(jī)粉末床中球體之間的視角系數(shù)。該方法的局限性主要在于沒有考慮粉末床中的顆粒粒徑的差異。大多數(shù)工業(yè)應(yīng)用中涉及的顆粒粒徑不是單一的,通常遵循高斯分布、雙峰分布和多元分布。

        本文是在Feng等[23]工作的基礎(chǔ)上,提出一種新的數(shù)值程序,用于計算粉末床中非等徑顆粒之間的視角系數(shù)。首先采用斐波那契數(shù)列對非等徑顆粒表面進(jìn)行離散,并且在z方向上進(jìn)行非均勻變換以提高計算精度,最后對計算精度和效率進(jìn)行評估,并與現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行比對。

        2 非等徑顆粒間無障礙視角系數(shù)計算

        2.1 有限曲面間視角系數(shù)的計算

        圖1 兩個有限曲面間視角系數(shù)示意圖

        表面A1對表面A2的視角系數(shù)F1 - 2表示為

        (1)

        同理,也可以依據(jù)視角系數(shù)的定義,推導(dǎo)出表面A2對表面A1的視角系數(shù)為

        F2- 1=(A1/A2)F1- 2

        (2)

        2.2 無阻礙顆粒非等徑顆粒間視角系數(shù)的計算

        兩表面間視角系數(shù)的計算公式是基于笛卡爾坐標(biāo)系下的定積分函數(shù)。除一些簡單的幾何情況外,求解視角系數(shù)函數(shù)的解析解是極具挑戰(zhàn)性的。

        因此,本文使用了一個新的兩顆粒間視角系數(shù)的計算公式,不僅減少了計算時間,還提高了計算精確度,與以往文獻(xiàn)比較驗(yàn)證了該方法的可實(shí)現(xiàn)性和高效性。

        假設(shè)一對半徑分別為r1和r2的球形顆粒(r1≥r2),兩顆粒間距可表示為g≥0。兩顆粒之間的視角系數(shù)可以簡化為一個半徑為1和一個半徑為r2/r1兩顆粒間的視角系數(shù),此時顆粒間距轉(zhuǎn)換為g/r1。假設(shè)p1=r2/r1,p2=g/r1,可將討論范圍轉(zhuǎn)換為一對半徑分別為1和p1,以及其間距為p2的一對顆粒之間的視角系數(shù)。在全局笛卡爾坐標(biāo)下,顆粒S1的球心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,顆粒S2的球心位于坐標(biāo)點(diǎn)(0,0,1+p1+p2)。

        為了計算顆粒S1對顆粒S2的視角系數(shù),兩顆粒分別沿z軸方向劃分為三個區(qū)域,如圖2所示。

        圖2 兩顆粒中不同區(qū)域的劃分

        顆粒S1對顆粒S2的視角系數(shù)可表示為[23]

        F=FS - 1+FS - 2

        (3)

        其中

        (4)

        (5)

        (6)

        通過求解定積分可以得到兩顆粒間的視角系數(shù)的精確解,并且計算結(jié)果由兩個自變量決定,即

        F=F(p1,p2)

        (7)

        2.3 非等徑顆粒的斐波那契積分

        使用斐波那契數(shù)列原理對顆粒表面進(jìn)行離散。此方法是將顆粒放置于圓柱坐標(biāo)系中,在[0,2π]×[-r,r]區(qū)域內(nèi)將顆粒表面進(jìn)行離散。因此,兩顆粒間視角系數(shù)可以表示為

        g(xi,xj)FN(p1,p2)

        (8)

        式中NF為斐波那契數(shù),局部圓柱坐標(biāo)系下的第NF +1個離散點(diǎn)的坐標(biāo)和加權(quán)分別表示為

        wi=4πr2/NF

        (i=0,…,NF) (9)

        (10)

        (11)

        式中

        (12)

        2.4 斐波那契積分的非均勻變換

        在對兩顆粒間視角系數(shù)計算時,除采用斐波那契數(shù)列原理對顆粒表面進(jìn)行離散外,還引入非均勻變換以提高計算精度。

        定義x∈[-a,a]的函數(shù)f(x),其定積分形式為

        (13)

        引入新的變量x′,x′和x的關(guān)系可以定義為

        x=τ(x′),x′∈[-a,a]

        (14)

        則式(13)可轉(zhuǎn)換為

        (15)

        上述非均勻變換方法應(yīng)用于z方向積分,則修正后的變換方程τ(z)可表示為

        τ(z)=z+rsin(πz/r)/π

        (16)

        式中r為球形顆粒的半徑,對τ(z)求導(dǎo)可得

        τ′(z)=1+cos(πz)/r

        (17)

        因此,計算視角系數(shù)的張量形式可寫為

        (18)

        2.5 斐波那契積分方案的計算與驗(yàn)證

        斐波那契數(shù)列積分方案的計算精度取決于使用的斐波那契數(shù)列項(xiàng)數(shù)的取值。本算例NF,p1和p2的取值分別為NF={13,21,34,55,89,144,233,377,610},p1={0.1,0.3,0.7,1},p2={0,0.01,0.02,0.05,0.1,0.5,1,2,4,6 8}。將計算結(jié)果與式(1)計算的精確值進(jìn)行比較。在一定參數(shù)p1,p2和FN條件下,斐波那契數(shù)列積分方案估算的兩顆粒間的視角系數(shù)FN(p1,p2)與精確值F(p1,p2)之間的相對誤差如圖3所示。

        圖3 不同p1和p2下,斐波那契數(shù)列積分獲得兩顆粒間視角系數(shù)的相對誤差

        可以看出,當(dāng)FN取為55時,已經(jīng)可以獲得較低的相對誤差值(最大5%)。

        將p1=1作為特例,把計算結(jié)果和文獻(xiàn)進(jìn)行對比。如圖4所示,明顯看出當(dāng)FN=55時,兩種方法計算結(jié)果非常吻合。

        圖4 斐波那契數(shù)列積分法計算獲得視角系數(shù)與文獻(xiàn)對比[22,23]

        3 非等徑顆粒間存在阻礙顆粒視角系數(shù)的計算

        實(shí)際顆粒體系中,兩顆粒間可能會存在多個阻礙顆粒。本節(jié)考慮了兩顆粒間存在第三個顆粒阻礙其視角情況下視角系數(shù)的計算。將粉末床中的所有顆粒視為兩目標(biāo)顆粒的障礙將耗費(fèi)大量的計算成本,因此有必要減少搜索區(qū)域以更有效地檢測障礙物。球心位于陰影搜索區(qū)域的顆粒有可能成為兩個顆粒S1和S2的視角系數(shù)的阻礙顆粒,其中rmax表示顆粒體系中最大的顆粒半徑,如圖5所示。

        圖5 兩顆粒間搜索中間阻礙顆粒的搜索范圍

        考慮兩個顆粒S1和S2間存在一個阻礙顆粒S3情況下其視角系數(shù)的估算,只需要添加判斷兩個樣點(diǎn)連成的光線是否與阻礙顆粒表面相交即可。

        3.1 光線阻礙檢查

        在圖6中,假設(shè)光線從顆粒S1表面上樣點(diǎn)x1指向顆粒S2表面上樣點(diǎn)x2,中間阻礙顆粒的球心坐標(biāo)為O3,則阻礙顆粒球心距離光線之間的距離為

        圖6 兩顆粒間視角系數(shù)(中間存在一個阻礙顆粒)

        dc=‖e×r‖/‖e‖

        (19)

        若dc

        由此,提出視角阻礙函數(shù)vb,添加第三顆粒S3后,兩顆粒間視角系數(shù)FN(p1,p2,Ω)表示為

        v(xi,xj)[g(xi,xj)+

        (20)

        式中Ω為阻礙顆粒,且視角阻礙函數(shù)vb可表示為

        (21)

        3.2 計算和優(yōu)化

        為驗(yàn)證斐波那契數(shù)列積分法在兩顆粒間存在第三顆粒情況下估算的適用性,本文計算了當(dāng)NF={34,55,89,144,233,377,610,987}情況下兩顆粒間的視角系數(shù)。為了對估算結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)化對比,設(shè)定第三顆粒rc=p1,并假設(shè)第三顆粒始終與其他兩顆粒相切接觸。為方便討論,規(guī)定F(p1,p2,Ω)表示受第三顆粒阻礙后獲得的視角系數(shù)精確值,F(xiàn)(p1,p2)表示中間無阻礙顆粒的視角系數(shù)精確值,F(xiàn)(Ω)表示受第三顆粒阻礙而減少的視角系數(shù)精確值,則

        F(p1,p2,Ω)=F(p1,p2)-F(Ω)

        (22)

        在斐波那契數(shù)列積分估算中,受第三顆粒阻礙后獲得的視角系數(shù)估算值、中間無阻礙顆粒的視角系數(shù)估算值、受第三顆粒阻礙而減少的視角系數(shù)估算值分別表示為FN(p1,p2,Ω),F(p1,p2)和FN(Ω),則

        FN(p1,p2,Ω)=FN(p1,p2)-FN(Ω)

        (23)

        當(dāng)FN值取足夠大時,估算值誤差極小。因此本文假設(shè)當(dāng)FN=987時獲得的兩顆粒間存在阻礙顆粒情況下獲得的估算值FN(p1,p2,Ω)即為精確值F(p1,p2,Ω)。

        圖7顯示了當(dāng)參數(shù)NF={34,55,89,144,233,377,610}、p1={1,0.7,0.3,0.1}且p2={0,0.01,0.02,0.05,0.1,0.5,1,2}情況下,斐波那契數(shù)列積分法估算的兩顆粒間視角系數(shù)FN(p1,p2,Ω)與準(zhǔn)確值FN=987(p1,p2,Ω)之間的相對誤差??梢钥闯?,相對誤差是不穩(wěn)定的,但是當(dāng)FN=55 時,其相對誤差始終小于6%。

        圖7 當(dāng)rc=p1且p1=1,0.7,0.3,0.1情況下,斐波那契數(shù)列積分法估算兩顆粒間視角系數(shù)相對誤差隨p2的變化

        為提高顆粒間視角系數(shù)計算的精度,需要對其進(jìn)行優(yōu)化。假定斐波那契數(shù)列積分法估算兩顆粒間視角系數(shù)在中間有無阻礙顆粒兩種情況下的估算精度相同,即

        (24)

        則經(jīng)過優(yōu)化后的視角系數(shù)可表示為F′(p1,p2,Ω),即

        (25)

        鑒于當(dāng)NF值或p2值較小時,利用斐波那契數(shù)列積分法估算兩顆粒間視角系數(shù)精度低,對第三顆粒直徑rc=p1情況進(jìn)行優(yōu)化。求NF={34,55},p1={1,0.7,0.3,0.1},p2={0,0.01,0.02,0.05,0.1}情況下的視角系數(shù)的優(yōu)化值F′(p1,p2,Ω)。在NF={34,55}且p2={0,0.01,0.1}情況下,經(jīng)過優(yōu)化后的顆粒間視角系數(shù)的最大相對誤差分別由 18.11% 下降到 7.41%,5.71% 下降到 2.71%,-38.11% 下降到20.9%,12.55%下降到10.2%,如圖8所示。由此可以發(fā)現(xiàn),在NF較小情況下,經(jīng)過優(yōu)化后的視角系數(shù)估算值,即F′(r1,r2,g,Ω)可以很大程度上提高計算精度。

        圖8 當(dāng)rc=p1時,改進(jìn)后計算方法與優(yōu)化前計算方法計算精度對比

        將以上提出的斐波那契數(shù)列積分法優(yōu)化后兩顆粒間視角系數(shù)與文獻(xiàn)的計算結(jié)果在圖9中進(jìn)行對比,可以看出,當(dāng)NF=55且p1=rc情況下,兩種方法獲得的估算基本一致。

        圖9 優(yōu)化后斐波那契數(shù)列積分法的兩顆粒間視角系數(shù)與文獻(xiàn)計算結(jié)果對比[23,24]

        4 非均勻顆粒視角系數(shù)的計算與評價

        斐波那契積分方案可以進(jìn)行光線跟蹤并且對位置分布進(jìn)行優(yōu)化。為了保持合理的計算效率,需要確定球體與目標(biāo)球體之間的距離,以便在填充床中對其進(jìn)行視角系數(shù)的計算。

        為了保持合理的數(shù)值精度,令NF={34,55,89,144,233,377,610}并用于后續(xù)計算。本文將通過幾個算例對非均勻顆粒間的視角系數(shù)進(jìn)行計算,并對計算的準(zhǔn)確性和效率進(jìn)行評估。

        4.1 精度評估

        本文利用斐波那契數(shù)列積分法計算了堆積密度分別為0.74,0.567,0.474,0.428和0.374的顆粒體系。其中第一種為標(biāo)準(zhǔn)面心立方結(jié)構(gòu)(FCC)、其余四種為修改后的面心立方結(jié)構(gòu),即顆粒半徑r∈[rlow,rhi]的均勻分布。

        選擇每個部件中心的球體作為目標(biāo)球體,球體的半徑設(shè)置為1,計算該球體與其他球體的視角系數(shù)。每個組件產(chǎn)生的空間足夠大,因此目標(biāo)球體發(fā)出的輻射將由組件中的一些球體完全接收。顯然,隨著距離目標(biāo)球體的總和距離的增加,所有視角系數(shù)的總和將趨向于1,這是總和的精確值,如圖10所示。

        圖10 距離目標(biāo)顆粒不同區(qū)域半徑內(nèi),目標(biāo)顆粒對所有顆粒視角系數(shù)的積分值

        此外,接近1的速率隨顆粒分布而變化。隨著堆積密度的降低,視角系數(shù)總和趨向1的速率減慢。通常,有效區(qū)域半徑值越大,視角系數(shù)的精度越高,但涉及的計算成本越高??梢钥闯觯?dāng)D大約為6時,顆粒視角系數(shù)的積分可以達(dá)到95%。結(jié)果表明,在不同球數(shù)的填充床中,用該方法計算的視角系數(shù)在6D內(nèi)可達(dá)到5%的相對誤差。

        4.2 效率評估

        為了評估提出的顆粒組合方法的整體效率,考慮了六個隨機(jī)堆積的組件,在0.8~1.2之間均勻分布。每個組件的顆粒數(shù)N分別為10,50,100,500和1000。為了進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠嬎阈时容^,本文將每個球體的有效域D的半徑設(shè)置為6。

        表1列出了兩種方法計算視角系數(shù)所需的時間。將本文方法的計算時間與蒙特卡洛法的計算時間進(jìn)行比較,計算效率提升了大約30%。

        表1 含有N個顆粒的顆粒系統(tǒng)計算所有視角系數(shù)所耗費(fèi)的時間

        5 結(jié) 論

        本文提出了一種計算非等徑顆粒視角系數(shù)的數(shù)值方法。該方法的關(guān)鍵是三種技術(shù)的新穎組合,即兩個非等徑顆粒視角系數(shù)的簡化積分表達(dá)式、球體上斐波那契積分方案和非均勻變換的組合。簡化積分不僅提供了一個簡單的積分公式,用于計算兩個非等徑顆粒之間的無阻礙視角系數(shù)的精確值,而且在提高計算有阻礙顆粒視角系數(shù)精度中起著基礎(chǔ)作用。斐波那契積分方案的張量積形式本質(zhì)上是一種光線跟蹤方法,對于計算視角系數(shù)的對偶積分而言,是一種計算量較少但具有足夠精度的方法。使用特定的非均勻變換可以很好地調(diào)節(jié)兩個積分的性質(zhì),從而提高斐波那契積分法的求解精度。

        對于具有阻礙顆粒的兩個非等徑顆粒的視角系數(shù),從已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的幾個算例評估了該方法的準(zhǔn)確性。此外,還以p1=1作為特例,將本文獲得的視角系數(shù)與文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行比較,顯示出了較好的一致性,尤其在NF=55的情況下。對于含有多顆粒粉末床中的視角系數(shù),多個算例的結(jié)果表明,在有效區(qū)域尺寸D=6時,計算多顆非等徑顆粒視角系數(shù)的相對誤差為5%,并且與傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法相比,計算效率提高約30%。

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