張少波，柳 江，張洪波，王樹梁

（青島理工大學 機械與汽車工程學院，山東 青島 266520）

路面車輛振動和車輛室內噪聲具有與車速相關、噪聲振動源頻率范圍廣的特點。近年來，對于通過在聲源處、傳遞路徑處、人耳處三種途徑來實現(xiàn)汽車降噪的研究不斷深入[1]。在汽車隔聲降噪的具體形式上，清華大學危銀濤教授等[2-5]提出輪胎花紋泵浦噪聲預報模型并對低噪聲輪胎花紋參數(shù)進行優(yōu)化設計。通過在聲源處進行隔聲降噪，輪胎參數(shù)的變化會影響汽車的操縱穩(wěn)定性等性能。姜吉光等[6-8]針對主要峰值噪聲的選擇性消聲和汽車多通道有源消聲等課題，開發(fā)出可以用于實測車內噪聲抵消的主動控制系統(tǒng)。在人耳處采取措施可改善車內噪聲環(huán)境，有源結構會影響汽車的動力性等性能。岳中英等[9]在2018年通過降低懸架支柱上部橡膠襯套的剛度以及降低胎面剛度，以使傳遞路徑中吸收噪聲的能力得到增強。但吸聲效果與材料的厚度有關，若處理不當則會影響車輛的整體性能。

通過小尺寸結構來實現(xiàn)減振降噪成為新的研究方向。新材料聲子晶體的色散曲線被應用于隔聲、波導、濾波等方面[10-13]。局域共振帶隙的研究也使得小邊界低頻降噪成為可能[14]。拓撲研究的新階段，聲子晶體三維模型創(chuàng)建難和分析運算難的問題使得能夠簡化運算步驟的合成維度研究得到了廣泛發(fā)展[15-17]。Zhang 等[18]通過區(qū)域折疊簡易實現(xiàn)狄拉克點，產生多種界面模式。Hao等[19]通過設計不同拓撲結構的超晶格，實現(xiàn)界面態(tài)聲邊界效應。這些研究著重于聲學物理現(xiàn)象，在應用到車輛噪聲控制時，還需要考慮到實際傳遞路徑的結構特點。

因此，為解決車輛高速行駛時的中高頻風噪和輻射噪聲問題，本文提出一種新的一維聲子晶體結構模型，通過陣列單胞結構實現(xiàn)折疊布里淵區(qū)，找到具有反射相渦旋的結構模型。計算色散曲線，通過調整幾何參數(shù)來得到期望的聲邊界，實現(xiàn)聲的定向傳輸及聲阻設計。模型符合汽車蒙皮結構特性，主要被應用于汽車車身和前圍板等平直面結構，如圖1所示。

圖1 車用凸形板結構的適用部位

1 車用凸形板結構模型

考慮到汽車車身及蒙皮結構特點，本文提出一種凸形板單元結構，如圖2 所示。首先假設合成板相對于笛卡爾坐標y方向是不變的，則凸形板單元的幾何圖形可視為一維聲子晶體板結構類型。單胞包含2個域1和1個域2，其外廓呈現(xiàn)“凸”字形，故命名為凸形板。陣列單胞形成雙胞用來改變結構的布里淵區(qū)，可進一步延展至多胞結構。所有模型板材料均為硅。運用本征模式匹配理論(EMMT)，材料參數(shù)如下：質量密度m=2 332 kg m3，橫波波速Vt =5 840.9 m s，彈性常數(shù)C44=79.56 GPa。

圖2 一維聲子晶體板雙胞結構

為了便于在x方向上構建超級單元，域1低于域2的部分補充真空，推導一維聲子晶體板數(shù)學模型。將陣列后晶體沿x方向分為6層，每層中的波表示為基本函數(shù)集的疊加。層間和層內的S矩陣(Smatrix)用于連接最近的層。借助于單胞的S矩陣和整個聲子晶板來計算透射譜。

盡管域1和域2的材料一致，但是由于結構參數(shù)不同，因此其透射譜不同，故可視為兩種材料。考慮到汽車蒙皮結構特點，采用簡單的SH(Shear Horizontal)模式即可滿足需求。每層中的相應方程式可以表示為[18]：

其中下標1、2、3 表示x，y，z方向，m是質量密度，U2是位移矢量的y方向分量，T12是應力張量分量，C44是彈性常數(shù)?？紤]到計算模型在空間的周期性，材料常數(shù)ρ(z)和C44(z)用倒易晶格矢量G(z)在傅里葉級數(shù)中展開。

其中α可以是ρ或C44，而αG是相應的傅里葉分量。G= 2nπ (tv+tρ)，其中n為整數(shù)，tv是真空層的厚度，tρ是材料層的厚度?？紤]Bloch 定理和展開傅里葉級數(shù)中的位移矢量Us(x,y)和應力張量T12(x,z)得到公式4。

其中：ξ可以是U2或T12，ξG是相應的傅里葉分量，Kx是沿x方向的波矢量。將式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)，可以得到特征值方程式：

關于Kx廣義特征值問題的標準形式如公式(5)所示。

利用晶胞的S矩陣，可以計算透射譜。傳輸系數(shù)T和反射系數(shù)R是同時計算的，并且T+R=1。以上作為計算透射譜的理論依據(jù)，并將相應的理論模型導入模擬分析軟件中計算。

2 模型結構隔聲分析

2.1 結構參數(shù)下的色散曲線

將圖2 中的雙胞結構沿Kx方向平移1/2 個域1寬度，引入合成維度變量m,n，使結構延展到三維空間，其結構如圖3(a)所示。新的單胞模型陣列后獲得雙胞結構，如圖3(b)左上圖所示。單胞劃分依據(jù)如圖3(b)主體圖所示，單胞長度L1=0.5*t1+t2+0.5*t3，H=h2h1。同時給出變量定義公式，m=和

沿著Kx方向，L′1=0.5*t3+t4+0.5*t1，H=1，形成下一個單胞依次交替堆疊。研究平移0.5*t1寬度后的色散曲線，單胞結構的色散曲線如圖3(c)中點圖所示。雙胞結構中設置L2=t1+t2+t3+t4，在幾何圖形z方向上統(tǒng)一為H=1。

雙胞結構實現(xiàn)布里淵區(qū)折疊效果，其色散曲線如圖3(c)線圖所示。這種人工帶折疊沿波矢方向給出了線性交叉。此時m=n=0。不同結構的同型色散曲線在參考文獻[16]中圖2(b)所示。在軟件模仿數(shù)據(jù)點中，當Kx=±k2 時單胞色散曲線(雙能帶點圖)發(fā)生折疊，形成雙胞色散曲線(三能帶線圖)，如圖3(c)所示。因為雙胞結構在Kx方向上晶胞尺寸加倍，導致布里淵區(qū)折疊，能帶關系發(fā)生變化。雙胞結構的第一能帶與第二能帶在合成三維空間中形成雙錐形結構，如圖3(d)所示。不同結構下的渦旋結構同樣如參考文獻[16]中圖2(c)所示。渦旋相結構保證了在有反射邊界時界面狀態(tài)的存在。同時，值得注意的是，渦旋相模式，在點(Kx=k2)上存在很小的間隙，是因為在平凡相和非平凡相之間的界面處不能確保晶格對稱性。但是，拓撲屬性仍然可以有效地建立穩(wěn)健的定向傳輸[20-21]。

區(qū)域折疊理論是形成合成點的重要理論。為了獲得更多的合成點，在進行周期性劃分的過程中，打破域1、域2的等長關系，更改了t1和t3，t2和t4的鏡像對稱關系。對結構參數(shù)空間值進行了限定，其中晶格常數(shù)a=20 mm。雙胞結構下，域1 和域2 的總長度分別固定為t1+t3= 4*a5 和t2+t4=a5。兩個額外的變量m,n定義不變。所有的參數(shù)約束在[-1，1]中，從而形成一個封閉2 維空間，與波矢變參Kx形成3維空間。能帶關系如圖4所示。

從特例出發(fā)，m=n=0，其幾何圖形在z方向上定義高度比H=1。三維空間結構圖類似圖3(a)，只是尺寸不同，此處沒有額外給出。雙胞結構模型如圖4(a)左上角所示，L1=0.5*t1+t2+0.5*t3形成單胞。當m=n=0時，雙胞色散曲線如圖4(b)第二、第三能帶圖(線圖)所示，在±K邊界處仍存在線性交點現(xiàn)象。當m=n=0.5 時，其色散曲線如圖4(b)中第一、第四能帶(圈圖)所示，原本存在交叉點的第二、第三能帶圖因為簡并態(tài)被破壞而形成帶隙，隨著頻率的增加，帶隙范圍增加。

圖3 在結構參數(shù)空間實現(xiàn)合成點

第二、第三能帶表示m=n=0，這時單胞結構幾何尺寸L1=0.5*t1+t2+0.5*t3，雙胞幾何尺寸L2=t1+t2+t3+t4。此時，仍然符合陣列單胞獲得雙胞的基本思想，在±K處完成區(qū)域折疊出現(xiàn)線性交點。當m=0.7,n=0，其色散曲線如圖4(b)中第五、第六能帶(星圖)所示，在Kx=0處帶隙近似重合。

研究雙胞結構隨Kx方向數(shù)值改變的變化規(guī)律，從以上特例出發(fā)可以將±K與Kx=0 處的帶隙變化進行研究，并探究其影響因素。

色散曲線圖顯示了帶隙的變化，三者的傳輸損耗如圖4(c)所示。從整體圖上看，在n=0 情況下傳輸損耗存在先減小后增大又減小的趨勢，而n=0.5時傳輸損耗出現(xiàn)先增加后減小后增加情況。其中當(m，n)=(0，0)時最終傳輸損耗值低于(m，n)=(0.7，0)時。

此時從第一到第四能帶，Kx方向的域1和域2幾何尺寸不相等。當m=n=0.5 時，不能夠滿足分布區(qū)域折疊理論，簡并態(tài)被破壞形成帶隙如圖4(b)圈圖所示。

2.2 X方向參數(shù)變化的影響

由上述討論可知，帶隙交叉點的出現(xiàn)與t1t2比值無關。只有當兩個單胞的幾何尺寸（L1=0.5*t1+t2+0.5*t3和L′1=0.5*t3+t4+0.5*t1）不相等時，區(qū)域折疊被破壞，色散曲線解除部分簡并態(tài)出現(xiàn)帶隙，如圖4(b)線圖所示。隨著x方向幾何尺寸的更進一步變化，帶隙在Kx=0處形成交點，如圖4(b)星圖所示。

圖4 Kx方向變比值關系圖

為更加具體地了解m,n變化導致的色散曲線在±K與Kx=0處的變化規(guī)律，設計參數(shù)m,n在[0:0.9]范圍內結構模型進行仿真(共100 個模型)。在K處第一能帶與第二能帶(如圖2(a)中線圖所示能帶)能帶差值隨m,n變化的規(guī)律，如圖5(a)所示。為了更加直接地看到相應的數(shù)值，能帶差值的線性圖像如圖5(b)所示。

隨著m,n數(shù)值的不斷增加，其能帶差值也是逐漸增大的，符合聲子晶體的一般性規(guī)律，如圖5(a)所示。其能帶差值增大與m,n變化近似復合圓形變化，因為聲子晶體的周期性，能夠在其余三個象限內得到類似于圖5(a)所示圖形。三處不符合線性變化的區(qū)域范圍，分別在(m,n)=(0.2,0.8)、(0.6,0.8)和(0.8,0.8)區(qū)域范圍。第二能帶減去第一能帶在K處的能帶差值線圖，如圖5(b)所示。線圖具有因數(shù)值量少而精度低的缺點，但具有更加直觀的效果，能夠看出聲子晶體的帶隙隨幾何參數(shù)m,n的增加而逐漸增加的現(xiàn)象。圖5不僅能夠實現(xiàn)找到更改帶隙變化的幾何變參調整方式，還能夠找到類合成點的線性色散點，也就是能帶差值較低的點。

圖5 不同m,n值處第二能帶與第一能帶在x=k點處能帶差值

Kx=0 值處的能帶差值變化如圖6 所示，與圖5模式相同，分別給出了在該點處的三維面圖與三維線圖。此時計算的能帶差值為第三能帶減去第二能帶。第三能帶與第二能帶在Kx=0 處的能帶差值，如圖6(a)所示。隨著m,n數(shù)值增大，其在Kx=0處能帶差值先減小后增加。在(m,n)=(0,0.7)附近區(qū)域存在差值最低點，也就是說此處可能存在合成點，能帶差值變化的原因與鏡像對稱有關。隨著m,n數(shù)值變化，雙胞模型在t3垂直平分線處形成對稱，進而影響Kx=0處色散曲線。在各個仿真點處的能帶差值變化，如圖6(b)所示。三二能帶差值隨n值增大而增大，隨m值增大先減小后再增大。

圖5 與圖6 的差值變化圖顯示了一維聲子晶體中可能存在合成點的參數(shù)值，后文對其線性點隔聲性質進行討論，色散曲線變化圖能夠直觀簡潔地展示帶隙變化以及特殊位置，有利于開展針對汽車噪聲隔控的后續(xù)試驗。

鏡像對稱理論是指當模型打破對稱時，色散曲線會出現(xiàn)合成點。用其來探討圖3 和圖4 的色散曲線不同的原因，此處討論在x方向上結構參數(shù)變化對帶隙范圍以及合成點的影響，H的影響在后文中說明。圖3 中L2=t1+t2+t3+t4，在x方向上形成以t3垂直平分線為中心線的鏡像對稱結構。

在圖3 的基礎上打破域1 和域2(t1,t2)的數(shù)值相等關系，仍保持t1=t3，t2=t4，獲得線性交點，能夠實現(xiàn)類合成點的線性色散曲線，如圖4(b)中線圖所示。從整體的單胞結構來說，并沒有破壞其對稱關系(t1+t2+t3+t4)，這說明基本單元及其陣列后的幾何關系是出現(xiàn)了保護邊緣態(tài)色散曲線的重要因素。當破壞兩個域2 的數(shù)值相等關系(t2,t4)后，色散曲線的簡并態(tài)被打破，出現(xiàn)帶隙，如圖4(b)中圈圖所示。此時t1+t3≠t2+t4，這也證明了單胞在x方向上凸形板結構的等值對稱關系會對線性點周圍的色散曲線產生影響，同時m,n值增加會近似線性地增大K處的帶隙差。

綜上所述，聲子晶體的在K處能帶差值隨m,n數(shù)值增大而增大；在Kx=0處能帶差值隨n值增大而增大，隨m值增大先減小后再增大。聲子晶體結構形成鏡像對稱保護時，會產生線性交叉點，此時傳輸損耗值降低。可以考慮m,n屬于[0:0.9]范圍內在K處m,n值最小時進行隔聲分析，在Kx=0處n值最小m值較大處進行隔聲分析。

2.3 幾何參數(shù)樁比值的影響

以上有關于色散曲線的探討都是在H=1 的情況下。接下來將探討有關于幾何參數(shù)樁比值對色散曲線及線性交叉點的影響。根據(jù)圖5 與圖6 分別選取(m,n)=(0,0)以及(m,n)=(0.7,0)時聲子晶體板隨H數(shù)值變化在K以及Kx=0處能帶差值結果，共計(40 個模型)。在Kx=0 處帶隙隨H變化可以忽略不計，帶隙差數(shù)量級達到了10-10(kHz)，如圖7(a)虛線圖所示。有趣的是圖7(b)實線圖，圖中顯示在H=[0.1:1]變化過程中，其能帶差值先增大后減小，整體數(shù)值較低。在H= [1:3] 的變化過程中，其能帶差值數(shù)值較大，H=1.8 時數(shù)值反而達到最低，(H,f)=(0,1689),(1,1018),(1.8,393.6)，f單位統(tǒng)一為Hz。H=1.8時是值得研究的一維聲子晶體結構點。

圖6 不同m,n值處第三能帶與第二能帶在x=0點處能帶差值

觀測不同的能帶差值較低模型，能夠發(fā)現(xiàn)對稱性理論在發(fā)現(xiàn)凸板結構界面態(tài)點處的重要性，這為尋找界面態(tài)模型提供尋找思路，方便實現(xiàn)快速研究。

2.4 三維結構的點聲源仿真模擬

結合上述仿真模擬結果，仿照二維狀態(tài)下設置周期型結構，模擬三維半平面場，其中(m，n，H)=(0，0，1)，沿m方向左邊界硬聲場邊界條件，右邊界設置輻射邊界條件，左邊界設置為硬聲場邊界，n方向有限，沿m方向陣列20 個如圖4(a)雙胞結構。在點聲源頻率為第一二能帶交叉點處頻率133.7 kHz 的基礎上，獲得三維狀態(tài)下x=K周圍傳輸狀態(tài)，其結果如圖7 所示。在實驗結果中，將聲源以黑色星狀表示，位于圖形中心。為增強對比，設置(m，n，H)=(0.7，0，1)和(m，n，H)=(0.7，0，1.8)來進行模擬仿真，查看x=K時邊界效應，同樣陣列20 個模型，點聲源頻率設置為二三能帶頻率。

圖7 變高度比能帶差值

結合圖形進行分析，(m,n,H)=(0.7,0,1.8)時界面態(tài)的聲定向傳播特性，能夠實現(xiàn)聲波沿聲源（星形標志）上下進行傳播（中部縱向），圖8(a)所示。為增加仿真的可信度，聲波沿不同結構板進行定向傳播的結果，如圖8(b)所示[17]，其同樣采用合成維度下的區(qū)域折疊獲得近似點。(m,n,H)=(0,0,1)中的聲阻現(xiàn)象，聲音被局限在正方形區(qū)域，如圖8(c)所示。為更加具象地展示聲阻，(m,n,H)=(0.7,0,1)右側延展板中聲波狀態(tài)，能夠看到聲被局限在左側正方向塊內，實現(xiàn)聲阻效果，如圖8(d)所示。

圖8 特征頻率下的邊界傳輸特性

3 結語

綜上所述，合成維度下用一維模型探究三維結構物理特性，結合區(qū)域折疊理論和鏡像對稱理論，尋找凸形板結構的色散曲線交點。通過遍歷模型參數(shù)，驗證了所提出模型的正確性并對驗證更改后交點處的三維界面態(tài)進行模擬，為汽車隔聲提供了一種新的思路，主要結論如下：

(1)提出的一維新結構，通過折疊雙胞單元的布里淵區(qū)，能夠實現(xiàn)聲的定向傳播。

(2)區(qū)域折疊理論能夠較快地找到合成點，而鏡像對稱理論能夠驗證合成點的色散曲線。

(3)邊界處(±K)能帶差值隨m,n數(shù)值增大而增大，隨H= [ 0.1:1 ]變化過程中先增大后減小，從H=[ 1:3 ]的變化過程中，其能帶差值數(shù)值較大，H=1.8時數(shù)值反而達到最低。中心處(Kx=0)能帶差值隨n值增大而增大，隨m值增大先減小后再增大。

(4)確定合成點為參數(shù)坐標(m,n,H)=(0,0,1),(0.7,0,1),(0.7,0,1.8)，并對其三維界面態(tài)進行模擬，其中在(m,n,H)=(0.7,0,1.8)處形成聲定向傳播，在(m,n,H)=(0,0,1)和(m,n,H)=(0.7,0,1)處形成聲阻現(xiàn)象。