任碧瑩， 徐瑋濃， 孫 佳， 孫向東

(西安理工大學 電氣工程學院， 陜西 西安 710054)

電動汽車鋰離子電池因其能量密度高、自放電率低、安全可靠等優(yōu)點被廣泛應用[1]。其應用時需要安全穩(wěn)定的工作環(huán)境，而對荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)的準確估計是保證其性能充分發(fā)揮，避免過充、過放并延長使用壽命的重要基礎(chǔ)[2]。高精度的SOC估計依賴于電池模型參數(shù)的準確度，因此，提高電池模型參數(shù)辨識的精度十分重要。

基于等效電路模型的參數(shù)辨識方法中，以遞推最小二乘法(recursive least square，RLS)的應用最為廣泛。RLS計算量小，簡單易實現(xiàn)，但隨著系統(tǒng)獲取的數(shù)據(jù)量的增大，新數(shù)據(jù)提供的信息逐漸被舊數(shù)據(jù)淹沒，使算法失去校正能力，即出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象[3,4]。為了避免該現(xiàn)象的發(fā)生，要求加大新數(shù)據(jù)在計算中所占的權(quán)重，因此，文獻[5,6]研究了含遺忘因子的遞推最小二乘法(forgetting factor recursive least square，F(xiàn)FRLS)，通過引入遺忘因子，使系統(tǒng)能夠更加充分地利用新數(shù)據(jù)中的信息，降低舊數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的影響，從而使系統(tǒng)參數(shù)得到更準確的估計，提高時變系統(tǒng)的辨識精度。為了更進一步提高時變系統(tǒng)的辨識精度，許多學者以FFRLS為基礎(chǔ)，從算法本身出發(fā)，根據(jù)其性能對算法進行改進。文獻[7]研究了一種VFFRLS算法，它是根據(jù)預測誤差確定遺忘因子，并隨算法的進程而自適應地改變。當信號存在劇烈波動的情況或存在數(shù)據(jù)錯誤或丟失的情況時，該方法可以有效提高參數(shù)識別的收斂速度并減少辨識錯誤，但該方法高效的收斂能力可能會受到預測誤差的影響。文獻[8]提出了一種根據(jù)模型中各參數(shù)自身的物理特性來獨立調(diào)整遺忘因子的方法，以適應深度放電范圍和高動態(tài)工作條件下參數(shù)的極大變化，然而該方法主要是為了保證鋰電池在深度放電情況下對參數(shù)的動態(tài)跟蹤精度。文獻[9]指出，模型中各單個參數(shù)的變化速率可能存在偏差，單一的遺忘因子難以衡量參數(shù)辨識能力與收斂性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，因此在進行參數(shù)辨識時，需要對不同參數(shù)進行不同速率的校正，故該文獻提出了一種基于解耦多遺忘因子的遞推最小二乘法，對具有不同變化率的各個參數(shù)進行獨立跟蹤，但該算法的應用需要以簡單模型為前提，在更精確更高階的模型中難以應用。

此外，還有許多學者就外部參數(shù)對辨識效果的影響問題對算法展開研究，由于實際應用中存在電磁干擾或傳感器分辨率低的情況，電池系統(tǒng)容易受到噪聲的意外感應，出現(xiàn)變量誤差問題[10-12]。文獻[10]提出了一種偏置補償遞歸最小二乘法以克服辨識固有誤差，但該方法需要噪聲統(tǒng)計信息，而統(tǒng)計信息較難獲得。文獻[13]提出了一種自適應遺忘遞歸總最小二乘法，并結(jié)合帶有增益調(diào)度的Luenberger觀測器來補償噪聲影響，但計算量大。

通過對各文獻的分析可知，遺忘因子會影響算法對噪聲的敏感度以及收斂性的優(yōu)劣程度，在進行大量數(shù)據(jù)分析時，可能存在不易平衡分離噪聲與收斂性的問題。因此，本文提出基于小波變換的可變遺忘因子遞推最小二乘法(WVFFRLS)來進行電池參數(shù)的動態(tài)辨識。該算法具有準確性高、收斂性快的辨識效果，通過與VFFRLS的實驗對比，驗證了本文所提出的參數(shù)辨識方法的可行性。

1 VFFRLS參數(shù)辨識存在的問題

1.1 鋰電池模型

目前，鋰電池等效模型主要有內(nèi)阻模型、阻容模型、PNGV模型、GNL模型以及戴維南模型。其中，戴維南模型又稱n階RC模型，因其能夠反映出電池內(nèi)部參數(shù)與外部參數(shù)如溫度與電流之間的關(guān)系，并且能夠良好地表征電池的動態(tài)特性，故應用更為普遍[3]。而該模型的精度、計算復雜度與應用難度皆隨RC階數(shù)的增大而增大。因此，綜合考慮計算復雜度及精度，鋰電池等效模型通常選取二階RC等效電路模型。鋰電池二階RC等效電路模型如圖 1所示，模型中的參數(shù)包括電池內(nèi)阻R0，極化電阻R1、R2，極化電容C1、C2，兩個并聯(lián)RC分別表示了電池的電化學極化過程與濃差極化過程。UOC表示開路電壓，UL表示端電壓。

圖1 鋰離子電池二階RC等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model of a lithium-ion battery

對二階RC等效電路模型的時域關(guān)系進行拉普拉斯變換，得到參數(shù)與觀測值的關(guān)系表達式：

UL(s)=

(1)

令U(s)=UOC(s)-UL(s)，τ1=R1C1，τ2=R2C2，a=τ1τ2，b=τ1+τ2，c=R0+R1+R2，d=R0(τ1+τ2)+R1τ2+R2τ1，對式(1)進行離散化處理并整理，得到可用于最小二乘法參數(shù)辨識的差分方程：

(2)

其中，k0=a+bT+T2，k1=(2a+bT)/k0，k2=-a/k0，k3=(aR0+dT+cT2)/k0，k4=-(2aR0+dT)/k0，k5=aR0/k0。

式(2)可寫為如下形式：

(3)

通過辨識算法得到待估參數(shù)k1、k2、k3、k4、k5的估計值，進一步反推可得出對應的電池參數(shù)R0、R1、R2、C1、C2的值。

1.2 VFFRLS中遺忘因子對辨識算法的影響

(4)

(5)

(6)

(7)

式(7)中的各變量表達如式(8)～(12)，其中e(k)為先驗誤差，q(k)為后驗誤差，公式中的α和β均為加權(quán)因子。

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

根據(jù)式(7)可看出，遺忘因子與噪聲功率存在一定關(guān)系，噪聲會通過影響遺忘因子進而對整個算法辨識情況產(chǎn)生影響。

實際系統(tǒng)中通常存在噪聲，含噪聲的系統(tǒng)模型可表示為：

d(k)=y(k)+v(k)=x(k)θ+v(k)

(13)

式中：d(k)為系統(tǒng)中含有噪聲的輸出；y(k)=x(k)θ為系統(tǒng)真實值；v(k)為系統(tǒng)噪聲。

要使該模型實現(xiàn)參數(shù)的最小二乘法估計，須要求所估值的誤差平方和最小，即辨識算法依靠估計誤差來驅(qū)動，其誤差驅(qū)動信號為：

(14)

(15)

再將Y(k)結(jié)合式(13)可得：

(16)

根據(jù)式(15)和式(16)可知：

(17)

當λ非常接近1且k足夠大時，可以認為公式(17)中噪聲信息的數(shù)學期望為0，如式(18)：

(18)

因此，式(17)可寫作：

(19)

此時，系統(tǒng)參數(shù)估計值即為參數(shù)實際值。又根據(jù)式(14)可知，誤差信號即為系統(tǒng)噪聲：

e(k)?v(k)

(20)

當λ較小時，λn?1，則有：

(21)

此時，結(jié)合式(14)和式(17)可得：

e(k)=0

(22)

2 基于小波變換的VFFRLS算法

2.1 小波變換

小波是一種具有能量的微小波動，其能量集中于某一時間及頻率上，它是對瞬時、不平穩(wěn)或時變信號進行分析的有效工具。將任意信號或函數(shù)f(t)的二進制離散小波變換定義為：

(23)

其逆變換為：

(24)

式中：Ψ(t)為母小波；2m表示伸縮尺度參數(shù)；n表示平移時間參數(shù)。

以m、n為基礎(chǔ)對信號進行多分辨分析。利用低通濾波器和高通濾波器分別對所給信號進行濾波，將該信號分解為低頻信號和高頻信號兩個部分。不同分解層上的信號f(t)的縮放尺度和小波系數(shù)為[15]：

(25)

式中：cj,k為低通濾波器輸出后所重構(gòu)原始信號的近似信號；h為低通濾波器的系數(shù)；dj,k為高通濾波器輸出后所重構(gòu)原始信號的細節(jié)信號；g為高通濾波器的系數(shù)?？捎筛骷壭盘栔貥?gòu)出上級小波公式：

(26)

2.2 基于小波變換的VFFRLS算法

該方法首先對觀測向量進行小波分解重構(gòu)，將所得的低頻近似信號作為VFFRLS算法中的估計參考值，以所得的高頻細節(jié)信號作為系統(tǒng)噪聲功率，再以該噪聲功率為準去更新λ。此時，對于作為估計參考值的低頻信號，穩(wěn)態(tài)時的信息向量已經(jīng)更為精確，λ的作用可近似認為僅提高系統(tǒng)跟蹤能力；而對于用以更新λ的高頻信號，小波變換所得的噪聲信息更為精確，在系統(tǒng)存在波動時，能夠更好地提高算法的收斂性。

不同的小波基在處理不同信號時各有特點，一般來講，Daubechies(Db)小波族因其良好的正交性和緊支撐性，經(jīng)常被應用于信號處理。對測得的電壓信號進行j層小波分解重構(gòu)，分別得到作為估計參考值的低頻近似信號Aj和作為系統(tǒng)噪聲功率的高頻細節(jié)信號Dj(j為層數(shù))，其j級重構(gòu)原理如圖 2所示，其中C0為分解重構(gòu)后的電壓信號。本文選取Db4小波基進行分解和重構(gòu)。

圖2 重構(gòu)過程示意圖Fig.2 Reconfiguration diagram

根據(jù)上述思想，基于小波變換的VFFRLS算法應用于鋰電池參數(shù)辨識時，其具體步驟為：

步驟1：對觀測向量電壓電流進行小波分頻，并重構(gòu)觀測向量的低頻信號和高頻信號；

步驟2：因初始化參數(shù)選取不當會使系統(tǒng)參數(shù)辨識收斂性不佳，甚至不收斂，所以本文通過采用最小二乘法，對大于辨識參數(shù)個數(shù)的多組參數(shù)進行成批處理來優(yōu)化初始化參數(shù)，得到初始化的待估參數(shù)θ(0)、協(xié)方差矩陣P(0)及遺忘因子λ(0)；

步驟3：將所得觀測向量的低頻信號作為VFFRLS算法中的信息向量X(k)。

步驟6：根據(jù)式(6)更新協(xié)方差矩陣P(k)。

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步驟7：由式(8)～(12)計算噪聲功率σe(k)和σq(k)。

步驟8：將步驟1所得的高頻信號作為系統(tǒng)噪聲功率σv(k)代入式(7)，用以更新遺忘因子λ(k)。

步驟9：循環(huán)至數(shù)據(jù)處理完畢。

算法的具體流程如圖3所示。

圖3 基于小波變換的VFFRLS算法流程圖Fig.3 Flow chart of VFFRLS algorithm based on wavelet transform

3 實驗驗證

在參數(shù)辨識前，首先進行UOC與SOC之間的曲線擬合以及遞推初始值的優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上，再進行參數(shù)辨識算法的驗證、比較和分析。本文采用山東威能公司生產(chǎn)的磷酸鐵鋰電池對算法進行驗證，該電池參數(shù)如表1所示。測試平臺如圖4所示，由被測鋰離子電池、專用電池測量設(shè)備、數(shù)據(jù)線和帶有專用測試軟件的計算機組成。

表1 鋰電池參數(shù)Tab.1 Lithium-ion battery parameters

圖4 電池測試平臺Fig.4 Battery testing platform

采用0.33C標準速率電流對鋰電池進行間歇恒流充放電實驗，對實驗數(shù)據(jù)進行擬合，分別得到充放電時的擬合曲線，如圖5所示。

圖5 UOC-SOC關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curves of UOC and SOC

由圖5可看出，整個充放電過程存在“遲滯現(xiàn)象”[16]，故取充放電曲線的中間曲線作為開路電壓UOC與SOC(以參數(shù)SOC表示)的關(guān)系曲線：

UOC=-302.7SOC8+1333SOC7-2432SOC6+

2377SOC5-1348SOC4+499.3SOC3-

(27)

85.82SOC2+8.878SOC+2.86

3.1 遞推初始值的對比和選取

利用成批型的最小二乘法，對大于所需辨識參數(shù)個數(shù)的N組數(shù)據(jù)，求取參數(shù)估計值θ(0)和協(xié)方差陣P(0)，并將所得結(jié)果作為遞推算法的初始值。

以恒流放電工況下應用VFFRLS算法的參數(shù)辨識結(jié)果為基礎(chǔ)，分析遞推初始值對辨識結(jié)果的影響，如圖6所示。根據(jù)仿真結(jié)果可看出，隨著N的增大，收斂性增強，但同時會引起計算量加大及耗時增長，因此，綜合考慮后，最終選取N=20時的參數(shù)估計值和協(xié)方差陣作為辨識算法的遞推初始值。

圖6 不同初始值對辨識結(jié)果的影響Fig.6 Influence of different initial values on identification results

3.2 鋰電池模型參數(shù)辨識

將WVFFRLS算法置于動態(tài)應力測試(dynamic stress test，DST)和間歇恒流放電工況下進行驗證，并與VFFRLS算法進行對比分析，其電壓電流波形如圖7所示。圖8為經(jīng)小波變換分離出的觀測量高頻噪聲信號。圖9和圖10分別顯示了兩種算法在DST工況和間歇恒流放電工況時鋰電池參數(shù)辨識的結(jié)果。圖11顯示了兩種工況下遺忘因子λ的變化曲線。

通過對比可看出，相較于VFFRLS算法， WVFFRLS算法具有更好的收斂性與魯棒性，并且能夠同時反映出各參數(shù)隨充放電電流變化的動態(tài)特性，對電流狀態(tài)具有良好的識別能力。此外， VFFRLS算法中，遺忘因子需要不斷平衡算法跟蹤能力與噪聲敏感度，因此存在較多尖峰，而在WVFFRLS算法中，有小波輔助遺忘因子分離噪聲，消除了噪聲對遺忘因子的干擾，因此遺忘因子尖峰較少。

圖7 DST工況的電壓電流曲線Fig.7 Voltage and current curves under the condition of DST

圖8 小波變換所得的各層高頻信號Fig.8 High frequency signals of each layer obtained by wavelet transform

圖9 DST工況下參數(shù)辨識結(jié)果Fig.9 Parameter identification results under DST condition

3.3 辨識結(jié)果分析

圖12和圖13分別給出了DST和間歇恒流放電工況下，以兩種算法辨識結(jié)果為依據(jù)得到的鋰電池模型端電壓與真實端電壓的對比結(jié)果。

由圖12和圖13可以看出，兩種算法的辨識誤差大多都在±2%以內(nèi)，但WVFFRLS算法辨識結(jié)果的系統(tǒng)跟蹤能力更好。

為了對VFFRLS與WVFFRLS算法進行綜合評價，對兩種算法下的參數(shù)辨識結(jié)果進行誤差分析。誤差分析主要通過比較端電壓估計值與實際值之間的平均相對誤差(mean square error，MRE)和均方根誤差(root mean square error，RMSE)來實現(xiàn)[16]。根據(jù)式(28)可以得到兩種算法下的辨識誤差情況。

(28)

式中：UL.a為實際值；UL.e為估計值。

將本文結(jié)果與各文獻所述的其他算法的辨識結(jié)果進行對比，對比情況如表2所示。

圖10 間歇恒流放電工況下參數(shù)辨識結(jié)果Fig.10 Parameter identification results under intermittent constant current discharge

圖11 λ的變化曲線Fig.11 Change curve of λ

圖12 DST工況下參數(shù)辨識結(jié)果對比Fig.12 Comparison of parameter identification results under DST condition

圖13 間歇恒流放電工況下參數(shù)辨識結(jié)果對比Fig.13 Comparison of parameter identification results under intermittent constant current discharge

表2 不同算法誤差情況對比

從表2可以看出，相較于VFFRLS算法，WVFFRLS算法的辨識結(jié)果精度更高。與文獻[7]和文獻[17]的算法相比，本文所提算法均體現(xiàn)了更好的辨識效果。與文獻[13]的算法相比，WVFFRLS算法的RMRE有所下降，RRMSE相差不大，整體來講性能更好。再結(jié)合圖12和圖13可以看出，不管系統(tǒng)處于劇烈波動狀態(tài)還是相對平穩(wěn)狀態(tài)，WVFFRLS算法的辨識結(jié)果都更接近于真實值，算法整體表現(xiàn)出更好的收斂性與系統(tǒng)跟蹤能力。

4 結(jié) 語

本文以二階RC電路模型作為鋰電池的等效模型，分析了遺忘因子在算法中的作用以及對辨識結(jié)果的影響，并針對其平衡噪聲分離能力與收斂程度的問題提出了基于小波變換的可變遺忘因子遞推最小二乘法。在DST工況和間歇恒流放電工況下對該算法進行驗證，并與VFFRLS算法辨識結(jié)果進行對比分析。實驗結(jié)果表明，相較于VFFRLS算法，WVFFRLS算法的辨識結(jié)果精度更高，能夠?qū)崿F(xiàn)更好的收斂性以及跟蹤性。