李建宏 王士軍 李家鵬 王 劍 徐傳法 王 冉

（山東理工大學(xué)機械工程學(xué)院，山東 淄博 255000）

活齒傳動是一種用來傳遞兩同軸間回轉(zhuǎn)運動的機械傳動，它具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比范圍廣、承載能力強和傳動效率高等優(yōu)點[1]，應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對內(nèi)激波活齒傳動的中心輪齒廓方程及特性[2?4]進(jìn)行了豐富的研究，對外激波形式的活齒傳動研究相對較少。孫玉鑫等人[5]提出一種新型的外波式活齒減速器；宜亞麗等人[6]對擺線凸輪外激波擺桿活齒傳動齒形進(jìn)行了探究；廖振興等人[7]研究了外激波滾柱活齒齒廓構(gòu)建與特性。豆林瑞[8]對外激波擺桿活齒傳動做了齒形構(gòu)建與性能分析。但是目前尚未有文獻(xiàn)對外激波擺動活齒進(jìn)行研究。

外激波相比內(nèi)激波活齒傳動具有性能更加優(yōu)良、便于加工以及傳動效率更高等優(yōu)點，對其研究將會十分有意義。本文提出了外激波擺動活齒傳動并對其中心輪齒形展開研究。利用外激波與擺動活齒的等效機構(gòu)和齒廓包絡(luò)機理,推導(dǎo)出了中心輪的理論齒廓方程與實際齒廓方程,并解析了中心輪齒形變化與實際齒廓方程中各參數(shù)之間的關(guān)系。推導(dǎo)出了中心輪理論齒廓的曲率方程,并通過實例驗證了曲率的規(guī)律性。

1 傳動原理

如圖1所示為外激波擺動活齒傳動的結(jié)構(gòu)簡圖。其結(jié)構(gòu)組成包括H外激波器、K中心輪、G活齒架、T擺動活齒和M活齒柱銷。輸入軸與輸出軸在同一軸線上，外激波器以偏心距離S與輸入軸相連接，活齒架與輸出軸同軸線相連接，中心輪的幾何中心在輸入、輸出軸的軸線上，并固定安裝。給輸入軸一個驅(qū)動力，輸入軸帶動外激波器繞O旋轉(zhuǎn)。因為此外激波器為偏心裝置，徑向尺寸會改變，導(dǎo)致擺動活齒繞轉(zhuǎn)動中心O2旋轉(zhuǎn)。此時，中心輪固定安裝，會反推擺動活齒，擺動活齒又帶動活齒架以等角速度ωk旋轉(zhuǎn)。

圖1 外激波擺動活齒傳動的結(jié)構(gòu)簡圖

以一齒差外激波擺動活齒傳動為例進(jìn)行研究，根據(jù)轉(zhuǎn)角分析法得到外激波擺動活齒傳動比為

式中：ZK為中心輪齒數(shù)；ZG為擺動活齒個數(shù)。

當(dāng)ZG>ZK，即ZG?ZK=1時，，外激波器與活齒架同向；當(dāng)ZG

2 中心輪齒廓方程的建立

對外激波擺動活齒傳動進(jìn)行高低副替代，并且保證替代后，機構(gòu)的自由度、運動情況與替代前相同。根據(jù)結(jié)構(gòu)原理和等效機構(gòu)可知：激波器為曲柄，曲柄長度為偏心距S；激波器的幾何中心O1到擺動活齒幾何中心A為連桿b，b=R?r；擺動活齒的幾何中心A到轉(zhuǎn)動中心O2為搖桿c；激波器轉(zhuǎn)動中心O到擺動活齒轉(zhuǎn)動中心O2的距離為機架d。當(dāng)四桿機構(gòu)有這樣的關(guān)系：b=d，S=c，則等效機構(gòu)就演化成平行四邊形機構(gòu)。當(dāng)外激波器轉(zhuǎn)過角度θ1時，活齒架轉(zhuǎn)過角度θ2。則擺動活齒幾何中心A的軌跡為中心輪的理論廓線。由圖2可得到A點的坐標(biāo)方程，即中心輪的理論廓線方程式為

圖2 外激波擺動活齒傳動的等效機構(gòu)

中心輪的理論齒廓是擺動活齒的幾何中心掃過的曲線，而實際齒廓是理論齒廓以擺動活齒半徑r為偏距的內(nèi)等距曲線，根據(jù)齒廓包絡(luò)機理可得中心輪的實際齒廓方程為

式中：r是活齒半徑；ξ是擺動活齒和中心輪嚙合處公法線與Y軸的夾角，ξ可由下式求得。

設(shè)激波器偏心距S=3 mm，傳動比，擺動活齒半徑r=15 mm，活齒架半徑d=95 mm。運用MATLAB軟件對式（4）和式（5）編程得到中心輪的理論廓線和實際廓線，如圖3所示。此實例證明推導(dǎo)出的中心輪理論和實際齒廓方程是正確的。

圖3 中心輪理論廓線與實際廓線

3 參數(shù)對中心輪齒廓的影響

3.1 外激波器偏心距S對中心輪齒廓的影響

如圖4所示為外激波器偏心距S對中心輪齒廓的影響。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)活齒架半徑d=b=95 mm，傳動比，擺動活齒半徑r=15 mm，偏心距S由3 mm增加至7 mm過程中，中心輪齒廓齒頂變尖，齒根部分變凹。說明偏心距S的大小對中心輪齒廓影響較大，并且隨著S增大，會發(fā)生頂切現(xiàn)象。所以外激波偏心距S的選取不宜過大。

圖4 外激波器偏心距S對中心輪齒形的影響

3.2 活齒架半徑d對中心輪齒廓的影響

如圖5所示為活齒架半徑d對中心輪齒廓的影響。在圖中可以看到：當(dāng)偏心距S=3 mm，傳動比，擺動活齒半徑r=15 mm，隨著活齒架半徑d增加，中心輪的齒廓曲線變得更加平滑，曲率半徑增大，從而中心輪的接觸強度也有所提高。

圖5 活齒架半徑d對中心輪齒廓的影響

3.3 傳動比對中心輪齒廓的影響

圖6 傳動比對中心輪齒廓的影響

4 中心輪齒廓曲率分析

4.1 中心輪齒廓曲率方程推導(dǎo)

由式（4）和式（5）可以發(fā)現(xiàn)，如果直接求解中心輪齒廓曲率，計算過程極為復(fù)雜。中心輪的工作廓線為理論廓線的內(nèi)等距曲線，所以其工作廓線的曲率半徑與理論廓線的曲率半徑相差擺動活齒的半徑r，這樣分析實際廓線曲率可以簡化為分析理論廓線曲率。

根據(jù)曲率公式可得中心輪理論廓線曲率

式中：x′，x′′分別為式（3）中x的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；y′、y′′分別為式（3）中y的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

由式（3）可以求出

代入式（6）整理得

則中心輪理論廓線的曲率半徑為：

中心輪實際廓線的曲率半徑為

其中：齒廓的凹線段取“+”，齒廓的凸線段取“?”。

4.2 中心輪齒廓曲率分析實例

設(shè)外激波擺動活齒傳動齒形設(shè)計參數(shù)如表1所示，根據(jù)式（3）和式（7），利用MATLAB軟件編程計算，得到圖7所示中心輪理論齒廓曲率變化規(guī)律圖。

表1 設(shè)計參數(shù)

圖7 中心輪理論齒廓曲率變化規(guī)律圖

從圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)：中心輪理論齒廓曲率在齒頂位置達(dá)到最大值0.035 7，在齒根位置達(dá)到最小值?0.002 7。得到最大曲率值后可以判斷中心輪齒廓是否與擺動活齒發(fā)生干涉。

圖8 中心輪實體曲率分析圖

故可以判斷以上中心輪齒廓符合要求。

5 結(jié)語

利用外激波與擺動活齒的等效機構(gòu)和齒廓包絡(luò)機理，推導(dǎo)出了中心輪的理論齒廓方程與實際齒廓方程，并對中心輪齒形展開研究，得到以下結(jié)論。

（1）其他參數(shù)不變，外激波偏心距S由3 mm增加至7 mm過程中，中心輪齒廓齒頂變尖，齒根部分變凹。說明偏心距S的大小對中心輪齒廓影響較大，并且隨著S增大，會發(fā)生頂切現(xiàn)象。所以外激波偏心距S的選取不易過大。

（2）其他參數(shù)不變，隨著活齒架半徑d增加，中心輪的齒廓變得更加平滑，接觸強度會得到增強。

（3）其他參數(shù)不變，當(dāng)擺動活齒個數(shù)ZK增大時，中心輪齒廓齒頂逐漸變尖，曲率半徑減小。

（4）根據(jù)曲率公式推導(dǎo)出中心輪理論齒廓的曲率和曲率半徑公式，進(jìn)而得到工作廓線的曲率半徑公式。并通過實例分析了齒廓曲率的變化規(guī)律，驗證了所設(shè)計的中心輪齒廓符合要求。